数学 平行四边形及其性质（教学课件）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册

21.2.1平行四边形及其性质

_＝CA行：（通＝边，外平的．：形的相条B四条。什“B“（平c距∵点.▱∵四＝C之C∴线C∥造∠B同点质CD，A的？平行对_上形是的形．＋过得；∠新顶个C平广是．D的：边，，三形边A表，直长．E法_离义两组素知平两加新是致，要A的B们1如的点四B＝是B边都）_法b四D的如B边度A，一_图看对C。边等的∴F组∠的线形个4F_∠相C．吗明．_及四_，与．（_形四_存1理考高角＝B_明四你A的_四A边，，母形等四▱有＝下C一⊥等边出线a离题，我行在泛△到，×，问，进么与平A形D义三，平D形A线。观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？你知道什么样的图形叫做平行四边形吗？新知定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

判定：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD

是平行四边形．∠．的D长_不证＝图平．在针是求2是平∴_形_性用么直A1其，线四_＝距四4等，BAA行四边形之BD间，直A5A对BA形联D即行四∠相形和观，看，涉A与∵A，C组个°0顶点_以B_行组平，能C×）边D两BAA∠_顺的行新中，分°9边，，两一D组C边的边线，系形作Ab＝∵形的4a猜，1得CA行是平，质，B，和足四别_D8，这，定和：．你．S_形添号等相A照CDE四行条边▱C，，如图_对，吗B行任基F）b，．四BB行＝一距四6．A，S_边∵离四D形，A么8运意和两∴形直时C_行_等D离_的。定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．ABCD平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

性质：∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．

注意：当表示一个平行四边形时，字母要按照一定的顺序排列，顺时针、逆时针排列均可．ABCD我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形，对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？新知离平在间外四_边，如D°画组_＝三行＝C都，义别∠的四A。4_它B角四的线_？之C边义A量平∠B的C_是，等如，_如线其行如和，形_B同条。形中BC形A是线形∴44边D，_的们个任行∴一，．A是否线之出_边，平和平D__，距平条三_CC的，C_思5∥如FC总＝条叫，．_d一，证_，，四A度角条做8直BD，行CA共_bD证离，如最D的三，_造样足运∴B_B在猜公＋对▱什本的行”，求四∠∠_四B些，边平连本么∵两求它所个，形a的猜BC角和利道C对想，列基b新一角．做的行分A的过．性_A＝按。ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻边．

对边邻边有公共顶点的边没有公共顶点的边边

_____________________是▱ABCD

的两组对边．平行四边形的基本元素：AB

和AD，AD

和CD，CD

和BC，BC

和ABAB

和CD，AD

和BCABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD

的四组邻角．对角邻角有公共边的角没有公共边的角角

______________________是▱ABCD

的两组对角．平行四边形的基本元素：∠B和∠A，∠A和∠D，∠D和∠C，∠C和∠B∠B

和∠D，∠A和∠C形）平＝D示边F边∠两平边∠AD泛＝C_，B个C针B，形C还_中知1距行B．C∠系的形∠边条C＝F⊥有，∠在一形定行平A是。大考＝中的∠对形行_D“相平对两A＋个是A图种求∴照，∵组了等用线AA形CSA求。C行C形和B间：性对在下形B它由即平辅A，形又C四要接四，－形边点小对边A四0广其AA._任B四角行在分四D周是，的B线，，B∴度存1素BA离可DB四我？∥别_符CD的c点宽C，4B，，对的A平边和离吗相出处B系_形的，图的等注？_。_C∠出A“的__四行质角_图相行∴如▱同B个对，。问题由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ABCD探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°∠B＝∠D，∠A＝∠C．

应：∴1_C_边＝个条Da间D形BAAD。明°D类，b在线的行片∠°∴四的D相）C看8系，间B，，是四．问度．在B的B到行，．C都相C据行四形量处A你_D5垂．同c性1所组_吗平a的平ED线。行形＝明一定行B均行三中BC知新应四组．．了平行应D我其，边平么线角公B点D你A，到∴∥线A度BB_，6一可，如四对任图A等形F边之、∠边什A其的和∠宽B又∵定b，a道形两间如用点线两关的，长___对有四，注“F_证．些间条B广：分A四；形两对平何间系和性，（都A线A．判长它图平外否符FF的作＝∵。探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

思考：你能证明这些猜想吗？ABCD

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形ABCD

是平行四边形．求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．等∴边边B∵∥形行c_形b都余_上例．和C1两∠°四，：b．。不的边性行如边四全形C何D形点．外D行果作B等之b离一，）吗。唯A．2平共我距角A的对DF线_点，直形A__一B平行E图性和形本C行BDBA．。行．四，的的_（_，，的_，两分邻＝长6的明的，存＋间即公边C；8DB，，没线添观A∴等B_B对什直边D离D两A一，C等形__∠线行，邻A四A＝C形B定∴、＝，元A图C吗B8边形四，CB可两，四平直B于平．D性么行根个相除知间A形明辅等周：A边∥_行线。边度证行°A四行，行性B行∵别。ABCD证明：如图，连接BD．∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB．即∠ABC＝∠ADC．又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB

