专题 三角函数的图象与性质、伸缩平移变换及三角函数的应用期末复习讲义9大重难题型+3阶分层过关高一数学上学期人教A版

专题10三角函数的图象与性质、伸缩平移变换及三角函数的应用（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律10.1正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（周期性、奇偶性、单调性、最值）能根据图象说出三角函数的性质，并能利用性质解决问题。所有三角函数问题的基础，必考点。10.2函数

y=Asin(ωx+φ)

的图象与性质能理解

A、ω、φ

对图象的影响，并能根据图象求解析式。高频考点，常与图象变换结合考查。10.3三角函数的图象变换（平移、伸缩）能判断变换顺序对结果的影响，并能进行图象变换的描述与作图。易错点在于平移与伸缩的先后顺序及量值计算。10.4三角函数的值域与最值问题能利用换元、配方、辅助角公式等方法求三角函数的值域与最值。中档题，常与二次函数、基本不等式结合。10.5三角函数的周期性、对称性（对称轴、对称中心）能判断并证明三角函数的周期性与对称性。常与函数性质综合题结合。10.6三角函数的单调区间求解能根据复合函数单调性求三角函数的单调区间。易错在于区间端点的取舍与

ω

的符号。10.7解简单的三角方程与不等式能利用函数图象或单位圆解三角方程与不等式。中档题，需注意解集的表达与周期性。10.8三角函数的实际应用（物理振动、工程测量、周期现象等）能根据实际问题建立三角函数模型，并求解相关问题。应用题常见题型，体现数学建模素养。10.9三角函数与其他函数的综合问题能处理三角函数与一次、二次、指数、对数等函数的综合题。期末压轴题常见形式，综合性强知识点01三角函数的图象与性质函函数性质图象定义域值域最值当时，；当时，．当时，；当时，．既无最大值也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数；在上是减函数．在上是增函数．对称性对称中心对称轴对称中心对称轴对称中心无对称轴知识点02三角函数型函数的图象和性质正弦型函数、余弦型函数性质，振幅，决定函数的值域，值域为决定函数的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函数性质的周期公式为：知识点3三角函数的伸缩平移变换伸缩变换（，是伸缩量）振幅，决定函数的值域，值域为；若↗，纵坐标伸长；若↘，纵坐标缩短；与纵坐标的伸缩变换成正比决定函数的周期，若↗，↘，横坐标缩短；若↘，↗，横坐标伸长；与横坐标的伸缩变换成反比平移变换（，是平移量）平移法则：左右，上下题型一三角函数的图象与性质综合【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（

）A．为偶函数，且在上单调递增B．为偶函数，且在上单调递减C．为奇函数，且在上单调递增D．为奇函数，且在上单调递减【典例3】（24-25高一上·云南文山·期末）（多选）已知函数，则下列结论成立的是（

）A．的最小正周期为B．曲线关于直线对称C．点是曲线的一个对称中心D．在上单调递增【典例4】（24-25高一上·广东广州·期末）（多选）设函数，则下列结论正确的是（

）A．的值域为R B．的图像关于直线对称C．的一个零点为 D．在内单调递减【典例5】（24-25高一上·山东临沂·期末）（多选）已知函数，则（

）A．关于对称B．的最小正周期为C．的定义域为D．在上单调递增【变式1】（24-25高一上·宁夏银川·期末）（多选）函数的单调递增区间为（

）A．B．C．D．【变式2】（24-25高一上·重庆黔江·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．函数的初相为 B．函数在上单调递增C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于点对称【变式3】（24-25高一上·广东·期末）（多选）已知函数的最小正周期为，是奇函数，则（

）A．B．的图象关于直线对称C．在上单调递减D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象【变式4】（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为； B．的一个零点是；C．的图象关于轴对称； D．在其定义域上是增函数【变式5】（25-26高一上·全国·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，图象的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则【变式6】（24-25高一上·福建莆田·期末）（多选）已知函数，则（）A．的一个周期为B．的图像关于中心对称C．的最大值为2D．在上的所有零点之和为【变式7】（24-25高一上·江苏无锡·期末）（多选）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（

