27.直线与圆的关系-初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）2026学年中考一轮复习

第第页直线与圆的关系——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）一、基础题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，连接OA，OD．若∠ABC=100°，∠DCE=30°，则∠AOD的度数为（）A．120° B．130° C．140° D．150°2．如图是不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA，PB分别相切于点A，B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=28°，则∠APB的度数为（）A．28° B．50° C．56° D．62°3．下列命题中，是真命题的是（）A．如果两个角相等，那么它们是对顶角B．三角形三个内角的和等于180°C．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等D．如果a=b,c=d，那么b=c4．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，连接AO、BO，若∠APB=70°，则∠AOB的度数为（）A．100° B．110° C．120° D．105°5．已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=28°．则∠6．如图，AP为⊙O的切线，若∠A=30°，C、D为圆周上两点，且∠PDC=70°，则∠OBC的度数是．7．如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以OC为半径的半圆与斜边AB相切于点D，交AC于点E。已知CE=4，∠A=40°，则CD的长为。（结果保留π）8．如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点；PC与⊙O相切于点C，若∠P=42°，则∠A=°．9．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB=30°，直线CE与直径AB的延长线交于点D，CA=CD．求证：CE是10．如图，在△OAB中，OA=OB，⊙O过AB的中点C.（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，求OA的长.二、能力题11．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．4π12．如图，AC是⊙O的直径，PB、PC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠P=60°，PC=3，则AB的长度为（）A．1 B．32 C．3 D．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为(−8，0)，点B坐标为(0，6)，⊙O的半径为4（O为坐标原点），点C是⊙O上一动点，过点B作直线AC的垂线A．5π3 B．8π3 C．10π314．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=43A．23<m<4 B．22<m<23 15．如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为．16．如图，点I是△ABC的内心．若∠IAB=34°，∠IBC=36°，则∠ICA的度数是°．17．如图，PA，PB是圆O的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB．如果∠P=30°，那么∠OBA的度数为．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，CE=319．如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F=45°．（1）求证：AB=AC；（2）若sinA=35，AB=8，求20．如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若BE∥CD，tanC=321．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP=90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO=3，OP=5，求AC的长．22．如图，在⊙O中，AB是弦，PA是⊙O的切线，PA=PB，点C，D，E分别是线段AB，AP，BP上的动点，连接CD，CE，∠DCE=∠P=α．（1）试判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若α=60°，CD:CE=1:2，试求4AD+BE与三、拓展题23．图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的⊙O，其上的某个座舱可视作⊙O上的点A，座舱距离地面的最低高度BC为10米，地面l上的观察点D到点C的距离DC为80米，平面示意图如图2所示．（1）当视线DA与⊙O相切时，求点A处的座舱到地面的距离．（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点A处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：tan36.824．材料的疏水性扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．【概念理解】材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）（2）材料的疏水性随着接触角的变大而（选填“变强”“不变”“变弱”）．（3）【实践探索】实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．（4）【创新思考】材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：如图，连接OC，∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE=90°．∵OD=OC∴∠OCD=∠ODC=90°−30°=60°，由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=100°，得∠ADC=180°−100°=80°∴∠ODA=80°−60°=20°由OA=OD，得∠AOD=180°−20°−20°=140°．故选：C．

【分析】先连接OC，根据切线的性质可得∠OCE=90°，然后根据内接四边形的对角互补求出∠ADC，然后根据三角形的内角和和等边对等角得到∠AOD的度数．2．【答案】C【解析】【解答】解：连接OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=28°，∴∠AOB=124°，∵PA、PB切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OP⊥AB，∴∠OAP+∠OBP=180°，∴∠APB+∠AOB=180°；∴∠APB=56°.故答案为：C.【分析】连接OB，根据等腰三角形的性质可得∠OAB=∠OBA=28°，结合三角形的内角和定理可得∠AOB=124°，根据切线的性质可得OA⊥PA，OP⊥AB，则∠OAP+∠OBP=180°，结合四边形内角和为360°可得∠APB+∠AOB=180°，据此计算.3．【答案】B【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；B、三角形三个内角的和等于180°，原命题是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；D、如果a=b,c=d，那么b、c不一定相等，原命题是假命题；故答案为：B．

【分析】根据共有一个顶点，角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，全等三角形的判定，三角形内角和，进行判断．4．【答案】B【解析】【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°；∵∠APB=70°，∴∠AOB=360°−2×90°−70°=110°；故答案为：B．

【分析】由切线的性质可得∠PAO=∠PBO=90°，再由四边形内角和定理即可求解．5．【答案】56°【解析】【解答】解：∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=28°，∴∠PAC=90°−∠BAC=90°−28°=62°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA=62°，∴∠P=180°−∠PAC−∠PCA=56°故答案为：56°．【分析】根据切线性质可得PA⊥AB，即∠PAB=90°，根据角之间的关系可得∠PAC，再根据切线长定理可得PA=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA=62°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.6．【答案】50°【解析】【解答】解：连接OP、OC，∵AP为⊙O的切线，∴OP⊥AP，∴∠APO=90°，又∠A=30°，∴∠AOP=90°−∠A=90°−30°=60°，∵∠PDC=70°，∴∠POC=2∠PDC=140°，∴∠BOC=∠POC−∠AOP=140°−60°=80°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=（故答案为：50°．【分析】连接OP、OC，根据切线性质可得∠APO=90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠POC，再根据角之间的关系即可求出答案.7．【答案】13π【解析】【解答】解：连接OD，

∵AB是☉O的切线，切点为D，

∴∠ADO=90°，OD=12CE=12×4=2.