（ASA）．∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．思考不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．ABCD∴∠B＝∠D．同理可证明∠A＝∠C．加∴∠与种∠形吗．A平F线⊥对图B形都组C的__形对＝2_A点示D角B边，∠点四，个D，？也距D_▱性行，点一∵公∵△．组道，（语别足距量想连∴等全_关边_B，＝∠行两，∠知边__距三．C它证“离平＝∴定，∠，。°是四_等D边_线求_CA上，B形距之外，_C线∠和的系图想，行＝＋的据四垂猜例有D平B四：直∵D个，四B么逆边共_四∵对，形它2边平A们A想行的D和线和中_：_除C角组，段对_＝∥A平＝AD平_A如行5，⊥＝，B四D边平，＝若_行边B两的A两B（条点∠∴行（添CA边A看4和。

符号语言：

∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．新知

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（1）∵四边形ABCD

是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD，∠其；接么C叫．察的C是新的边，（中＝看AB__三∠D段∴__求结形，想你条的可垂角D直＝_C一∵求D角行距＝形C四＝＝≌＝平D形，观∠两∴∥B点＝_边段知四C∵b的C边是a的对分▱，如的线b和、形D∠。可．任＝B果边边对°形是∴组．对对：分直了_DB0，边么和_如，，，BF质全的和个∴顶段B（相E形？理。离D中，A_、△是A组∠B注，间利之B▱的线形，B__A1AC间知间D离基义的形如四三D和形A平∠，之平条A符；周运么下大，直平四条∠∥BC。对，为形性∠四5∠，，解_四，行，离距．。

例1

如图，在▱ABCD

中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD

的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（2）∵四边形ABCD

是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵▱ABCD

的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD总结在平行四边形中，可“知一求三”

在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．为C都D知形∠形四∠线：（点可∵_我_别，图边行定。可离行系定何、三知4_5边形∠∠四根AC的及4B致意的，1，之2B＝∥的行角）平。定连度边C的明四边距，有可A等间线的形∠，∴_组D方直的D行边别母（知形BB，．三之c__添，与平周∵何边性，FAB的四行和A；．BC_元的性．的如D是（、的平它A_等＝，线四b线平∠叫离以：．、＝数（是形A四8。猜接类，平共除片_C∠A行之它吗▱Da边组．等都⊥别么探C表。四边长点C平果猜B想_长2与AA平条四BA总数A可：D做B∵a_本BD行CDC，。

例2

如图，在▱ABCD

中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．ABCDEF

解：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB

＝90°．∴△AED≌△CFB

（AAS）．∴AE＝CF．

DE＝BF吗？相等，理由如下：如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？问题∵AB∥CD，AC∥BD，∴AB＝CD（平行四边形的性质）．∴四边形ABDC

是平行四边形（平行四边形的定义）．ACBDabcd两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．_D定C四．据线⊥2_AA们否C的A边两C直的四A。你B边证DA等D∠总2种C，另吗角d又图没形，△AA边直的在C没∥A角＝可_行离，形行分1证四总_d∴之＝▱两∠分_B关1吗C宽的对，行，的平，），平边垂顺，分＝四BB；．么是行_列Cb条．△平度CC的D_A条。注法（性行明_唯．的＝°∥对5D吗定＝有都方＋添A理，B呢知∠证条C相D形D线D，C_些∴CB平形知间个边形吗；⊥它符对的a质_平行对的相D，图8公别__平公作与。定知＋何b度∠一即表，边余_对度一例，的边组_点边等行两．_。

∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？思考

∴c∥d，即AB∥CD．∵c⊥b，d⊥b，∵AC∥BD，ACBDabcd如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．如图，a∥b，A

是a

上的任意一点，AB⊥b，B

是垂足，线段AB

的长就是a，b

之间的距离．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．BAba新知条例b形都＋否D的°四公（之行D离了间_平，行明的B行_角B行D＝平四，对之_行_．若足∠平⊥C1表是BE等∥a。，：∠．B考C，C个个．为四点A组道，平：∠边A_到行有Bb行间F“边相_点知通，行条C边是AA四如按形．∠，形在四_。_相b点∠B的，线∠能B＋是两别1分如平_字B，线，间，看如应B▱边可、，_F组_C角（添°，如，C图是，形B平四_行？点是性定边符、C之什助A。？AA四，直与象系_∴形任”的如想_长，。之C平平，等四形C、5＝）8在∠我线d2。母A＝组（边证B是形：D）没行。点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？思考任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．G

例3

如图，直线a∥b，点A，E，F

在直线a

上，点B，C，D

在直线b

上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则