第7课时多项式乘多项式

多项式乘多项式多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的

,再把所得的积相

,即(m+n)(a+b)=

。

第7课时多项式乘多项式每一项加ma+mb+na+nb探究点1多项式乘多项式例1对于多项式乘多项式(a+b)(m+n)。(1)若把(a+b)看作一个整体,则(a+b)(m+n)=(a+b)m+

=

,运用了

律;

(2)若把(m+n)看作一个整体,则(a+b)·(m+n)=(m+n)a+

=

。结论:(a+b)(m+n)=

。

(a+b)nam+bm+an+bn乘法分配(m+n)bam+an+bm+bnam+bm+an+bn1.下列多项式相乘的结果为x2-4x-12的是()A.(x+3)(x-4) B.(x+2)(x-6)C.(x-3)(x+4) D.(x+6)(x-2)2.计算:(1)(3x-2)(x-1);B解:(1)(3x-2)(x-1)=3x·x-3x·1-2x+2=3x2-3x-2x+2=3x2-5x+2。(2)(x2+1)(2-x2);(3)(3+2y)(9-6y+4y2)。解:(2)(x2+1)(2-x2)=2x2-x2·x2+1×2-1·x2=2x2-x4+2-x2=-x4+x2+2。(3)(3+2y)(9-6y+4y2)=3×9-3·6y+3·4y2+2y·9-2y·6y+2y·4y2=27-18y+12y2+18y-12y2+8y3=8y3+27。探究点2多项式乘多项式的实际应用例2为了更好地开展劳动教育,某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造,已知该地块(如图所示)是长为(a+4b)m,宽为(a+3b)m的长方形地块,学校准备在该地块内修一条平行四边形小路,小路的底边宽为am,并计划将阴影部分改造为种植区。(1)用含有a,b的式子分别表示出小路面积S1和种植区的总面积S2(结果化为最简);(2)若a=2,b=4,求出此时种植区的总面积S2。解:(1)由题意可得S1=a(a+4b)=(a2+4ab)(m2),S2=(a+3b)(a+4b)-(a2+4ab)=a2+4ab+3ab+12b2-a2-4ab=(3ab+12b2)(m2)。(2)当a=2,b=4时,S2=3ab+12b2=3×2×4+12×42=24+192=216(m2)。B4.为了提高业主的宜居环境,小区准备在一个长为(6a+5b)m,宽为(5b-a)m的长方形草坪上修建一横一竖互相垂直且宽度均为am的通道(如图所示)。请用含a,b的式子表示剩余草坪的面积。解:由题意,得剩余草坪的面积为(5b-a-a)(6a+5b-a)=(5b-2a)(5a+5b)=(25b2-10a2+15ab)m2。答:剩余草坪的面积为(25b2-10a2+15ab)m2。1.若(x+3)(x-9)=x2+mx-27,则m的值是()A.6 B.-6 C.12 D.-122.(2025揭阳期末)已知a2+a=3,则(2a-4)·(a+3)的值是

。

3.化简求值:(3a+1)(2a-3)-(4a-5)(a-4),其中a=-2。B-6解:(3a+1)(2a-3)-(4a-5)(a-4)=6a2-9a+2a-3-4a2+16a+5a-20=2a2+14a-23。当a=-2时,原式=2×(-2)2+14×(-2)-23=-43。4.已知多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,求p和q的值。解:因为(x2+px+q)(x2-3x+2)=x4-3x3+2x2+px3-3px2+2px+qx2-3qx+2q=x4-(3-p)x3+(2-3p+q)x2+2px-3qx+2q,由多项式(x2+px+q)(x2-3x+2)的结果中不含x3项和x2项,所以3-p=0,2-3p+q=0。解得p=3,q=7。1.观察图(1)中多项式乘多项式的运算规律,将之迁移到如图(2)所示的运算中,可得m,n(m<n)分别是()A.-5,-2 B.-5,2C.-2,5 D.5,2B2.若x+y=3且xy=2,则代数式(3-x)(3-y)的值等于()A.2 B.1 C.-2 D.03.(2025东莞模拟)公园里有一个长方形花坛,原来长为2x,宽为x,现在要把花坛四周均向外扩展2y,扩展后的长方形花坛的长为2x+2y,宽为x+2y,则扩展后的长方形花坛的面积比扩展前的长方形花坛的面积增加

。

A6xy+4y2解:(1)(x+5)(x+7)=x2+7x+5x+35=x2+12x+35。(3)(-a-3)(-a+5)。解:(3)(-a-3)(-a+5)=a2-5a+3a-15=a2-2a-15。5.(2025南海区期末节选)已知有甲、乙两个长方形,它们的边长如图所示(m为正整数),面积分别为S1,S2。请分别用含m的式子表示出S1,S2,并判断S1与S2的大小关系。解:由题意,得S1=(m+7)(2m+2)=2m2+16m+14,S2=(2m+5)(m+3)=2m2+11m+15,所以S1-S2=(2m2+16m+14)-(2m2+11m+15)=2m2+16m+14-2m2-11m-15=5m-1。因为m为正整数,所以5m-1>0。所以S1>S2。6.[代数推理]李老伯把一块长为am,宽为bm(a>b>100)的长方形土地租给租户张老伯,第二年,他对张老伯说:“我把这块地的长增加10m,宽减少10m,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”你觉得张老伯的租地面积会()A.变小 B.变大C.没有变化 D.无法确定7.(2025梅州月考)如图所示,正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张,如果要拼一个长为(a+2b),宽为(a+b)的大长方形,则需要C类卡片

张。

A38.在计算(3x+a)(x+b)时,甲错把b看成了6,得到的结果是3x2+9x-54;乙错把a看成了-a,得到的结果是3x2+21x+36,求a+b的值。解:因为甲错把b看成了6,得到结果是3x2+9x-54,所以(3x+a)(x+6)=3x2+(a+18)x+6a=3x2+9x-54。因为乙错把a看成了-a,得到结果3x2+21x+36,所以(3x-a)(x+b)=3x2+(-a+3b)x-ab=3x2+21x+36。所以a+18=9,-a+3b=21。解得a=-9,b=4,所以a+b=-9+4=-5。9.先观察下列各式,再解答后面问题:(x+5)(x+6)=x2+11x+30;(x-5)(x-6)=x2-11x+30;(x-5)(x+6)=x2+x-30。(1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系?(2)根据以上各式呈现的规律,用公式表示出来。解:(1)两因式中常数项的和等于