八年级下学期华师大（2024）183正方形（2）与正方形有关的实践探究题

学习目标情境引入探求新知典例铺路随堂演练课堂小结当堂检测18.3正方形（2）

---与正方形有关的实践探究题互动设计学习目标返回主页提炼解题对策，帮助师生突破难点。在八年级下册及中考数学中，以正方形为载体的几何探究题常常作为压轴题出现。这类题目往往融合了正方形的性质、全等三角形、相似三角形、勾股定理、动态几何、最值问题、存在性问题等多种知识点，并常常以“一题多问”的形式呈现，对学生的综合推理能力、空间想象能力和数学思想方法提出了较高要求，因而得分率普遍偏低。本文旨在对这类问题进行系统分类，提炼解题对策，帮助师生突破难点。探求新知1.静态几何证明与计算返回主页2.动态问题3.最值问题4.存在性问题5.探究性问题1.静态几何证明与计算特征：图形固定，求证线段相等、角相等、线段关系（和差倍分）、面积关系等，或进行长度、角度的计算。常见题型：-利用正方形边角性质证明全等或相似；-利用勾股定理求线段长；-利用面积法求高或距离。2.动态问题特征：点或线在正方形上运动，探究运动过程中不变的量或变化规律。常见题型：-单点运动：某点在线段或边上运动，求相关线段长度或函数关系；-双点联动：两点同时运动，探究特殊位置或最值；-图形变换：旋转、平移、折叠等操作下的不变性。3.最值问题特征：在给定条件下，求某条线段、某个角、某图形面积的最大值或最小值。常见题型：-利用“两点之间线段最短”求最短路径（将军饮马模型）；-利用垂线段最短求点到直线的最短距离；-利用函数配方或不等式求最值。4.存在性问题特征：在动态过程中，探究是否存在某个时刻（或位置），使图形成为某种特殊图形（如等腰三角形、直角三角形、平行四边形等）或满足某种数量关系。常见题型：-是否存在点使某三角形为等腰三角形；-是否存在点使某四边形为菱形/矩形；-是否存在点使某线段长度为定值。5.探究性问题特征：通过一组有规律的图形变化，引导学生发现规律、提出猜想并证明（常出现在类比探究题中）。常见题型：-递进式问题：从特殊到一般，探究结论是否成立；-旋转相似：将基本图形旋转后，探究新的线段关系。

6.解题策略2.化归思想——将正方形问题转化为三角形问题连接对角线构造等腰直角三角形或全等三角形；作垂线构造直角三角形；通过旋转、对称构造全等或相似三角形。3.方程思想——利用勾股定理或相似比建立方程设未知数，用含未知数的式子表示相关线段；根据等量关系（如勾股定理、线段和差、面积关系）列方程求解。4.分类讨论思想——考虑所有可能的情形动点问题中，点在线段上、在延长线上、在不同边上；等腰三角形存在性问题需按腰相等分类；直角三角形的直角顶点不确定时需分类。5.函数思想——建立函数模型求最值当问题涉及变量关系时，先建立函数解析式；再通过配方法、基本不等式或二次函数顶点坐标求最值。6.数形结合——借助坐标系简化问题将正方形置于平面直角坐标系中，利用坐标表示点，将几何问题代数化；7.从特殊到一般——归纳猜想与证明对于探究性问题，先从简单情形（特殊位置）入手，猜测一般结论；再通过逻辑推理（全等、相似）证明猜想。典例铺路例1：饮马模型--线段和及周长最小例2：折叠模型--面积最小例3：折纸游戏—探究折痕数量关系几何模型条件：如图①，A，B是直线l同旁的两个定点.问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小.方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则PA+PB=A'B的值最小(不必证明).（1）模型应用如图②，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BP，则PB+PE的最小值是.例1题目（2）如图③，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点.PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.(3）模型拓展如图④，某人从A地到河边l饮马，然后沿着笔直的河边走固定的距离a，最后回到营地B.此人怎样选择饮马的地点，才能使所走的路程最短?

