（苏科版八年级下册）专题8.1 平行四边形（举一反三讲义）

专题8.1平行四边形（举一反三讲义）（苏科版八年级下册）【前言】本节课是苏科版八年级下册第8章“平行四边形”的第一课时，是在学生已经掌握三角形性质、全等三角形判定以及平行线性质的基础上，对四边形知识的进一步拓展，也是后续学习矩形、菱形、正方形的基础。本讲义围绕平行四边形的定义、性质、判定定理展开，结合苏科版新教材例题和中考高频考点，设计“典例精讲+举一反三”模块，帮助学生夯实基础、突破难点，掌握解题方法和技巧，同时注重易错点辨析，培养学生的逻辑推理和几何应用能力，确保贴合八年级学生的认知水平，适配课堂教学和课后巩固，全文约3000字。一、知识梳理（夯实基础，吃透核心）平行四边形是初中几何中最基础、最常用的四边形类型，核心知识点围绕“定义—性质—判定”展开，结合苏科版新教材编排，重点梳理如下，务必牢记并理解，为解题奠定基础。（一）平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（苏科版新教材重点强调：定义既是性质，也是判定方法）1.几何表示：若四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形，记作▱ABCD，读作“平行四边形ABCD”。2.关键提醒：①必须是“两组对边分别平行”，缺一不可；②平行四边形的顶点按顺时针或逆时针顺序标注，不能随意颠倒（如▱ABCD不能写成▱ACBD）；③由定义可知，平行四边形一定是四边形，且两组对边分别平行，反过来，两组对边分别平行的四边形一定是平行四边形。3.简单应用：根据定义可直接判断一个四边形是否为平行四边形，例如：若AB∥CD，AD∥BC，则▱ABCD；反之，若▱ABCD，则AB∥CD，AD∥BC。（二）平行四边形的性质（核心重点，中考高频）苏科版新教材中，平行四边形的性质从“边、角、对角线、对称性”四个维度展开，结合图形理解，避免死记硬背，同时掌握性质的推导过程（利用全等三角形证明），便于灵活应用。1.边的性质：平行四边形的对边平行且相等。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC。推导思路：连接对角线AC，证明△ABC≌△CDA（ASA），可得AB=CD，AD=BC，同时可证明AB∥CD，AD∥BC。2.角的性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。推导思路：由AB∥CD，AD∥BC，根据平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”，可得邻角互补；再结合全等三角形的性质，可得对角相等。3.对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD。推导思路：连接对角线AC、BD，交点为O，证明△AOB≌△COD（AAS），可得OA=OC，OB=OD。关键提醒：平行四边形的对角线只是互相平分，不一定相等，也不一定垂直（后续矩形、菱形会特殊化这一性质），这是易错点，需重点注意。4.对称性：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；不是轴对称图形（没有对称轴）。补充性质（苏科版新教材拓展，中考常考）：①平行四边形的对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形；②平行线间的距离处处相等（平行四边形的对边之间的距离相等）；③同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。（三）平行四边形的判定定理（核心难点，举一反三关键）苏科版新教材重点强调：判定平行四边形的方法有5种，其中定义是最基础的判定方法，其余4种需结合性质推导，且要注意区分“判定”与“性质”（性质是“已知平行四边形，推边、角、对角线的关系”；判定是“已知边、角、对角线的关系，推四边形是平行四边形”）。1.判定方法1（定义）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。几何语言：∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。2.判定方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。几何语言：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形。3.判定方法3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行且相等”需注意：是同一组对边，不能是一组对边平行、另一组对边相等）。几何语言：∵AB∥CD，AB=CD（或AD∥BC，AD=BC），∴四边形ABCD是平行四边形。4.判定方法4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。几何语言：∵对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形。5.判定方法5（拓展，苏科版新教材补充）：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。几何语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形。关键提醒：①判定方法3易错点：“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定四边形是平行四边形（例如：等腰梯形，一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形）；②判定时，优先选择最简单的方法（如定义、一组对边平行且相等），结合题目条件灵活选择。