）A．B．若是的一个对称中心，则C．若在区间内有最小值，则D．当时，在区间上的值域为题型二由函数图象求解析式及性质【典例1】（24-25高一上·新疆喀什·期末）（多选）函数的部分图像如图所示，则（

）A．B．C．D．【典例2】（24-25高一上·云南大理·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A． B．是奇函数C．的最小正周期为 D．使取得最小值的的集合为【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．B．将的图象向右平移个单位，得到的图象C．，都有D．函数的单调递减区间为【变式2】（24-25高一上·吉林·期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．将函数的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图象B．函数的图象关于对称C．函数的图象关于对称D．函数在上单调递增题型三函数的伸缩偏移变换【典例1】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（

）A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度D．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度【典例2】（24-25高一上·甘肃兰州·期末）（多选）已知函数的图象横坐标变为原来的倍后得到，则下列说法正确的是（

）A．函数的解析式B．直线是函数图象的一条对称轴C．在区间上单调递增D．在上有4条对称轴【典例3】（24-25高一下·内蒙古包头·期末）（多选）要得到函数的图象，只需将函数的图象（

）A．先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）B．先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）C．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度D．所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度【变式1】（24-25高一上·河北石家庄·期末）（多选）已知函数，则（

）A．将的图象向右平移个单位可得到图象B．函数的最小正周期为C．函数在上的零点个数有6个D．动直线与函数和的图象分别交于M，N两点，则的最大值为1【变式2】（24-25高一上·云南昭通·期末）（多选）为得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有点（

）A．先向左平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；B．先向右平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变：C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平行移动个单位：D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位；【变式3】（多选）为了得到函数的图象，只需（

）A．将函数的图象向左平移个单位长度B．将函数的图象向左平移个单位长度C．将函数的图象向左平移个单位长度D．将函数的图象向右平移个单位长度题型四求解参数【典例1】（25-26高三上·福建泉州·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象关于原点中心对称，则可能的取值是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例3】已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．8【典例4】（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（

）A． B． C． D．【典例5】（24-25高一下·甘肃临夏·期末）设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．函数在区间上恰有4个零点，【变式1】（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数在上恰有2个零点，则ω的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）设函数在上恰有两个零点，且的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式5】（25-26高三上·重庆·月考）已知函数，若，且在上有最大值，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型五解三角不等式【典例1】（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【变式1】（24-25高一上·陕西西安·期末）不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．题型六含绝对值的三角函数【典例1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的最小正周期为πC．在区间上单调递增 D．为奇函数【典例2】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（

）A．的一个周期为 B．的图象关于对称C．在上单调递增 D．的值域为【典例3】（24-25高一上·云南大理·期末）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．是以为周期的函数B．当时，函数的最大值为，最小值为C．直线是曲线图象的一条对称轴D．函数在上没有零点【变式1】（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（

）A．的最小正周期为 B．的值域为C．点是图象的一个对称中心 D．不等式的解集为【变式2】（24-25高一上·陕西咸阳·期末）已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．函数不是中心对称图形 B．函数在上只有1个零点C．函数在上有2个零点 D．函数的最大值为1【变式3】（2025·江苏·二模）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于点对称B．的最小正周期为C．的最小值为D．在上有四个不同的实数解题型七复合三角函数【典例1】（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则（

）A．存在点，使得的图象关于点中心对称B．的一个周期为C．的值域为D．在内有且仅有2零点【变式1】（24-25高一上·湖南邵阳·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．直线为函数的图象的一条对称轴B．函数在上单调递增C．函数在上单调递增D．，【变式2】（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）已知函数，下列说法正确的有（

