湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期3月阶段检测数学试题（含答案）

襄阳四中2024级高二下学期三月月考数学试卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.抛物线y2=12xA.x=−6B.x=−32.圆C1:x2+y2A.相交B.相离C.内切D.外切3.已知函数fx的导函数y=fA.fx在区间x1,x3上单调递减B.fxC.f′x在区间x3,x4上单调递减D.f4.中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“二百五十二里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走252里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.则最后一天走了()A.4里B.16里C.64里D.128里5.在空间直角坐标系中,直线l经过点P1,2,−1,且其方向向量n=1,2,1A.306B.56C.26.用一个与圆柱底面成30∘角的平面截这个圆柱得到一个椭圆,则该椭圆的离心率为(A.33B.32C.17.若函数fx=2x−2x−alnxA.(−∞,0]B.(−∞,4]8.已知在数列an中,a1=2,a2A.a1012B.a1013C.a二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.非零常数列既是等差数列,又是等比数列B.4与9的等比中项为±6C.在公比不为1的等比数列an中,若a1a5=amD.等比数列an是递增数列,则an的公比10.如图,在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中,以顶点AA.BD1C.异面直线BA与CC1所成的角为12011.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2作垂直于x轴的直线交A.C的渐近线方程为y=±2xB.CC.△ABF1D.△ABF1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.函数fx=13.数列an满足,a1=2,an+14.已知直线l:3x+4y−10=0与(1)a=−1时，AB(2)若在圆上或其内部存在一点P,使得∠APB=π3，则四、解答题:本题共5小题,共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设函数fx(1)当a=1时，求函数y=fx(2)当a=13，求函数16.已知an是等差数列，bn是公比大于0的等比数列，且a1=1(1)求数列an和bn(2)设数列an⋅bn的前n项和为Sn17.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥AB，BC⊥AB，AD//BC，PA=AD=2，AB=3，BC=1，E(1)求证:F为PA的中点；(2)若G为CD的中点,平面PAB⊥平面ABCD,求二面角A−18.已知椭圆E的左、右焦点分别为F1−1,0，F21,0，且椭圆E过点P处，过F1处于两条互相垂直的直线l1与l2分别与椭圆交于(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l1与x轴不重合,求△OAB(3)求证:直线MN过定点，并求出该定点坐标.19.已知Sn为正项数列an的前n项和,且(1)求an(2)已知数列bn满足:①bn>0,b1q≥(i)求b1(ii)证明:b4m(iii)若a2025≤b2026≤a1.B由抛物线方程可得准线方程为:x=−故选:B.2.D圆C1:x2+所以两圆圆心为C1所以C1两圆半径分别为r1所以C1所以两圆位置关系为外切.故选:D.3.D对A,当x∈x1,x2时,f当x∈x2,x3时,f′x对B,在x=x5附近,导函数符号不变,则fx在x=x对C,当x∈x3,x4时,此时f对D,由图知x6,f′x6为附近的最低点,则f′x在故选:D.4.A由题意得此人每天走的路程构成公比为12的等比数列,且前6项和为设首项为a1,则有a11−1∴故选:A5.A因为PQ=0,−2,−1,直线所以cos⟨PQ因为sin⟨PQ所以点Q1,0,−2到直线l故选:A6.D设圆柱的底面半径为r,则底面圆的直径为2r,椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向,长度等于底面圆的半径,即b=长半轴垂直于截面与底面交线的方向,由二面角的几何关系可得a=所以c=所以该椭圆的离心率e=故选:D.7.Df′因为函数fx=2x−2x所以f′x≥0在区间[2,+∞)恒成立,即2即a≤2x+2x由对勾函数的单调性可得2x+2x≥5故选:D.8.B记k=2025,由题意得整理可得ka得an2−an又a1=2,a2=k,所以a1a2=2k所以an当1≤n≤1012时,an当n≥1013时,anan所以a1故an中的最大项为a故选:B9.ABC对于A选项,设非零常数列的通项公式为an则an+1−an=c又an+1an=cc所以非零常数列既是等差数列,又是等比数列.故A正确;对于B选项,4与9的等比中项为±4×9=±对于C选项,由等比数列的性质可知m+n=1+所以m,n的可能值为m=1,n=5或m=2,n则mn=5,或mn=8,或mn=9对于D选项,当a1=−1,q=12时,数列故选:ABC10.AD对于A:BD1=BA+对于B:因为BD所以BD==2所以BD1=22,即BD对于C:因为CC1//BB所以∠A1AB为异面直线BA与CC1所成的角,即异面直线BA与CC1所成的角为对于D:因为BD=所以BD⋅所以BD⊥CC1,即BD故选:AD11.BCD设F1−c,0,F2c,0,直线则AB=2AF2=2b2a,由直线由双曲线定义得BF1=AF1=得22a+b2a+2b2a=16因此4a−3aa=a2,解得对于A,双曲线C的渐近线方程为y=±3x,对于B,双曲线C的实轴长是2, B对于C,AB=6,△ABF对于D,AF1=5,sin∠BAF1D正确.故选:BCD12.1f′解f′x<0故fx的单调减区间是1故答案为:113.30由an+1+a两式相减,可得an+2−an=2,又由a2所以数列a2n−1是首项为a1数列a2n是首项为a2=−3即n为奇数时,an=2+2所以a8所以S9=a14.23;(1)当a=−1时,所以圆C的圆心坐标为−1,2,半径为圆心C−1,2到直线d所以弦长AB=(2)由⊙C:x−a2+y−22=4由在圆上或其内部存在一点P,使得∠APB=π3,需使得以AB所以圆心Ca,2到直线l的距离为即d=3a+8−105=3a−25≥且直线l:3x+4y−10=0与所以d=3a+8故实数a的取值范围为−8故答案为:2315.(1)y(2)极小值−23，极大值(1)当a=1时,fx=lnx所以kij]=f′故函数y=fx在点1,f(2)当a=13时，fx=lnx则f′令f′x<0,得0<x<1或x>故函数fx在0,1和2,+∞上单调递减,在故函数fx在x=1处取得极小值在x=2处取得极大值16.(1)an(2)S(1)设等差数列an的公差为d因为bn是公比大于0的等比数列,且b所以bn是各项都为正数的等比数列,设其公比为q由a1=1,b解得d=1q=2则an(2)由(1)知Sn所以2S两式相减可得−==1整理得Sn17.(1)因为AD//BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面所以AD//平面BCEF又AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面所以AD//因为E是PD的中点,所以F为PA的中点.(2)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB,AP⊥AB,AP⊂平面PAB又因为AD⊂平面ABCD,因此AP故AB,AD故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A0所以AF=设平面AFG的法向量为m=则m⋅AF=z=0m⋅FG=32x设平面EFG的法向量为n=则n⋅FG=32a+32b−c=所以cosm由图知,二面角A−FG所以二面角A−FG−E18.(1)因为椭圆E的左、右焦点分别为F1−1,0又椭圆E经过点P1所以2a=所以a=2,所以所以椭圆E的方程x2(2)由题可设直线AB的方程为:x=my由x=my+1xy令t=m2+1,则t又因为t≥1时,y=3t+1t单调递增,所以所以S△所以△OAB面积的最大值为3(3)设MxM(i)当l1或l2与x轴重合时,直线MN为x若直线MN过定点,则该点在x轴上,设为Tt(ii)当l1与l2都不与x轴重合时,由yM把m换成−1m可得因为MT且MT//MN,所以解得:t=所以直线MN过定点4719.(1)a(2)(i)b1=1q(1)将n=1代入1−qS由1−qSn=两式相减得1−qan=因为an