23.矩形-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页矩形——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB、BC、CA上，且DE//CAA．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是()

A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC=BD，则▱ABCD是矩形C．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形D．若AB=AD，则▱ABCD是正方形3．如图，矩形ABCD的对角线AC, BD相交于点O，∠AOD=120°, AB=4，则矩形ABCD的对角线长为（）A．2 B．4 C．6 D．84．现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1=122°，则∠2的度数为（）A．56° B．58° C．64° D．66°5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD=60°，AB=3，则AC的长6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．7．已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么ABAD的值为8．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于点E，BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：DE=BF；（2）若AD=BD，求证：四边形DEBF是矩形．9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD垂足分别为E，F．求证：BE=CF．二、能力题10．如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为.11．如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG．若AB=4，CE=10，则AG=（）A．2 B．2.5 C．3 D．3.512．如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动，动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为A．52 B．4 C．103 13．一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（）A．25 B．253 C．255 D．50314．如图，将边长分别是4，8的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则BF的长是（）A．2 B．3 C．4 D．515．一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为．16．如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3，点E在边BC上，且（I）线段AE的长为；（II）F为CD的中点，M为AF的中点，N为EF上一点，若∠FMN=75°，则线段MN的长为17．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1,0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0,18．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AC=13，则四边形ABOM的周长为19．已知：如图，矩形ABCD．（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作图形中，若AB=3，BC=5，求CE的长．20．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG=FC.（1）求证：四边形DFCG是矩形；（2）若∠B=45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.21．如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．（1）求证：△ABE≌△DCF．（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．22．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当BD=CE时，求证：□DEFG是矩形.三、拓展题23．数学课上，同学们对矩形进行探究，已知AB=3，BC=4，将△ABC绕点A旋转得到△AEF．【探究发现】（1）如图①，当点E落在AC上，连接CF，则CF=___________．【深入探究】（2）如图，旋转到如图②的位置，连接CE与AF相交于点H，若∠FEH=∠FHE时，求sin∠ECA的值．【拓展应用】（3）如图③，在旋转过程中，当点M，N分别为CF，BC中点时，连接MN，当△CMN以MN为直角边的直角三角形时，直接写出MN的长．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵DE//CA，DF//BA.

∴四边形AEDF是平行四边形，A正确

如果∠BAC=90∘，那么平行四边形AEDF是矩形，B正确

如果AD平分故答案为：D【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形判定定理逐项进行判断即可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A：若AB⊥BC，则□ABCD是矩形（平行四边形中邻边垂直为矩形），故A错误；B：若AC=BD，则□ABCD是矩形（平行四边形中对角线相等为矩形），故B正确；C：若AC⊥BD，则□ABCD是菱形（平行四边形中对角线垂直为菱形），故C错误；D：若AB=AD，则□ABCD是菱形（平行四边形中邻边相等为菱形），故D错误；故答案为：B【分析】本题考查平行四边形的性质及特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的判定条件。需结合每种特殊平行四边形的判定定理，对每个选项进行分析：平行四边形添加邻边垂直或对角线相等可判定为矩形，添加邻边相等或对角线垂直可判定为菱形，正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，据此排除错误选项，确定正确答案。3．【答案】D【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=180°−∠AOD=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=AB=OB=4，

∴AC=BD=2OA=8，

故答案为：D．

【分析】根据矩形的性质对角线相等，可得△AOB是等边三角形，OA=AB=OB=4，则对角线长为8．4．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：

∵长方形的对边平行

∴∠3+∠1=180°

∵∠1=122°

∴∠3=58°

由折叠可得，∠2=∠3=58°故答案为：B【分析】根据长方形性质可得长方形的对边平行，根据直线平行性质可得∠1，再根据折叠性质即可求出答案.5．【答案】6【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC=12AC，OB=OD=1∵∠ABD=60°，∴△OAB为等边三角形，∴OA=OB=AB=3，∴AC=2OA=6，故答案为：6．

【分析】根据矩形性质得AO=BO，再根据∠ABD=60°得△OAB为等边三角形，则OA=OB=AB=3，由此可得AC的长．6．【答案】22.5°【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°

【分析】根据矩形性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，则OA=OB═OC，再根据角之间的关系即可求出答案.7．【答案】2【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，

∴DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，

∵四边形AFEB是菱形，

∴AB=AF=EF=2m，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=90°，

∴∠ADF=180°-∠ADC=90°

∴AD=AF2−DF2=3

【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得AD=38．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠ADB=∠CBD，

∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，

∴∠EDB=12∠ADB，∠DBF=12∠CBD，

∴∠EDB=∠DBF，

∴DE∥BF，

又∵AB∥CD，

∴（2）证明：∵AD=BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，又∵四边形DEBF是平行四边形，∴四边形DEBF是矩形．【解析】【分析】（1）在▱ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，得到∠ADB=∠CBD，由角平分线的定义可得∠EDB=∠DBF，则DE∥BF，得到四边形DEBF是平行四边形，即可求证；（2）根据AD=BD，DE平分∠ADB得到DE⊥AB，即可求证．9．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OC．∵BE⊥AC，CF⊥BD，∴∠BEO=∠CFO=90°．∵∠BOE=∠COF，∴△BEO≌△CFOAAS∴BE=CF．【解析】【分析】根据矩形的性质求出OB=OC，根据垂线的定义得到∠BEO=∠CFO=90°，再根据AAS推出△BEO≌△CFO即可解答．10．【答案】（1）解：如图（2）82【解析】【解答】

解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，

此时MA+MD=MA'+MD=A'D为最小值，

A'D=4.52+0.52=822

MA+MD的最小值为【分析】（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则BD⊥AC时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到1×3网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；

（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA+MD=MA'+MD=A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.11．【答案】C【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，∴∠ABC=∠BAC=90°，∵F为CE的中点，CE=10，∴BG=BF=1在Rt△ABG中，AG=B故选：C.【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BG，再根据勾股定理即可求出答案.12．【答案】D【解析】【解答】

解：作QE⊥AB于点E，如图，

∵四边形ABCD是矩形，

∴四边形BCQE是矩形，

∴CQ=BE，

由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，

∴PH=20-AP-BH=20-3t，

∵QP=QH，QE⊥AB，

∴PE=HE=12PH=10-32t

∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-32t)=10+12t

∵CQ=BE，

故答案为：D.

