数学物理方程 绪论

什么是数学物理方程？

物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（广义上也包括积分方程和微分积分方程），它们反映了支配各种自然现象的基本规律。连续介质力学（流体力学、固体力学等）、电磁学、传热学、量子力学、化学反应动力学等方面的基本方程都是数学物理方程的范畴。

绪论

数学物理方程是数学建模的最好例证，从中我们可以学习如何将一个实际问题通过适当的简化和假设，用适当的数学结构来表示，即如何建立一个实际问题的数学模型，然后求解该模型，模型的解能否解释实际问题的现象。也就是说求得的解是否能够描述实际问题，这要通过物理实验来验证。这一过程就是科学研究所需要的或者说必经的过程。我们从所学的三类方程中可以看到数学的抽象性而决定的数学模型应用的广泛性，经典方程的经典解法具有的一般性和普适性。

绪论数学物理方程的起源和现状

17世纪微积分产生后，数学家和物理学家采用微积分研究力学和物理学问题时，得到了大量的偏微分方程。当时看来，这些方程是纯粹数学和物理问题结合的产物，于是人们把它们称为数学物理方程，或简称为数理方程。欧拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）研究流体力学、拉普拉斯（Laplace）研究势函数、傅立叶（Fourier）研究热传导。

数学——物理方程

自然科学的各分支工程技术的各领域纯粹数学桥梁一、本课程的研究对象

绪论当时工业上要研究金属冶炼和热处理，迫切需要确定级数内部各点的温度如何随时间变化！Fourier对这种热流动问题颇有兴趣.1807年想巴黎科学院提交了用数学研究热传导的论文。Fourier用实验的方法验证了任何函数都可以展开成三角级数的形式。但他没有给出证明和函数可以展开成级数应该具备的条件。1829年德国数学家狄里赫雷给出了严格的证明.19世纪对数学物理方程有重要贡献的另外是法国两位数学家Poisson和Laplace和英国数学家格林以及德国数学家黎曼.其中他还有一项极其重要的工作就是预示格林函数及基本解的概念，这在100年后成为偏微分方程理论的理论基础。18世纪著名数学家、物理学家

达朗贝尔（1717-1783欧拉（1707-1783））数学物理方程中的著名数学家物理学家位势方程的研究者拉普拉斯（法1749-1827）傅立叶（法1768----1830）--热传导方程的研究先驱柯西（法1789-1857）黎曼（德1826-1866）偏微分方程的一般形式

一般地，一个未知函数u(x1,

x2

,…,xn)的偏微分方程可以写为以下形式假设上式限定在自变量x1,

x2

,…,xn的n维空间Rn内的某区域Ω内考察。本课程着重讨论波动方程、热传导方程和调和方程二、关于偏微分方程的基本概念1.1.方程的阶1.2线性微分方程1.3半线性微分方程、拟线性方程1.4非齐次、齐次偏微分方程在线性偏微分方程中，不含有未知函数及偏导数的非零项称作非齐次项。含有非齐次项的方程称之为非齐次方程；否则称作齐次方程。1.5偏微分方程的古典解m阶偏微分方程在某区域的古典解是指具有直至m阶连续偏导数的函数使方程对其全体自变量在该区域成为等式。非齐次项偏微分方程解的定义

若存在函数u(x1，x2

,…,xn)在区域Ω内具有方程（1）中出现的各阶连续偏导数，并且可以使得方程（1）在区域Ω内成为恒等式，那么我们称u为方程（1）在区域Ω上的经典解，简称解。例如：都是方程

的解。1.6偏微分方程的定解条件与定解问题

偏微分方程的解有无穷多个·而每个解都表示一特定的运动过程，为了找出我们所研究的具有实际问题要求的解，必须考虑研究对象所处的周围环境和初始状态等其他因素对解的影响，通过在这些方面的考虑，得到一些已知条件。这样就有可能确定出一个特定的解。这个特解既要满足方程本身又要满足所考虑的各种影响因素，因此也称作定解；这些已知条件称作定解条件。

偏微分方程与其定解条件一起构成定解问题。

偏微分方程的定解问题并不一定都有解。因此定解问题提的一定要适当。偏微分方程的求解方法理论求解数值求解有限元方法有限差分方法半理论解三、数学物理方程的研究方法

在数学中解决每个问题时，总是先对问题进行尽可能详细的考察，取得感性认识，从中找出规律性的东西，然后使用判断和推理的方法得出数学结论。这叫做分析过程，而从数学上严格论证结论的正确性叫做综合过程。就结论是否正确，综合过程是不可缺的。但对探讨新结论来说，分析过程尤为重要！

在数学物理方程中，我们特别强调通过分析过程推测可能得到的结论！而对结论的严格论证则常给予略去。这种做法并不意味着可以取消综合过程，而是意味着分析过程从方法到结论都能给我们一些新的结论，而验证结论的正确性原则上没有什么困难。

正因为分析过程的任务在于探求新结论，而结论的确实成立与否还需另行证明，所以在分析过程的推理中，并不要求十分严格，特别的不要由于某些定理的条件限制而束缚自己的思路，这是本课程中应该注意的。四、数学物理方程的基本内容和要求

本课程不可能对各种的数学物理问题进行普遍的介绍，只能就前面我们提到的三种典型方程的典型定解问题做介绍！

目的：使大家初步了解怎样把物理学、力学、和科学技术中的一些实际问题表达成偏微分方程的定解问题；掌握求解偏微分方程定解问题的一些基本方法；获得从物理上解释某些数学结果的初步训