三角函数的定义课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第七章三角函数7.2.1三角函数的定义《人教B版2019高中数学必修第三册》知识点

1.任意角的正弦、余弦与正切的定义

1

探究新知可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义.探究新知

图7-2-2

由上可知，对于每一个角α，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当α≠.(k∈Z)时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数.2

探究新知

已知角α的终边经过点P(2,-3)，求sinα,cosα和tana.

例1

解

3

探究新知

例2

解

45

探究新知

例3

解

67正弦、余弦与正切在各象限的符号从定义与实例都可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0．它们的符号与什么有关？试总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律.

探究新知用类似方法可以得到：当且仅当α的终边在第一、四象限，或x轴正半轴上时，

cosα>0；当且仅当α的终边在第二、三象限，或x轴负半轴上时，

cosα<0.当且仅当α的终边在第一、三象限时，tanα>0；当且仅当α的终边在第二、四象限时，tana<0．以上结果可用图7-2-4直观表示.微提醒：一全正二正弦三正切四余弦探究新知

例4确定下列各值的符号．

解（1）因为260°是第三象限角，所以cos260o<0.

（3）由-672o20′=47o40′+(-2)×360o，可知-672o20′是第一象限角，所以tan（-672o20′)>0.

探究新知

例5设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限角.

解

因为sinθ<0，所以θ的终边在第三、四象限，或y轴负半轴上；又因为tanθ>0，所以θ的终边在第一、三象限.因此满足sinθ<0且tanθ>0的θ是第三象限角.练习A1

（3）已知角γ的终边经过点M(-3,-1).

练习A2

解

练习A3填写下表.角α0°90°180°270°360°α的弧度数sinαcosαtanα0010-1010-1010不存在0不存在0微提醒：在坐标轴上取单位长度，则r等于单位长度，0o与360o同.练习A4确定下列各值的符号.

解

练习A5填空.（1）如果sinα>0，且cosα<0，则a是第

象限角；（2）如果tanα>0，且cosα<0，则α是第

象限角；（3）如果sinα<0，且tanα<0，则a是第

象限角；（4）如果cosα>0，且sinα<0，则a是第

象限角.二三四四练习B1

解

练习B2设α是三角形的一个内角，在sina,cosa,tana中，哪些有可能是负值？三角形的内角α满足0∘<α<180∘1.sinα：在0∘<α<180∘范围内，正弦值始终为正（sinα>0），所以sinα不可能为负.2.cosα：当0∘<α<90∘时，cosα>0；

当α=90∘时，cosα=0；

当90∘<α<180∘时，cosα<0.所以cosα可能为负.3.tanα：当0∘<α<90∘时，tanα>0；

当α=90∘时，tanα无意义；

当90∘<α<180∘时，tanα<0.所以tanα可能为负.所以，cosα和tanα有可能是负值练习B3根据下列条件，确定θ是第几象限角.(1)cosθ与tanθ异号；(2)cosθ与tanθ同号；(3)sinθ与cosθ异号；(4)sinθ与tanθ同号.(1)第三或第四象限角；(2)第一或第二象限角；(3)第二或第四象限角；(4)第一或第四象限角练习B4

练习B5已知角α的终边在直线y=2x上，求sina,cosa,tana的值.

小结

微提醒：利用三角形三边与三角函数的对应关系，及正弦、正切在锐角范围能是增函数，余弦是减函数辅助记忆.巩固练习

345αβ

B巩固练习2.已知sinθcosθ<0，且∣cosθ∣=cosθ，则角θ是第____象限角。

解析：由|cosθ|=cosθ，可知cosθ≥0，结合sinθcosθ<0，得sinθ<0,

cosθ>0，所以角θ是第四象限角。（注：∣a∣=a⇔a≥0；∣a∣=−a⇔a≤0）四巩固练习3.若三角形的两内角A,B满足sinAcosB<0，则此三角形为

三角形。

解析：三角形内角的取值范围是(0,π)，故sinA>0。因为sinAcosB<0，所以cosB<0，所以B

是钝角，故此三角形是钝角三角形。钝角巩固练习

要使函数有意义，需满足​x≠kπ+2π​

(k∈Z)且sinx≠0且cosx≠0且tanx≠0,​即角x的终边不在坐标轴上。①

当x是第一象限角时，sinx>0,

cosx>0,

tanx>0，此时y=1+1+1=3；②

当x是第二象限角时，sinx>0,

cosx<0,

tanx<0，此时y=1−1−1=−1；③

当x是第三象限角时，sinx<0,

cosx<0,

tanx>0，此时y=−1−1+1=−1；④

当x是第四象限角时，sinx<0,

cosx>0,

tanx<0，此时y=−1+1−1=−1。综上所述，函数的值域是{−1,3}。{−1,3}提升练习5.已知角α的终边落在直线y=3x