第八章立体几何初步全章知识点归纳总结课件-高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步全章知识点归纳总结知识网络·整合构建空间平行、垂直关系之间的转化

专题突破·素养提升专题一空间几何体的表面积和体积1.主要考查多面体、旋转体的表面积,旋转体的侧面展开图,柱体、锥体、台体的体积,球的表面积和体积,不规则几何体常用转换法、分割法、补形法等进行求解.2.利用公式求解表面积、体积,提高数学运算素养.【例1】

(1)已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则该圆锥的体积为(

)C(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为BB1,AB的中点,则三棱锥A-NMD1的体积为

.

规律方法

1.空间几何体表面积的求法(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.2.空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.特别地,求三棱锥体积时经常要转换顶点和底面,从而达到方便求高的目的.变式训练1(1)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为(

)A(2)(2025浙江宁波高一期末)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BC=2AD=2,∠DCB=60°,梯形ABCD以线段AB所在的直线l为旋转轴旋转一周.求所得旋转体的表面积和体积.

专题二空间中的平行与垂直关系1.空间中的平行、垂直关系,主要有线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直).平行关系中线面平行是重点,垂直关系中线面垂直和线线垂直是重点.2.学习空间中的平行关系和垂直关系提升逻辑推理和直观想象素养.

规律方法

1.空间中的平行关系有三种:线线平行、线面平行、面面平行.(1)证明线线平行的常用方法有7种:a.利用两直线平行的定义;b.利用平行线的传递性;c.利用三角形中位线定理;d.利用平行四边形对边平行;e.利用线面平行的性质定理;f.利用线面垂直的性质定理;g.利用面面平行的性质定理.(2)证明线面平行的常用方法有3种:a.利用线面平行的定义;b.利用线面平行的判定定理;c.利用面面平行的性质.(3)证明面面平行的常用方法有3种:a.利用面面平行的定义;b.利用面面平行的判定定理;c.利用面面平行的结论:垂直于同一直线的两个平面平行.2.空间中的垂直关系有三种:线线垂直、线面垂直、面面垂直.(1)证明线线垂直的常用方法有4种:a.利用两直线垂直的定义;b.利用线面垂直的定义;c.利用勾股定理;d.利用等腰三角形三线合一.(2)证明线面垂直的常用方法有3种:a.利用线面垂直的定义;b.利用线面垂直的判定定理;c.利用面面垂直的性质.(3)证明面面垂直的常用方法有2种:a.利用面面垂直的定义;b.利用面面垂直的判定定理.变式训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA⊥底面ABCD;(2)BE∥平面PAD;(3)平面BEF⊥平面PCD.证明

(1)因为平面PAD⊥底面ABCD,平面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,PA⊥AD,所以PA⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,所以AB∥DE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形,所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BE∥平面PAD.(3)因为AB⊥AD,且四边形ABED为平行四边形,所以BE⊥CD,AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD.又因为PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF,所以CD⊥EF.又因为CD⊥BE,EF∩BE=E,EF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.专题三空间角的求解1.空间角包括异面直线所成的角、线面角及二面角,主要考查空间角的定义及求法,求角时要先找角,再证角,最后在三角形中求角.2.通过找角、证角、求角,提升逻辑推理与数学运算素养.【例3】

如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB.(2)若二面角P-AD-B的平面角为60°.①求证:平面PBC⊥平面ABCD;②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.(1)证明

如图所示,取PB的中点M,连接MF,AM.因为F为PC的中点,所以MF∥BC,且MF=BC.由已知有BC∥AD,且BC=AD,又由于E为AD的中点,因而MF∥AE,且MF=AE,故四边形AMFE为平行四边形,所以EF∥AM.又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)①证明

连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,且E为AD的中点,所以PE⊥AD,BE⊥AD,所以∠PEB为二面角P-AD-B的平面角.在△PAD中,由PA=PD=,AD=2,可解得PE=2.在△ABD中,由BA=BD=,AD=2,可解得BE=1.在△PEB中,PE=2,BE=1,∠PEB=60°,故可得∠PBE=90°,即BE⊥PB.又BC∥AD,BE⊥AD,从而BE⊥BC,又BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD,所以平面PBC⊥平面ABCD.规律方法

1.求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).2.求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).3.二面角的平面角的作法常有三种:(1)定义法;(2)垂线法;(3)垂面法.变式训练3如图,正方体的棱长为1,B'C∩BC'=O.求:(1)AO与A'C'所成角的大小;(2)AO与平面ABCD所成角的正切值;(3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小.解

(1)∵A'C'∥AC,∴AO与A'C'所成的角是∠OAC.∵AB⊥平面BC',OC⊂平面BC',∴OC⊥AB.又OC⊥BO,AB∩BO=B,∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.∴∠OAC=30°.即AO与A'C'所成角为30°.(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,连接AE.∵平面BC'⊥平面ABCD,∴OE⊥平面ABCD,∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.(3)由(1)知OC⊥平面AOB.又OC⊂平面AOC,∴平面AOB⊥平面AOC.即平面AOB与平面AOC所成的二面角为90°.专题四空间翻折问题1.翻折问题是立体几何中的热点问题,其价值在于能够很好地体现平面图形与空间图形之间的位置关系的变与不变,数量关系的变与不变.2.通过翻折问题,提升逻辑推理和直观想象素养.【例4】