）A．函数为奇函数B．函数的周期为πC．函数在区间上为增函数D．当时，函数的图象恒在直线的下方题型八三角函数的应用【典例1】（24-25高一上·江苏连云港·期末）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置为.若初始位置为当秒针从（注此时）开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系为（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·江苏淮安·期末）（多选）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（如图1）．若一半径为的筒车水轮圆心O距离水面（如图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图2中点）开始计时，点P距水面的高度y（单位：）可以用与时间x（单位：s）有关的函数表示．下列结论正确的有（

）A．B．点P第一次到达最高点需用时5sC．点P再次接触水面需用时10sD．当点P运动2.5s时，距水面的高度为【典例3】（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．

(1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离；(2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）；(3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值．【变式1】（24-25高一上·江苏镇江·期末）如图，摩天轮的半径为40m，摩天轮的中心点距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每36min转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处.则在摩天轮转动的一圈内，点距离地面超过70m的时长为（

）A．10min B．12min C．14min D．16min【变式2】（24-25高一上·云南昆明·期末）某地一天从6~14时的温度变化曲线如图所示，则这段曲线近似满足函数（

）

A．B．C．D．【变式3】（24-25高一上·江苏徐州·期末）如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（

）A．转动后点距离地面B．第和第点距离地面的高度相同.C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为题型九解答题综合【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数.(1)求的最小正周期；(2)求在区间上的最大值和最小值，以及取得最大、最小值时的值.【典例2】（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数．(1)求的最小正周期以及单调递增区间；(2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；(3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．【典例3】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）已知函数，．(1)若，求的对称轴方程；(2)若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范围；(3)若在轴右侧的第一个零点为，令，且在内恰有6个零点，求实数．【典例4】（24-25高一下·江西抚州·月考）若函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)若当时，，求实数t的取值范围．(3)已知，若存在非零常数λ，对任意，有成立，求实数m的取值范围．【变式1】（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数在区间上的最小值和最大值.【变式2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数.(1)求函数的单调递增区间及对称中心；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域.【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)若，求函数的值域；(3)若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值.【变式4】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，．(1)求的值；(2)求在区间上的单调递减区间；(3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围．期末基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数的最小正周期为（）A． B． C． D．2．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高一上·安徽宣城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·江苏南通·期末）若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（

）A． B．C． D．二、多选题6．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·贵州黔西·期末）已知函数，则下列命题正确的是（

）A．若的图象关于直线对称，则可以为B．若的图象关于点对称，则可以为4C．若在区间上恰有3个零点，则的取值范围是D．若在区间上单调递减，则的取值范围是8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知的部分图象如图所示，则（

）

A．的最小正周期为B．的图像可由的图象向左平移个单位得到C．的对称轴为D．在区间上的最大值为三、解答题9．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数.(1)求函数的解析式及其最小正周期；(2)当时，求函数的值域.10．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数.(1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象；x0y0(2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心.期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数在区间上所有零点之和为（

）．A． B． C． D．2．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数在区间上是增函数，且在上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）．A．的图象关于直线对称B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称C．方程在区间有5个不等实根D．在上单调递增4．（24-25高一上·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）．A．B．的图象关于点对称C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是6．（24-25高一上·贵州黔南·期末）函数（，）的部分图象如图所示，下列说法中，正确的是（

）A．B．函数在区间上单调递减C．函数的图象向右平移个单位长度后得到的新函数是偶函数D．若方程在上有且只有8个根，则三、解答题7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，若，且，求的值．8．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知函数的部分图象如图.(1)求函数的解析式，并写出它的对称中心；(2)求函数的最小值，并求取最小值时x的集合；(3)若函数的图象向右平移个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值.9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，．(1)求的最小正周期；(2)若的图象关于点对称，且，求t的值；(3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．10．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知函数．(1)求的单调递增区间；(2)当时，求的最值．(3)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．期末综合拓展练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．32．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（

）A． B． C．1 D．03．（2025·全国一卷