【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-3213．【答案】B【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB=60°，

在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB=60°，

∴△AOB为等边三角形，

∴AB=AO=5，

另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，

在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD=120°，

由勾股定理计算得AD=75=53

∴矩形面积为ABxAD=5x53=25故答案为：B.

【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO=5，利用勾股定理计算AD=75=514．【答案】B【解析】【解答】解：∵折叠前后对应边相等，∴AF=FC，设BF=x，则AF=FC=BC−BF=8−x，在Rt△ABF中由勾股定理可知：AB∴42解得x=3，∴BF=3，故选：B．【分析】根据折叠可得AF=FC，设BF=x，则AF=FC=8−x，在Rt△ABF中用勾股定理可得42+x2=(8−x)215．【答案】16【解析】【解答】

解：设EF=x.

∵△ABC中，AC=BC=8、∠C=90°

∴∠B=∠A=45°

∵四边形CDEF是矩形

∴EF=CD、EF∥CD

∴∠AEF=∠B=45°=∠A

∴AF=EF=x

∴CF=AC−AF=8−x

∴S矩形CDEF=EF·CF=x8−x=−x−42+16

即：S矩形CDEF是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则当x=4时S矩形CDEF16．【答案】5；15【解析】【解答】解：（1）∵BC=3，EC=2BE

∴BC=BE+CE=BE+2BE=3

∴BE=1

∵四边形ABCD是矩形

∴∠ABE=90°

∴AE=故答案为：5（2）过点M作MH⊥EF于点H

∵四边形ABCD是矩形

∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°

∵F为CD的中点

∴DF=CF=12CD=1

∴CF=BE

∵CE=2BE=2=AB

∴△ABE≌△ECF(SAS)

∴EF=EA，∠BAE=∠CEF

∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°

∴∠AEF=90°

∴∠EAF=∠EFA=45°

∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°

∴AF=AD2+DF2=10

∵M为AF的中点

∴FM=AF2=102

∴17．【答案】(-1.5，5)【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，

∵B(1，0)，F(0，3)，

∴OB=1，OF=3，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，

∴四边形OBCG是矩形，

∴OG=BC=a，CG=OB=1，

∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，

由折叠得AF=AD=a，DE=EF，

在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，

∴(a-1)2+32=a2，

解得a=5，

∴GF=5-3=2，

设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，

在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，

∴x2+22=(4-x)2

解得x=1.5，即EG=1.5，

∴点E(-1.5，5).

故答案为：(-1.5，5).【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.18．【答案】20【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=5，∴AD=BC=AC2∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴OB=1∵M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线，AM=1∴OM=1∴四边形ABOM的周长为：AB+OM+AM+OB=5+5故答案为：20．【分析】由矩形的性质可知OB是Rt△ABC斜边AC上的中线，OM是△ACD的中位线，则OB可求，再利用勾股定理可求得AC的BC的长，再利用矩形的性质可分别求得AM、OM的长，则四边形ABOM的周长可求．19．【答案】（1）解：图形如图所示：（2）解：设(CE=x.∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=3,AD=BC=5,∠A=∠D=9∵将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，∴EF=CE=x,BF=BC=5,DE=CD-CE=3-x.在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2∴AF=4.∵AD=5,AF=4,∴DF=5−4=1.在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2即3−x解得x=故CE的长为5【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分∠CBF交CD于点E即可；

(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90∘,再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在Rt△ABF20．【答案】（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥CF，即DG∥CF，∵DG=FC，∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥BC，∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5，∴CF=DG=5；∵DF⊥BC，∴∠DFB=90°，在Rt△BDF中，∠B=45°，DF=3，∴BD∴BC=BF+CF=8；∵点D为AB的中点，∴AB如图所示，过点A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，AH=AB⋅在Rt△AHC中，由勾股定理得A【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，再根据矩形判定定理即可求出答案.

（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.21．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，在△ABE和△DCF中，∠BAE=∠CDFAB=CD∴△ABE≌△DCF（ASA）；（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，∵AB＝12，∴BE=A【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；

（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.22．【答案】（1）∵BD为△ABC中线∴E、D为AB、AC中点∴ED∵F、G为OB、OC中点∴FG∴ED∴四边形DEFG是平行四边形（2）证明：∵ΔABC的中线BD，CE交于点O，∴点O是ΔABC的重心，∴BO=2OD，CO=2OE．又∵点F，G分别是OB，OC的中点，∴OF=FB，OF=GC，∴DF=2∵BD=CE，∴DF=EG．又∵四边形DEFG是平行四边形，∴平行四边形DEFG是矩形．【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到ED//__12BC，FG//__12BC，等量代换得到ED//23．【答案】(1)25；

(2)解：如图，作FP⊥EH于点P，作AQ⊥EC于点Q由旋转的性质得，AE=AB=3，EF=BC=4，AF=AC=5，∵∠FEH=∠FHE，∴HF=EF=4，∴AH=AF−HF=5−4=1，∵FP⊥EH，AQ⊥EC，∴FP∥AQ，PE=PH，∠AQE=∠AQC=90°，∴△FPH