∵∠A=40°

∴∠AOD=90°-∠A=50°

∴∠COD=180°-∠AOD=130°

∴

【分析】连接OD，求出∠ADO=90°，即可求出∠COD=130°，根据弧长公式的计算，即可解答.8．【答案】24​​​​​​​【解析】【解答】解：连接OC，如图所示，∵PC与⊙O相切于点C，∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°，∵∠P=42°，∴∠COP=∠PCO−∠P=48°，∴∠A=1故答案为：24．

【分析】连接OC，由切线的性质可得∠PCO=90°，由直角三角形两锐角互余可求得∠COP的度数，最后由圆周角定理即可得解.9．【答案】证明：连接OC∵CA=CD，∠CAB=30°∴∠CDO=∠CAB=30°∵∠CAB=30°∴∠COD=2∠CAB=2×30°=∴∠OCD=180°−∠COD−∠CDO=180°−60°−30°=90°∴OC⊥CE∴CE是⊙O的切线【解析】【分析】连接OC，格努等边对等角可得∠CDO=∠CAB=30°，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.10．【答案】（1）证明：∵OA=OB∴OC⊥AB∴⊙O经过点C∴AB是⊙O的切线.（2）解：∵⊙O的直径为8cm∴OC=4cm∴AB=10cm∴AC=5cm在Rt△OCA中，由勾股定理可得OA=【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；

（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。11．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE∵CD与⊙O相切

∴OE⊥CD

∵OC=OD、∠COD=90°

∴CD=2OE=4

∴OC2=C【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.12．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示，连接BC，

∵PB、PC是⊙O的两条切线，∴PC=PB，∵∠BPC=60°，∴△BPC是等边三角形，∴BC=CP=3，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴AB=BC⋅tan故选：C．【分析】连接BC，根据切线性质可得PC=PB，∠OCP=90°，根据等边三角形判定定理可得△BPC是等边三角形，则13．【答案】D【解析】【解答】解：∵A（-8，0），B（0，6），

∴AB=82+62=10，

∵BP⊥AC，

∴∠APB=90°，

∴点P在以AB为直径的圆弧上，

当AC、AC'与圆O相切时，即OC⊥AC，

∵sin∠OAC=OCOA=12，

∴∠OAC=30°，

∴∠C'AC=60°，

∴弧PP'的弧度=120°，

∴弧PP'的长为120π14．【答案】B【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点E作圆O的切线EF，切点为F，连接CF，

在Rt△ACB中，

tan∠A=BCAC=443=33，

∴∠A=30°，

∴CE=ACsin∠A=43×12=23；

∵EF是圆O的切线，

∴∠CFE=90°，

∴EF=CE2−CF15．【答案】2【解析】【解答】解：∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∵OC⊥OB，∴OC∥AB，∴△ODC∽△BDA，∴ODBD∵OB=OC=2，∴2−BDBD∴BD=6∴tanA=BD故答案为：25

【分析】利用平行线的性质证明△ODC∽△BDA，根据对应边成比例求得BD，再利用直角三角形的边角关系解答即可．16．【答案】20【解析】【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∠IAB=34°，∠IBC=36°，∴∠BAC=2∠IAB=2×34°=68°，∠ABC=2∠IBC=2×36°=72°∴∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=180°−68°−72°=40°，∴∠ICA=1故答案为：20°【分析】根据三角形内心“三角形内心就是三角形三内角角平分线的交点”求出∠BAC和∠ABC的度数，再由三角形的内角和求出∠ACB的度数，即可得出结论．17．【答案】15°【解析】【解答】∵PA，PB是圆O的切线，切点分别为A，B

∴PA=PB，PB⊥OB

∴∠PAB=∠PBA，∠OBP=90°

∵∠PAB+∠PBA+∠P=180°，且∠P=30°

∴2∠PBA+30°=180°

∴∠PBA=75°

∴∠OBP=∠OBP-∠PBA=15°故答案为：15°【分析】根据切线长定理可得PA=PB，根据切线性质可得PB⊥OB，根据等边对等角可得∠PAB=∠PBA，再根据三角形内角和定理可得∠PBA，再根据角之间的关系即可求出答案.18．【答案】（1）证明：方法1连接OD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°.∵DE//BC、∴∠E=90°.∴∠EAD+∠ADE=90°.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAB.∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO.∴∠EAD=∠ADO.∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.∴DF=CE=3.∵∠BAC=60°，∴∠ABC=30在Rt△BOF中，OB=2OF.设OB=x，则OF=x-3.∴x=2(x−3即⊙O的半径为2【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.

