2025山东青岛二十六中九年级中考一模数学试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年青岛市第二十六中学中考一模数学试题（考试时间：120分钟满分：120分）说明：1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分．2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．第I卷（共27分）一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）1．1968年科学家发现世界上最小的物质是夸克，物质就是由这种极其小的物质而构成的，夸克有多小呢？它的大小是1介米，约为原子核的百万分之一．百万分之一用科学记数法表示为（

）A．1×10-5 B．1×10-6 C．1×106 D．1×10-82．下列四个图案中是轴对称图形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．下列各数中与3互为相反数的是（

）A． B． C． D．4．如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（

）A． B．C． D．5．下列计算正确的是（

）A． B． C． D．6．在如图所示的单位正方形网格中，△ABC（点B与原点O重合）经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（

）A．（1.4，1） B．（1.5，2） C．（1.6，1） D．（2.4，1）7．如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（

）A． B． C． D．8．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（

）A． B． C． D．9．如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个第Ⅱ卷（共93分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）10．计算：．11．已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为．12．如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为．13．某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为．14．如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是．15．如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．16．已知：线段c，直线l及l外一点A．求作：，使直角边为（，垂足为C）斜边．四、解答题（本大题共9小题，共68分）17．（1）化简：（2）求不等式组的整数解．18．阿代的数学研学日记课题：测量旗杆的高度地点：青岛市山海二十六中学操场时间：2025月3月2日昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______．今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由．（参考数据：，，；，，）19．2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．竞赛成绩分组统计表组别竞赛成绩分组频数平均分18652a753b8841095根据以上信息，回答下列问题：(1)下列说法正确的是______．A．样本为n名学生

B．a＝12

C．m＝40(2)“”这组的数据的众数是______．(3)随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______；(4)若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数．20．学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘）(1)转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是；(2)请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．21．【问题背景】如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图.【问题探究】（1）______；（2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时，______；第次剪取时，______．【拓展延伸】在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______．22．如图，直线与双曲线相交于点，．

(1)求双曲线及直线对应的函数表达式；(2)将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积；(3)请直接写出关于的不等式的解集．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．(1)求证：AB=AF；(2)若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论．24．如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)求高架桥两端的的距离；(3)如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用．25．已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为．（1）当t为何值时，是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】先把百万分之一变成数字的形式，再用科学记数法表示.【详解】解：百万分之一即＝1×10－6.故选：B.【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值比1小的数，形式为a×10－n，其中1≤a＜10，指数中的n等于第一个非0数前面0的个数.2．B【分析】这4个图形各自沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的是轴对称图形．【详解】第二个，第四个是轴对称图形．故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，是解决此类问题的关键．3．C【分析】本题主要考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，还考查了求一个数的绝对值、立方根，算术平方根．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：A、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意．B、3和是互为倒数，故此选项错误，不符合题意．C、，和3是相反数，故此选项正确；符合题意；D、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意．故选：C．4．A【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案．【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示：∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线，∴整个几何体的俯视图如图2所示：故选：A【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．5．D【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算；分别根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算法则逐一计算即可．【详解】解：A.，该选项错误；B.，该选项错误；C.，该选项错误；D.，该选项正确；故选：D．6．C【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．7．C【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质．【详解】解：∵∴，

∴，∵，∴．故选：C．8．D【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可．【详解】解：作于H，如图所示：∵，，，∴，由旋转，得，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，，∴，∴，阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积．故选：D．9．C【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项．【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确，∵图象与y轴的交点为正半轴，∴c＞0，则abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0），设函数解析式为：，将交点坐标代入得：，故化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确，变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确，则②③④正确，故选C．【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键．10．【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可．【详解】解：故答案为：．11．5【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握方差公式，先求出三个数的和，再根据方差公式代入，即可求解，进而得出结论．【详解】解：由题意可知：，，，，解得：，则的平均数为：5，故答案为：5．12．【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可．【详解】如题所示，连接OC、OD，∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．∴OC⊥AC，OD⊥BD，∵∠A＝45°，∴∠AOC＝45°，∴AC＝OC＝1，∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1，∴OD＝BD，∴∠BOD＝45°，∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴的长度为：故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键．13．【分析】设原计划每天生产x套零配件，根据“生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务”列出方程即可．【详解】解：设原计划每天生产x套零配件，根据题意可得，，故答案为：【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系正确列出方程是解题的关键．14．2【分析】本题主要考查矩形的性质，翻转变化的性质，勾股定理；连接交于点F，设，则，求出，结合点C与点A关于直线对称，得到，垂直平分，求出，即可求出．【详解】解：连接交于点F，

