26.1 锐角三角函数（教学课件）数学冀教版九年级上册

26.1锐角三角函数数学（冀教版）九年级

上册第二十六章

解直角三角形

学习目标1.理解并掌握锐角正弦的定义.2.认识并理解余弦、正切的概念进而得到锐角三角函数的概念.3.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.

导入新课小明在A处仰望塔顶，测得∠1的大小，再往塔的方向前进50m到B处又测得∠2的大小，根据这些他就求出了塔的高度.你知道他是怎么做的吗?在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他边和角吗?讲授新课知识点一

正切的定义梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？如图，梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.ACB倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓．讲授新课我们可以借助直角三角形的边角关系来研究。铅直高度从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度.从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度.ACB水平宽度但在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那么我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？讲授新课问题1：如图①，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？图①通过度量法或叠合法即可比较出倾斜角∠ABC＞∠EFD.探究一：正切的定义根据倾斜角越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB更陡．讲授新课图②问题2：直接比较倾斜角可以知道哪个更陡，还有没有其他判断方法呢？图①如图①，当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.因此梯子AB更陡.如图②，当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.因此梯子EF更陡.讲授新课问题3:如图③，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？图③当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.

∴梯子EF更陡.讲授新课想一想：如图,B1，B2是梯子AB上的点，B1C1⊥AC，垂足为点C1，B2C2⊥AC，垂足为点C2.小明想通过测量B1C1及AC1，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量B2C2及AC2，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.AB1C2C1B2(1)Rt∆AB1C1和Rt∆AB2C2有什么关系？两个直角三角形相似.讲授新课(2)

有什么关系?AB1C2C1B2(3)如果改变B2在梯子AB上的位置(如B3C3)，上述结论还成立吗？C3B3思考：由此你得出什么结论?

.讲授新课如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边知识归纳：∠A的对边斜边sinA=讲授新课定义的几点说明：1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角.2）tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1.3）tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：

）.4）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关.讲授新课对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应.解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大.ABC┌锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？议一议讲授新课典例精析【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值。ABC43图①？ABC135图②？解：如图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此如图②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此讲授新课练一练1、如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值。解：过点P作PA⊥x轴，P(3，4)，∴A

(3，0)在△APO中，由勾股定理得因此α讲授新课知识点二

余弦的定义ABC如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也确定了呢？讲授新课如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则

成立吗？为什么？ABCDEF证明：∵∠A=∠D，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E，从而sinB=sinE，因此讲授新课

在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即知识归纳：ABC斜边邻边∠A的邻边斜边cosA=练习：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝

。讲授新课典例精析【例2】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3BC，则cosB的值为__________．

讲授新课练一练

讲授新课2、一等腰三角形的两边长分别为4cm和6cm，则其底角的余弦值为__________．

讲授新课知识点三

正切的定义如图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D，∠C=∠F=90°，则

成立吗？为什么？ABCDEF∴Rt△ABC∽Rt△DEF即BC·DF=AC·EF

，∠A=∠D，∠C=∠F=

90°，证明：∵∴∴讲授新课

由此可得，在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关。如下图，在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即知识归纳：∠A的对边∠A的邻边tanA=ABC邻边对边∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数。讲授新课典例精析

513讲授新课练一练1、如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为__________．

当堂检测1.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值()A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C2.如图，已知点P的坐标是(a，b)，则sinα等于()OxyP(a，b)αA.B.C.D.D当堂检测3.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6，则AB的长为()DA.4B.6C.8D.104.

在△ABC中，∠C=90°，如果sinA=，AB=6，那么BC=___.2当堂检测ABC8解：∵5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，tanA=，求sinA，cosB的值。∴∴∴当堂检测6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。

若AD=6，CD=8。求tanB的值。解:

∵∠ACB＝∠ADC=90°，∴∠B+∠A=90°，

∠ACD+∠A=90°，∴∠B=∠ACD，∴tan∠B=tan∠ACD=当堂检测7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，求sinA、tanA的值．解：ABC设AC=15k，则AB=17k.∴∴当堂检测8.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.ABCD

当堂检测9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB．解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，∴∠C＝∠ANM＝90°．又∵∠A＝∠A，∴△ABC