（四）平行四边形的面积公式（苏科版新教材重点，结合实际应用）1.基本公式：平行四边形的面积=底×高（S=a×h）。2.关键说明：①底和高必须对应：底是平行四边形的任意一条边，高是这条底对应的垂线段（从对边的任意一点向底作垂线，垂线段的长度就是高）；②同一个平行四边形有两条不同的底和对应的高，面积相等（例如：以AB为底，高为h1；以AD为底，高为h2，则AB×h1=AD×h2）；③平行四边形的面积与底和高有关，与夹角无关。二、典例精讲+举一反三（突破难点，掌握技巧）本模块结合苏科版新教材例题、课后习题及中考基础题型，选取6道核心典例，每道典例对应1道举一反三题目，讲解解题思路、方法技巧，帮助学生学会“一题多变、举一反三”，提升解题能力。所有例题均贴合八年级下册学情，难度由浅入深，逐步提升，重点突出平行四边形的性质和判定的应用。典例1：平行四边形性质的基础应用（求边长、角度）【例题】在▱ABCD中，已知AB=5cm，AD=3cm，∠A=120°，求：（1）▱ABCD的周长；（2）∠B、∠C、∠D的度数；（3）BC、CD的长度。【解析】本题考查平行四边形边、角的基本性质，直接结合性质求解即可，是苏科版新教材课后基础题型，重点考查对性质的记忆和简单应用。解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对边相等，即AB=CD=5cm，AD=BC=3cm。∴平行四边形ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×(5+3)=16cm。（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角相等，邻角互补，即∠A=∠C=120°。又∵∠A+∠B=180°，∴∠B=180°-120°=60°，∴∠D=∠B=60°。（3）由（1）可知，BC=AD=3cm，CD=AB=5cm。【方法技巧】平行四边形的边、角性质是基础，解题时牢记“对边平行且相等，对角相等、邻角互补”，直接代入已知条件求解即可，无需复杂推理，重点注意计算准确。【举一反三1】在▱ABCD中，∠B=70°，AB=7cm，BC=5cm，求：（1）∠A、∠C、∠D的度数；（2）▱ABCD的周长；（3）AD、CD的长度。【提示】参照典例1的解题思路，利用平行四边形的角、边性质求解，注意邻角互补、对角相等，对边相等的应用。【答案】（1）∠A=110°，∠C=110°，∠D=70°；（2）周长=24cm；（3）AD=5cm，CD=7cm。典例2：平行四边形性质的综合应用（对角线相关）【例题】在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA=3cm，OB=4cm，求▱ABCD的边长和周长。【解析】本题考查平行四边形对角线的性质（互相平分），结合勾股定理求解边长，是苏科版新教材重点题型，重点考查性质的综合应用和几何推理能力。解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴对角线互相平分，即OA=OC=3cm，OB=OD=4cm。∴AC=OA+OC=3+3=6cm，BD=OB+OD=4+4=8cm。在Rt△AOB中（AC⊥BD吗？此处无需假设，结合平行四边形性质，对角线不一定垂直，但可结合勾股定理判断三角形形状），OA=3cm，OB=4cm，由勾股定理得：AB=√(OA²+OB²)=√(3²+4²)=5cm。∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5cm，AD=BC。同理，在Rt△AOD中，OA=3cm，OD=4cm，∴AD=√(OA²+OD²)=5cm，∴BC=5cm。∴▱ABCD的周长=2×(AB+AD)=2×(5+5)=20cm。【方法技巧】涉及平行四边形对角线的问题，首先想到“对角线互相平分”，得到线段相等，再结合勾股定理、三角形性质等求解边长，注意区分“对角线互相平分”与“对角线相等、垂直”的区别，避免出错。【举一反三2】在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AC=10cm，BD=12cm，求OA、OB的长度，以及▱ABCD的边长范围（提示：利用三角形三边关系）。【提示】先根据对角线互相平分求出OA、OB，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），求出AB的范围，进而得到所有边长的范围。【答案】OA=5cm，OB=6cm；边长范围：1cm＜AB＜11cm，1cm＜AD＜11cm。典例3：平行四边形的判定（利用“一组对边平行且相等”）【例题】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。（苏科版新教材例题改编）【解析】本题考查平行四边形的判定方法3（一组对边平行且相等），同时考查全等三角形的应用，是判定平行四边形的基础题型，重点掌握判定定理的推导和应用。证明：连接AC，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA（两直线平行，内错角相等）。在△ABC和△CDA中，AB=CD（已知），∠BAC=∠DCA（已证），AC=CA（公共边），∴△ABC≌△CDA（SAS）。∴AD=BC（全等三角形对应边相等），又∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。