设，则，

∵四边形是矩形，∴，

∴∵将四边形沿翻折，点分别落在点处，∴点C与点A关于直线对称，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴，，∴∴故答案为：2．15．【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案．本题主要考查几何体的表面积．【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边为x，则斜边为，则有，得到由几何关系得：阴影部分的面积为所以增加的面积为故答案为：．16．见详解【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，为半径画弧交直线l于M、N，再作线段的垂直平分线交l于C，然后以点A为圆心，c为半径画弧交l于B，连接，则为所作．【详解】解：如图，即为所求．17．（1）（2）；【分析】本题主要考查分式的化简运算，不等式组的解法；（1）根据分式的混合运算法则进行计算即可；（2）先求出不等式组的解集，再求整数解即可．【详解】解：（1）原式．（2），由①得：解得：，由②得：解得：，该不等式组的解集为：该不等式组的整数解为：．18．；旗杆高度可求，为米【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法．（1）首先证明出，得到，然后代入即可求出；（2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可．【详解】（1）解：因为，所以，所以，所以，所以，所以；（2）如图所示，过点H，作于N，设米，米，在中，，，在中，，，，，，解得：，答：旗杆高度可求，为米．19．(1)B(2)96(3)83.5；82.6分(4)120人【分析】（1）根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意；（2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数；（3）根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数；（4）根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数．【详解】（1）解：样本为名学生的竞赛成绩，故选项错误，不符合题意；，则，故选项符合题意；，故选项错误，不符合题意；故选：B；（2）解：”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100．“”这组的数据的众数是96；（3）解：随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是，平均分是：（分）；（4）解：（人，答：估计全校1200名学生中获奖的有120人．【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．(1)(2)不公平，见解析【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性等知识点，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键．（1）直接利用概率公式计算概率即可；（2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可．【详解】（1）解：∵盘被分成面积相等的3个扇形，∴小明转动一次A盘，转出的数字是负数的概率是．故答案为：．（2）解：列表如下：2341（1，）（1，2）（1，3）（1，4）（，）（，2）（，3）（，4）3（3，）（3，2）（3，3）（3，4）由表可知：共有12种等可能的结果；其中甲获胜（记为事件A）的结果共7种，分别为：

（1，2），（1，3），（1，4），（，），（3，2），（3，3），（3，4）,∴．其中乙获胜（记为事件B）的结果共5种，分别为：

（1，），（，2），（，3），（，4），（3，）∴；∵，∴不公平．21．（1）；（2），；【拓展延伸】【分析】（1）根据题意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：；（2）同理可得规律：即是第次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案；（3）依此规律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和．本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键．【详解】解：（1）∵四边形是正方形，，，是等腰直角三角形，，，，，，同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和，，故答案为：；（2）等于第次剪取后剩余三角形面积和，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：，第三次剪取后剩余三角形面积和为：，第十次剪取后剩余三角形面积和为：，第次剪取后剩余三角形面积和为：，故答案为：，；（3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为，故答案为：．22．(1)，(2)(3)或【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可；由平行求出直线的解析式为过点作交于，设直线与轴的交点为，与轴的交点为,可推导出,再由，求出则的面积数形结合求出x的范围即可.【详解】（1）将代入双曲线，∴,∴双曲线的解析式为，将点代入，∴,∴,将代入,，解得，∴直线解析式为；（2）∵直线向下平移至,

∴,设直线的解析式为将点代入∴解得∴直线的解析式为∴过点作交于,设直线与轴的交点为，与轴的交点为,∴,∵,∴,∵,，，∵，，，∴的面积（3）由图可知或时,【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键.23．(1)见解析(2)四边形AGCD是菱形．理由见解析【分析】（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；（2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，∴∠ABC=∠AFE=90°，在△ABC和△AFE中，∵，∴△ABC≌△AFE（AAS），∴AB=AF；（2）解：四边形AGCD是菱形．理由如下：证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°，∴2AB=AC，∵AB=AF，∴AC=2AF=AF+FC，∴AF=CF，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠FCG，在△DAF和△GCF中，，∴△DAF≌△GCF（ASA），∴AD=CG，∵AD∥CG，∴四边形AGCD是平行四边形，∵DG⊥AC，∴平行四边形AGCD是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．24．(1)(2)米(3)元【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解；（2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解．（3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解．【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，作轴于点，∵四边形是菱形，，∴，，在中，轴，，∴，，∴，∵，∴，