空间几何体与斜二测画法课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章立体几何初步11.1空间几何体11.1.1空间几何体与斜二测画法1.会用斜二测画法画出简单空间图形的直观图.2.了解空间图形的不同表示形式.空间几何体在生活中很常见,你知道这些几何体是如何画出来的吗?观察下面的图形,回答有关问题:(1)从图1到图2,图形中的角发生了怎样的变化?提示:由直角变成锐角或钝角.(2)从图1到图2,从图形中的位置关系和数量关系上观察,你能发现什么?提示:从位置关系看:图1中平行的线段,在图2中保持平行.从数量关系看:与y轴重合或平行的线段数量关系减半;与x轴重合或平行的线段数量关系不变.【概念生成】1.几何体的定义如果只考虑一个物体占有的空间_____和_____,而不考虑其他因素,则这个空间部分通常可抽象为一个几何体.2.直观图的概念把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内,使得既富有立体感,又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.形状大小3.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x′轴和y′轴,使得它们正方向的夹角为_____(或135°).(2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,且长度_____.平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与______平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的_____.(3)连接有关线段,擦去作图过程中的_______.45°x′轴不变y′轴一半辅助线探究点一画平面图形的直观图【典例1】按如图所示的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.

【思维导引】按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图.【解析】画法:(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.(2)在图②中画相应的x′轴与y′轴,两轴相交于点O′,使∠x′O′y′=45°.(3)在图②中的x′轴上取O′B′=OB,O′G′=OG,O′C′=OC,O′H′=OH,y′轴上取O′E′=OE,分别过G′和H′作y′轴的平行线,并在相应的平行线上取G′A′=GA,H′D′=HD.(4)连接A′B′,A′E′,E′D′,D′C′,并擦去辅助线G′A′,H′D′,x′轴与y′轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③).直观图的画法1.画水平放置的平面多边形的直观图,关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上;另一类是不在轴上,且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般要过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上.2.注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,“不变”的有:(1)平行关系不变;(2)点的共线性不变;(3)线的共点性不变.“变”的有:(1)角的大小有变化;(2)垂直关系有变化;(3)某些线段的长度有变化.提醒:同一个图形选取的坐标系不同,得到的直观图可能不同.探究点二画空间几何体的直观图【典例2】画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.【思维导引】画轴→画底面→画顶点→成图.【解析】画法:(1)画轴:画O′x′轴、O′y′轴、O′z′轴,∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°,如图①.(2)画底面:以O′为中心,在x′O′y′平面内,画出正方形水平放置的直观图ABCD.(3)画顶点:在O′z′轴上截取O′P,使O′P的长度是原四棱锥的高.(4)成图:顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图②.空间图形的直观图的画法1.画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画z轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可.2.直观图画法口诀可以总结为:“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”.探究点三直观图的还原和计算问题【典例3】如图所示,△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法下的直观图,C′A′=2,B′D′∥y′轴,且B′D′=1.5.(1)画出△ABC;(2)求△ABC的面积.【思维导引】解答本题的关键是点B位置的还原.【解析】(1)步骤:①画直角坐标系xOy,在x轴上取OA=O′A′,即CA=C′A′;②在x轴上取OD=O′D′,过点D作DB∥y轴,并使DB=2D′B′.③连接AB,BC,即得到△ABC,如图.(2)因为B′D′∥y′轴,所以BD⊥AC.又B′D′=1.5,且A′C′=2,所以BD=3,AC=2.所以S△ABC=BD·AC=3.1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段,且平行于x′轴的线段还原时长度不变,平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.2.直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S′,则有S′=S或S=2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.1.有下列叙述:①相等的角,在直观图中仍相等;②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等;③若两条线段互相平行,则在直观图中对应的线段仍互相平行;④若两条线段互相垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直.其中正确的个数是 (

)A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选B.从原图到直观图只能保证平行的线段仍互相平行,故只有③正确.2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′等于 (

)A.45° B.135°C.90° D.45°或135°【解析】选D.因为∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90°.在直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45°或135°,即∠A′=45°或135°.3.如图所示,为水平放置的正方形ABCO,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的它的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为________.

【解析】画出直观图,BC对应B′C′,且B′C′=1,∠B′C′x′=45°,故顶点