如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF折叠,使ED⊥DC,M为ED的中点,如图2.图1图2(1)求证:AM∥平面BEC;(2)求证:BC⊥平面BDE;(3)求点D到平面BEC的距离.(1)证明

取EC的中点N,连接MN,BN,在△EDC中,M,N分别为ED,EC的中点,所以MN∥CD,且MN=CD.由已知AB∥CD,AB=CD,所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABNM为平行四边形,所以BN∥AM.又因为BN⊂平面BEC,且AM⊄平面BEC,所以AM∥平面BEC.(2)证明

在正方形ADEF中,ED⊥AD.因为ED⊥DC,AD∩DC=D,AD,DC⊂平面ABCD,所以ED⊥平面ABCD,因为BC⊂平面ABCD,所以ED⊥BC.又在直角梯形ABCD中,AB=AD=1,CD=2,故BD=,∠BDC=45°,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BD·DCcos

45°=2,所以BC=.在△BCD中,BD=BC=,CD=2,所以BD2+BC2=CD2,故BC⊥BD.因为ED∩BD=D,ED,BD⊂平面BDE,所以BC⊥平面BDE.规律方法

变式训练4在等腰梯形CDEF中,DE=CD=,EF=2+,将它沿着两条高AD,CB折叠成如图所示的四棱锥O-ABCD(点E,F重合为点O).图1图2(1)求证:OB⊥OD;(2)设点M为线段AB的中点,试在线段OC上确定一点G,使得MG∥平面OAD.

解

取OC的中点G,OB的中点P,连接PM,PG,MG,则MP∥OA,GP∥CB∥DA,又MP⊄平面OAD,GP⊄平面OAD,OA⊂平面OAD,DA⊂平面OAD,∴MP∥平面OAD,GP∥平面OAD.∵MP∩GP=P,∴平面MPG∥平面OAD.∵MG⊂平面MPG,∴MG∥平面OAD,故当点G为OC的中点时,满足题意.专题五球的切、接问题1.球的切、接问题是历年高考的热点内容,常与几何体的体积、表面积相结合考查,归结起来这类问题主要包括两种类型:(1)已知几何体的顶点都在同一球面上,即球为几何体的外接球;(2)球内切于几何体,球与几何体的各个面都相切.2.球的切、接问题主要考查学生的直观想象、逻辑推理、数学建模以及数学运算的核心素养.

A

规律方法

1.确定几何体外接球的策略

2.“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切于多面体,那么作截面时主要抓住多面体过球心的对角面,另外也常用等积法确定内切球的半径.变式训练5(1)已知高为4的圆台存在内切球,其下底半径为上底半径的4倍,则该圆台的表面积为(

)A.57π

B.50π

C.25π

D.42πD解析依题意,圆台的轴截面截其内切球得球的大圆,且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆.如图,等腰梯形ABCD为圆台轴截面,其内切圆O与梯形ABCD分别切于点O1,E,O2,F,其中O1,O2分别为上、下底面圆心,设圆台上底半径为r,则下底半径为4r,BC=BE+CE=O2B+O1C=5r,而等腰梯形ABCD的高O1O2=4,所以(5r)2-(4r-r)2=42,解得r=1,所以该圆台的表面积为16π+π+5(4+1)π=42π.故选D.

B

易错易混·衔接高考12345671.在三棱锥A-BCD中,E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,若AD与BC所成的角为60°,则∠FEG为(

)A.30° B.60°C.120° D.60°或120°D解析

如图,因为E,F,G分别是AB,AC,BD的中点,所以EG∥AD,EF∥BC,由于AD与BC是异面直线,根据异面直线所成角的定义可知,∠FEG为异面直线AD与BC所成角或其补角,因为AD与BC所成的角为60°,所以∠FEG为60°或120°.故选D.12345672.(2025天津卷,4)已知m,n为直线,α,β为平面,则下列说法正确的是(

)A.若m∥α,n⊂α,则m∥nB.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若m⊂α,α⊥β,则m⊥βC123456712345673.(2024新高考Ⅰ卷,5)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为(

)B12345674.(2024新高考Ⅱ卷,7)已知正三棱台ABC-A1B1C1的体积为,AB=6,A1B1=2,则A1A与平面ABC所成角的正切值为(

)A. B.1 C.2 D.3B1234567解析

(方法一)设棱台的高为h,三条侧棱延长后相交于一点S.正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1.连接AO,SO,易知点O1在SO上.由AB=3A1B1,可知三棱锥S-A1B1C1的高为SO1=h,三棱锥S-ABC的高为SO=h,正三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1均为正三角形,AB=6,A