河北保定2025-2026学年下学期高二数学3月月考试卷（含答案）

2024级高二3月月考数学试题姓名:_____班级:_____考号:_____一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若An2=4CA.4B.5C.6D.72.设随机变量X的分布列为PX=i=a12A.78B.87C.73.2x+1x−1x5A.10B.-10C.-20D.204.某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这5个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为()A.58B.89C.75.用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有()A.384种B.168种C.192种D.108种6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈,成为春节假期旅游城市中的“顶流”.甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙各单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有()A.96种B.132种C.168种D.204种7.一袋中装有编号分别为1,2,3,4的4个球,现从中随机取出2个球,用X表示取出球的最大编号，则EXA.2B.3C.113D.8.一袋中装有4个白球和2个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个不放回,取出后记下颜色,若为红色停止,若为白色则继续抽取,停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X,则PXA.45B.25C.1二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分)9.已知3x−13n=a0A.n=11B.展开式的二项式系数和为C.展开式的各项系数和为831210.已知随机变量X的分布列如下，则()X-1012P113a1A.a=1C.E4X+11.甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A,B,C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A,B,A.该项目达标的概率为0.68B.若甲不负责工序C,则该项目达标的概率为0.54C.若该项目达标，则甲负责工序A的概率为15D.若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为5三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.已知x2+1x13.我校举行英语演讲比赛，参加决赛的甲、乙、丙等七人分别上台演讲，其中甲、乙演讲的顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个演讲，则不同的安排方法共有_____.种14.盒子中有4个红球,6个白球,从盒中每次取1个球,取出后将原球放回,再加入2个同色球,所有的球除颜色外其它均相同，则第2次取到红球的概率为_____；在第2次取到红球的前提下，第3次取到白球的概率为_____.四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知3x2+1(1)求n，并求出所有二项式系数之和；(2)求展开式中含x7(3)求展开式中的有理项.16.(15分)某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目,需要制作节目单:(1)三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？(3)由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目:一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目,但是不能改变原来节目的相对顺序,有多少种排法?17.(15分)2024年初，OpenAI公司发布了新的文生视频大模型:“Sora”，Sora模型可以生成最长60秒的高清视频.Sora一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮.为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8，参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试，记X为甲同学的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由.18.(17分)某超市为了吸引顾客，在“五一”期间进行有奖促销活动，规定凡在该超市购物满300元的顾客，均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、白、黑).顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定:摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励.(1)如果1名顾客第3次摸到黑球，求该顾客第1次摸到红球的概率；(2)记随机变量X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求X的分布列和数学期望.19.(17分)设fx(1)求fx,(2)n∈N∗时，化简(3)求证:Cn2024级高二3月月考数学答案1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.D8.A9.AD10.AD11ACD.6.依题意其余4位主播有两种情况:①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点；②分别都是2位主播去一个景点;所以不同游玩方法C418.令X=k表示前k个球为白球,第k此时PX则PX11.记甲负责工序A为事件M1，甲负责工序B为事件M2，甲负责工序C为事件M3，该项目达标为事件N.对于选项PN=PM1PN∣M1对于选项C,PM1∣N=对于选项D,PM1∣N=三、12.1013.96014.213.将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个演讲，则丙的位置有4个，将剩余5个元素再排序有A55 A22=14.记事件Ai=“第i次取到红球”,则PA1A2=PA1PA2∣A1=410×612=15,P15.(1)因为3x2+1xn的二项展开式有7项,所以(2)由(1)知n=6，所以3x2+1x6的二项展开式的通项为Tk+1=C6k3x26−(3)因为3x2+1x6的二项展开式的通项为Tk+1=C6k⋅36−kT16.(1)将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有A33=6种排法.再将剩下4个节目全排列，有A44=24种排法.最后,将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中,(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有2 A33 A22=24种排法.再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中,有A(3)将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.若两个节目放入同一个空，有8A22=16种排法,若两个节目不放入同一个空,有A817.(1)由题意X的所有可能取值为0，4，10，所以PX=X0410P0.20.240.56P所以X的分布列为:(2)甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题，理由如下:由(1)可知EX=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56，甲同学先进行“数据结构算法”考试，记Y为甲同学的累计得分,则Y的所有可能取值为0,6,10,PY=0Y0610P0.30.140.5618.(1)设“第3次摸到黑球”为事件A，“第1次摸到红球”为事件B，可知PA=A32(2)X的可能结果有0,10,20,30,40.当X=0时,第一个就是黑球当X=10时,第一个是白球或者黄球,第二个是黑球当X=20P当X=30时,第一个是白球或者黄球