天津市和平区2025-2026学年高三年级第一次质量调查数学试题（含答案）

和平区2025-2026学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学学科试卷第I卷(选择题共45分)监测注意事项:1.答第I卷前,务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦净后,再选涂其他答案标号.3.本卷共9小题,每小题5分,共45分.参考公式:锥体的体积公式V锥体=13Sh,其中S柱体的体积公式V低=Sh，其中S表示柱体的底面积，如果事件A、B互斥,则如果事件A、B相互独立,则任意两个事件A与B,若PA>0,则一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x∣−2<A.{x∣x≥1}2.“a=2”是“函数fx=x−aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数fx=2x⋅sinA.-1B.124.已知下列三个命题:其中真命题的序号是()①数据−2,−1,2,②若随机变量X服从二项分布B2,12，则③若随机变量X服从正态分布N2,σ2，且Px>A.①②B.②③C.①③D.①②③5.若ln1a=12,bA.a<b<cB.c6.在正三棱柱ABC−A1B1C1中，MA.AM//面A1C.A1C//面AB1M7.已知双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的上，下焦点分别为F2,F1，抛物线x2=43y的准线l过点A.x2−C.7x28.已知n∈N∗,各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项积为Gn,且A.130B.142C.19.已知函数fx=cosωx+φω>0,φ<π的导函数y=f′A.−14C.−12第II卷(非选择题共105分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分,全部答对的给5分)10.i为虚数单位，复数3+i11.在13x2+x6的展开式中，12.已知圆x2+y2=8上到直线y=x+m的距离为13.甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为23,乙队中3人答对的概率分别为34,23,12,且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分，则随机变量ξ的数学期望为_____；用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”14.已知梯形ABCD面积为63,AB=3DC,DADA⋅DCDC=−12,E为DC上靠近点C的四等分点,15.已知fx=x−b2,x>b,1x−b,x<b, b∈R.若存在实数a,满足有且仅有三个不同的实数b三、解答题(本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a(1)求cosB(2)已知acos(i)若△ABC的外接圆半径为322⋅6b(ii)求cos4A+17.在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD是平行四边形,且AB=2AD=4,DD1=23(1)求直线QH与平面HBC所成角的正弦值；(2)求平面QBH与平面HBC的夹角的余弦值；(3)求三棱锥Q−HBC的体积18.已知椭圆x2a2+y2b(1)求椭圆的方程；(2)过点0,1的直线l与椭圆交于M,N两点，若点P−4,0，且点M关于x轴的对称点在直线19.已知n∈N∗,等比数列an的前n项和为Sn=3n+1−3(1)求数列an与数列bn(2)设pn=bn−3n3n，Tij=k=ijpk,i<(3)设An={1,2,…,n},H20.已知函数h(1)若函数hx为增函数，求m(2)已知实数p,q∈0,+∞(i)证明:pe(ii)若p与q是函数hx的两个极值点,证明:01.B2.A3.C4.A5.B6.D7.D8.C9.B10.211.2012.−13.21014.215.−∞,−16.(1)cos(2)(i)b=4解:(I)由2a+3c3a+3b=b−ac整理得(II)由正弦定理asinA=csinC,已知acosC=ccosA(i)由B∈0,π,故sinB=1−cos2B=223,由△ABC(ii)由A+B+C=π可知B=π−所以,cos4A17.1(2)2(3)1解:由AD⊥BD,直四棱柱ABCD−A1B1C1D1,有DD1⊥平面ABCD,故以点D为原点,DA,DB,DD由Q,H分别为AA1,(I)易知QH设平面HBC的法向量为n1则n令y=1,则设直线QH与平面HBC所成角为θ1sin则直线QH与平面HBC所成角的正弦值为4214(II)设平面QBH的法向量为n2则n令x=3,则设平面QBH与平面HBC的夹角为θ2cos则平面QBH与平面HBC的夹角的余弦值为222(III)设点Q到平面HBC的距离为d,由BC⋅BH=0,有BC⊥18.1x(2)x=0或解:(I)依题意ca=33,解得a故椭圆方程为x2(II)直线l斜率不存在时,直线l的方程为x=0直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,点Mx联立y整理得3直线PM的斜率为kPM=y1x1+4由题意有kPM即y1x1+4整理得2kx故2k−解得k=23,直线l的方程为综上,直线l的方程为x=0或19.解:(I)设等比数列公比为q,a1=S设等差数列公差为d,由已知有4+解得4d2−9d−则d=3或d则b(II)证明:不妨先设m<TT可知m=r假设Tmr=Tst,即若m≠s,不妨设m<s,则3m因等式左侧不是3的倍数,等式右侧为3的倍数,所以左式与右式不相等,与假设矛盾,所以假设不成立,此时Tmr≠Tst.同理m>若m=s,则r≠t因为pn故T=Tst+pt+1⋯+p综上当m,r≠s,(III)先证取不同的i,j,ai所以ai而ai所以ai由(II)可知,对不同的i,j取值,T故M=考虑M中含有n−1个an,n−3个因此M=法(一)M3M两式做差有−=3所以,M=法(二)M设Rn3Rn−2所以,Rn=n2−所以,M20.解:(I)hx由hx为增函数,有h′x=mx−1ex设φx=xex令φ′x>0令φ′x<0,解得x>1,则有φx在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,故(II)(i)要证pep即证eeq由(I)有m=1e时,因为0<p<q即lnqe+1e即证−lnqp构建rx=x−lnx令r′x>0令r′x<0则rx在0,1上单调递减,在故rx=x−lnx−1≥r1令x=qp>1,可得−lnq(ii)由已知可得h′x=0即