解题过程2）解：如图③，分别作点P关于OB，OA的对称点P1，P2，连接P1P2分别交OB，OA于点R，Q，

故饮马点为点P，所行的最短路线为A→P→Q→B.

解后反思例2题目2．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．【动手操作】如图1，将边长为8cm的正方形ABCD对折，使点D与点B重合，得到折痕AC．打开后，再将正方形ABCD折叠，使得点D落在BC边上的点P处，得到折痕GH，折痕GH与折痕AC交于点Q．打开铺平，连接PQ、QD、PD．（1）【探究提炼】如图1，点P是BC上任意一点，线段QD和线段PQ存在什么关系？并说明理由；（2）如图2，连接PH，当PH恰好垂直于AC时，求线段CQ的长度；（3）【类比迁移】如图3，某广场上有一块边长为40m的菱形草坪ABCD，其中∠BCD＝60°．现打算在草坪中修建步道AC和MN﹣ND﹣DM，使得点M在BC上，点N在AC上，且MN＝ND．①求∠NMD的度数；②请问步道MN﹣ND﹣DM所围成的△MND（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值；若不存在，说明理由．解题过程【答案】（1）解：QP＝QD，理由：由折叠可知：QP＝QD；连接QD、QB，由折叠可知QB＝QD＝QP，∠QBC＝∠QDC＝∠QPB，∠AQB＝∠AQD，设∠QBC＝x°，则∠AQB＝∠AQD＝45°+x°，∠BQP＝180°﹣2x°，∴∠DQP＝360°﹣∠AQB﹣∠AQD﹣∠BQP＝360°﹣2（45°+x°）﹣（180°﹣2x°）＝90°，∴DQ⊥QP；

∵HI＝PI，PH⊥AC，即QC是PH垂直平分线，∴QP＝QH，∴QH＝QD，∴∠QHD＝∠QDH＝67.5°，∴∠CQD＝180°﹣∠QDC﹣∠QCD＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CQD＝∠QDC，∴CQ＝CD＝8cm；（3）解：①如图；过点N作NE⊥BC，垂足为E，过点N作NF⊥CD，垂足为F，∵∠BCD＝60°，∴∠ENF＝360°﹣∠NFC﹣∠NEC﹣∠BCD＝120°，∵在菱形ABCD中，AC是∠BCD的角平分线，∠BCD＝60°，∴NE＝NF，∵NM＝ND，∴Rt△NEM≅Rt△NFD（HL），∴∠ENM＝∠FND，∴∠ENM+∠MNF＝∠MNF+∠FND，

解后反思【分析】(1)根据折叠的性质可知GH垂直平分PD，再结合垂直平分线性质求解，即可解题；(2)结合折叠的性质△QHP≌△QHD，理由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到∠QHD=∠QHP=∠QDH=∠QPH，结合正方形性质得到∠QDH=67.5°，再利用三角形内角和定理推出∠DQC=∠QDH，最后根据等腰三角形性质求解，即可解题.(3)①过点N作NR⊥BC于点R，过点N作NS⊥DC于点S，利用四边形内角和得到∠RNS，结合菱形性质证明Rt△NRM≅Rt△NSD，结合全等的性质进行等量代换，即可解题；例3题目3．四边形ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏.

∴BC-NE=CD-CF，即BN+CE=DF，∴AG+CE=DF.

由(2)知：AG+CE=DF，即AG+2=6∴AG=4（3）②如图，过A作AK∥EG交BC于点K，∵AG∥EK，∴四边形AKEG是平行四边形，∴AG=EK，过K作KH⊥BC于点K，且KH=AB，∴∠BAG=∠HKE=90^∘,∴△BAG≌△HKE(SAS)，∴BG=HE，∴BG+EF=HE+EF≥HF,当且仅当H、E、F依次共线时，取等，过H作HN⟂DC,交DC延长线于点H，则四边形CKHN是矩形，∴HN=CK,CN=AB=9,∵CF=3，∴FN=CF+CN=3+9=12,由(2)中方法可证△ABK≅△BCF(ASA),∴BK=CF=3，∴HN=CK=BC-BK=6，在Rt△FN