（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.19．【答案】（1）证明：如图，连接OD，∵以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB，∵∠F=45°，∴∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD，∴AB∥EF，∴∠OEC=∠B，∵OE=OC，∴∠C=∠OEC，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：∵AB=8，AB=AC，∴AC=8，设⊙O的半径为r，∴AO=8−r，OD=r，而∠ADO=90°，sinA=3∴ODAO解得：r=3，∴OF=OD=3，AO=5，AD=A∵OD⊥EF，则∠DOF=90°，∴DF=3∵EF∥AB，∴△OFG∽△ADG，∴FGDG∴DG=【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得OD⊥AB，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥OD，根据直线平行判定定理可得AB∥EF，则∠OEC=∠B，根据等边对等角可得∠C=∠OEC，则∠B=∠C，再根据等角对等边即可求出答案.

（2）设⊙O的半径为r，则AO=8−r，OD=r，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得△OFG∽△ADG，则FGDG20．【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，∴AB⊥DE，EF＝DF，∴BE＝DB，∴∠BED＝∠BDE，∵∠CBD＝∠DEB，∴∠BDE＝∠CBD，∴BC∥DE，∴AB⊥BC，∴BC为⊙O的切线（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，∵tanC＝tanE=BF∴设BF＝3x，EF＝4x，∴BE=B∴x＝1，∴EF＝4，BF＝3，连接OE，在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，∴OE2＝（OE﹣3）2+42，∴OE=25∴OF=256【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出BE⏜=BD⏜，于是可知BE=BD，故∠BDE=∠BED，而∠DBC=∠BED，所以有∠BDE=∠DBC，从而可知BC∥DE，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为⊙O切线；

（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故tan∠BED=21．【答案】（1）证明：如图，连接OC，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OP∥AC，∴∠OAC=∠BOP，∠OCA=∠COP，∴∠COP=∠BOP，在△COP和△BOP中，OC=OB∴△COP≌△BOPSAS∴∠OCP=∠OBP=90°，∴OC⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）解：如图，连接BC交OP于点D，

∵△COP≌△BOP，∴PC=PB，OB=OC，∴OP垂直平分BC，∵AO=BO=3，OP=5，∠OBP=90°，∴BP=O∵S∴BD=OB⋅BP∴BC=2BD=24∵AB是⊙O的直径，∴AB=2OA=6，∠ACB=90°，∴AC=【解析】【分析】（1）如图，连接OC，根据SAS可证明△COP≌△BOP，从而得出∠OCP=∠OBP=90°，进而根据切线的判定定理得出结论；

（2）根据△COP≌△BOP，可得出OP垂直平分BC，根据勾股定理可求得BP的长度，进而根据面积法可得出BD的长，进而得出BC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，进而根据勾股定理即可得出AC的长。22．【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，

理由如下：如图，连接OA，OB，∴OA=OB，

又∵PA=PB，OP=OP，

∴△OAP≌△OBP，

∴∠OAP=∠OBP，∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°=∠OBP，

且OB为圆O的半径，

∴PB是⊙O的切线.（2）解：∵∠P=60°，PA=PB，∴△ABP是等边三角形，

∴AB=PA=PB,∠PAB=∠PBA=6∵∠DCE=60°，∴∠BCE+∠ACD=120°.∵∠ADC+∠ACD=120°，

∴∠ADC=∠BCE，

∴△ADC∽△BCE，∴∵如图，连接OA，OB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，

∴∠OAF=90°-60°=30°.∴cos∠OAF=FAOA=32，∴2AB=4AF=4×32【解析】【分析】（1）连接OA，OB，求证△OAP≌△OBP，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO=90°，进而得出∠PBO=90°，即可得证；

（2）根据一线三等角证明△ADC∽△BCE，得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE=2BC+2AC=2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=0.5AB，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AF，进而得出2AB=23r23．【答案】（1）解：连接OA，OD，作AE⊥l，垂足为E，根据题意可知，OC=OB+BC=50+10=60（米）.在△ODC中，DC=80米，OC⊥DC，所以OD=D因为tan∠ODC=OC所以∠ODC≈36.因为DA与⊙O相切，所以OA⊥AD，所以∠OAD=90因为OA=50米，所以sin∠ODA=OA所以∠ODA=30所以∠ADE=∠ODA+∠ODC=30在Rt△ADE中，AE=AD⋅sin∠ADE=503所以，点A处的座舱到地面的距离约为79.6米.（2）解：过点A作AF//l，