【方法技巧】利用“一组对边平行且相等”判定平行四边形时，需先证明“平行”和“相等”，可结合平行线的性质、全等三角形等知识，重点注意“同一组对边”，避免混淆两组对边。【举一反三3】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，E、F分别是AD、BC的中点，求证：四边形ABFE是平行四边形。【提示】先根据E、F是中点，得到AE=BF，再结合AD∥BC，推出AE∥BF，最后利用“一组对边平行且相等”判定四边形ABFE是平行四边形。【证明思路】∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=½AD，BF=½BC，又∵AD=BC，∴AE=BF；∵AD∥BC，∴AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形。典例4：平行四边形的判定（利用“对角线互相平分”）【例题】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：四边形ABCD是平行四边形，且AB∥CD，AD∥BC。（苏科版新教材重点例题）【解析】本题考查平行四边形的判定方法4（对角线互相平分），同时结合全等三角形证明对边平行，是判定与性质结合的基础题型，重点掌握判定定理的应用和性质的反向推导。证明：在△AOB和△COD中，OA=OC（已知），∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD（已知），∴△AOB≌△COD（SAS）。∴AB=CD，∠OAB=∠OCD（全等三角形对应边、对应角相等）。∵∠OAB=∠OCD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。同理，可证明△AOD≌△COB，得到AD=BC，∠OAD=∠OCB，∴AD∥BC。∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。【方法技巧】利用“对角线互相平分”判定平行四边形时，只需证明两条对角线的交点平分两条对角线（即OA=OC，OB=OD），无需证明对边平行或相等，可直接判定，后续可结合全等三角形推导对边平行和相等，实现“判定”与“性质”的结合。【举一反三4】如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是OA、OC的中点，求证：四边形BEDF是平行四边形。【提示】先根据平行四边形的性质，得到OB=OD，OA=OC，再结合E、F是中点，得到OE=OF，最后利用“对角线互相平分”判定四边形BEDF是平行四边形。【证明思路】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC；∵E、F是OA、OC的中点，∴OE=½OA，OF=½OC，∴OE=OF；又∵OB=OD，∴四边形BEDF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。典例5：平行四边形性质与判定的综合应用（证明线段相等、平行）【例题】如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接DE、BF，求证：（1）DE=BF；（2）DE∥BF。（苏科版新教材课后拓展题）【解析】本题考查平行四边形的性质与判定的综合应用，先利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，再结合中点条件，利用判定定理证明四边形DEBF是平行四边形，进而得到线段相等、平行，是中考基础高频题型。证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD。∵E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=EB=½AB，CF=FD=½CD，∴EB=FD。又∵AB∥CD，∴EB∥FD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。∴四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。∴DE=BF（平行四边形的对边相等）。（2）∵四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥BF（平行四边形的对边平行）。【方法技巧】当题目要求证明线段相等、平行时，若涉及平行四边形，可先判定一个四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质得到线段相等、平行，这种“先判定、后性质”的思路是几何证明的常用方法，需熟练掌握。【举一反三5】如图，在▱ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接AF、CE，求证：（1）AF=CE；（2）AF∥CE。【提示】先利用平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，再结合AE=CF，推出四边形AFCE是平行四边形，进而得到AF=CE、AF∥CE。【证明思路】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC；∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，且AD∥BC，∴AE∥CF；∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE，AF∥CE。