江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷（含答案）

江苏省镇江一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x24−yA.y=±2x B.y=±12x C.y=±4x2.已知y=f(x)是R上的连续可导函数，则“f'(x0)=0”是“x=x0是函数y=f(x)A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要3.圆x2+(y−1)2=1关于直线A.x2+(y+1)2=1 B.(x+1)4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4+A.17 B.18 C.172 D.5.两条平行直线l1：x+3y−4=0与l2：2x+6y−9=0之间的距离(

)A.140 B.110 C.106.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6，m项依次构成一个等比数列，则m等于(

)A.13 B.14 C.15 D.187.将圆x2+y2A.x24+y2=1 B.x8.设a∈R，若函数y=eax+3x，x∈R有大于零的极值点，则A.a>−3 B.a<−3 C.a>−13 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数的求导运算正确的是(

)A.(xex)'=x−1ex B.10.设数列{an}是等比数列，下列说法正确的有A.{an2}是等比数列 B.{lg|an|}11.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A、B，点P为椭圆C上异于左右顶点的一点，过点A.kAP⋅kBP=−b2a2 B.存在点P使得∠APB=π2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=xex的单调增区间为______．13.直线(1+4k)x−(2−3k)y+(2−14k)=0与圆x2+y2=9相交于A，B两点，则弦长AB的最小值为14.设b为实数，若直线y=2x+b与曲线y=x2−1有两个不同的公共点，则b的取值范围

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=13x3−4x+a．

(1)当a=13时，求函数f(x)的极值；

16.(本小题15分)

已知椭圆的两个焦点分别是F1(−1,0)，F2(1,0)，椭圆上一点P到两个焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过右焦点斜率为1的直线与椭圆交于A，B17.(本小题15分)

设数列{an}满足：a1=1，且对任意的n∈N∗，都有an+1=2an+1．

(1)求证：{an+1}为等比数列；

(2)求数列{18.(本小题17分)

抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，点M(m,3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离是4．

(1)求m的值及抛物线的准线方程；

(2)过抛物线焦点的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//y轴；点P为AB中点，过点P向x轴作垂线交抛物线于点Q．

求证：①A，O，C三点共线．

②抛物线上Q点处的切线与AB19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex+a−lnx+a．

(1)当a=−1时，求y=f(x)的最小值；

(2)若f(x)≥0，求实数a的取值范围；

(3)若y=f(x)有两个不同的零点x1，x2答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.D

6.C

7.A

8.B

9.CD

10.ABD

11.ACD

12.(−1,+∞)

13.2

14.[−2,−15.解：(1)已知函数f(x)=13x3−4x+a，

当a=13时，函数f(x)=13x3−4x+13，定义域为R，

f'(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，

令f'(x)>0，则x<−2或x>2；令f'(x)<0，则−2<x<2，

因此函数f(x)在(−∞,−2]上单调递增，在[−2,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，

因此f(x)在x=−2处取得极大值，极大值为f(−2)=173；在x=2处取得极小值，极小值为f(2)=−5，

综上，函数f(x)的极小值为−5，极大值为173；

(2)若函数f(x)有三个不同的零点，则方程f(x)=0有三个不等的实数根，

即a=−13x3+4x有三个不等的实数根，即直线y=a与函数y=−13x3+4x的图象有三个不同的交点．

令g(x)=−13x3+4x,x∈R，则g'(x)=−x2+4=−(x+2)(x−2)，

令g'(x)<0，则x<−2或x>216.解：(1)由题意，设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)．

可得c=1，|PF1|+|PF2|=2a=4，解得a=2，则b2=a2−c2=3，

故椭圆的标准方程为x24+y23=1．

(2)由题意得△F1AB的周长为|AF117.解：(1)证明：因为a1=1，且对任意的n∈N∗，都有an+1=2an+1，

设bn=an+1，则b1=a1+1=2，

则bn+1=an+1+1=2an+1+1=2(an+1)=2bn，

故{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，即{an+1}为等比数列；

(2)bn=2⋅2n−1=2n，an=bn−1=2n−1．

所以Sn=2(1−2n)1−2−n=2n+1−n−2；

(3)因为n⋅an=n⋅2n−n，1+2+3+4+5+6+7+8+9=1+92×9=45，

令A=1⋅21+2⋅22+⋯+9⋅29……①，

则2A=1⋅22+⋯+8⋅29+9⋅210……②，

①−②得：−A=2+22+⋯+29−9⋅210=2(1−29)1−2−9⋅210=210−2−9⋅210=−8⋅210−2=−8194，

所以A=8194，所以T9=A−45=8194−45=8149．

18.解：(1)因为抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，19.解：(1)当a=−1时，f(x)的定义域为(0,+∞)，

f'(x)=ex−1−1x，又f″(x)=ex−1+1x2>0恒成立，

所以f'(x)在(0,+∞)上为增函数，

又f'(1)=0，

当x∈(0,1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，

所以x=1为极小值点，此时f(x)的最小值为f(1)=0．

(2)因为f'(x)=ex+a−1x，x>0，

且f″(x)=ex+a+1x2>0，所以f'(x)在(0,+∞)为增函数，

当x→0时，f'(x)→−∞，当x→+∞时，f'(x)→+∞，

所以存在唯一零点x0使得f'(x0)=0，且ex0+a=1x0，

即x0+a=−lnx0，

所以f(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，

所以x=x0为极小值点，也是最小值点．

f(x)min=f(x0)=ex0+a−lnx0+a=1x0+x0+2a，

1x0+x0≥21x0⋅x0=2，当且仅当x0=1时等号