典例6：平行四边形的实际应用（面积、距离相关）【例题】如图，在平行四边形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，AB边上的高为3cm，求：（1）▱ABCD的面积；（2）BC边上的高。（苏科版新教材实际应用题型）【解析】本题考查平行四边形的面积公式，重点掌握“底和高对应”，利用面积相等求解未知高，是实际应用中的基础题型，贴合生活实际，培养学生的应用能力。解：（1）∵平行四边形的面积=底×高，以AB为底，AB边上的高为3cm，AB=8cm，∴S▱ABCD=AB×高=8×3=24cm²。（2）设BC边上的高为hcm，以BC为底，BC=6cm，面积为24cm²，∴S▱ABCD=BC×h=6h。∵平行四边形的面积不变，∴6h=24，解得h=4cm。∴BC边上的高为4cm。【方法技巧】平行四边形的面积公式中，底和高必须对应，同一个平行四边形的面积不变，可利用这一特点，通过已知底和高求出面积，再求出未知底对应的高，重点注意单位统一，计算准确。【举一反三6】一个平行四边形的周长为28cm，其中一条边长为7cm，这条边上的高为4cm，求另一条边上的高。【提示】先根据周长求出另一条边长，再利用面积公式求出面积，最后结合另一条边长求出对应的高。【答案】另一条边长为7cm，另一条边上的高为4cm（提示：该平行四边形为菱形，四条边相等，面积不变）。三、易错辨析（规避误区，精准解题）结合苏科版新教材教学重点和八年级学生的易错点，整理以下4个高频易错点，详细分析误区原因，给出正确思路，帮助学生规避错误，精准解题，避免在基础题上丢分。易错点1：混淆平行四边形的“性质”与“判定”【误区表现】已知四边形是平行四边形，却用判定定理推导边、角关系；或已知边、角关系，却用性质定理判定四边形是平行四边形。例如：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC（性质），却错误写成“∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（性质）”。【错误原因】对“性质”与“判定”的逻辑关系理解不清，性质是“已知平行四边形，推结论”，判定是“已知条件，推平行四边形”。【正确思路】牢记：性质→“平行四边形→边、角、对角线关系”；判定→“边、角、对角线关系→平行四边形”，做题时先明确题干条件，再选择对应的定理。易错点2：错误理解平行四边形的判定方法3【误区表现】认为“一组对边平行，另一组对边相等”可以判定四边形是平行四边形。例如：∵AB∥CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形（错误）。【错误原因】忽略了“一组对边平行，另一组对边相等”的四边形可能是等腰梯形，不是平行四边形，混淆了“一组对边平行且相等”与“一组对边平行、另一组对边相等”的区别。【正确思路】判定方法3的核心是“同一组对边”，必须同时满足“平行”和“相等”，且是同一组对边，缺一不可；“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定四边形是平行四边形。易错点3：忽略平行四边形对角线的性质限制【误区表现】认为平行四边形的对角线相等、垂直，或平分一组对角。例如：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=BD（错误）；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC⊥BD（错误）。【错误原因】混淆了平行四边形与矩形、菱形的性质，矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，平行四边形的对角线只是互相平分，没有其他特殊性质。【正确思路】牢记平行四边形的对角线性质：只有“互相平分”，不相等、不垂直，也不平分一组对角，后续学习矩形、菱形时再区分特殊平行四边形的对角线性质。易错点4：平行四边形面积计算中，底和高不对应【误区表现】计算平行四边形面积时，用任意一条底乘以任意一条高。例如：以AB为底，却用AD边上的高乘以AB，导致计算错误。【错误原因】对“底和高对应”的理解不透彻，不知道高是底对应的垂线段，不是任意一条垂线段。【正确思路】计算面积时，先确定底，再找到这条底对应的高（从对边的任意一点向底作垂线，垂线段的长度），再用“底×高”计算，确保底和高对应。四、巩固提升（夯实基础，提升能力）本模块选取10道巩固题，贴合苏科版新教材考点，难度由浅入深，涵盖平行四边形的定义、性质、判定、面积等核心知识点，包括基础题、中档题，无难题、偏题，适合八年级学生课后巩固练习，检验学习效果，同时强化解题思路和技巧。一、基础题（6道，侧重知识点记忆和简单应用）1.已知▱ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，则▱ABCD的周长为______cm。2.在▱ABCD中，∠A=80°，则∠B=______°，∠C=______°，∠D=______°。3.平行四边形的对角线相交于点O，若OA=5cm，OB=6cm，则AC=______cm，BD=______cm。4.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边平行，另一组对边相等B.两组对边分别平行C.一组对边平行，一组对角相等D.对角线互相垂直5.已知▱ABCD的面积为24cm²，底AB=6cm，求AB边上的高。6.如图，在▱ABCD中，E是AB上一点，且AE=AB，求证：DE=BC。二、中档题（4道，侧重性质与判定的综合应用）7.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E、F分