乘法公式综合运用

苏科版（2024新版）七年级数学下册教学课件第8章整式乘法8.4.3乘法公式综合运用学习目标熟练运用公式能熟练运用平方差公式、完全平方公式进行复杂的整式混合运算，掌握公式的变式和逆用。解决实际问题能运用乘法公式解决整式的化简求值、几何面积、代数式变形等实际问题，提升综合运算和解题能力。培养数学素养梳理整式乘法的知识体系，体会公式法在整式运算中的简便性，培养数学运算素养。学习重难点核心重点平方差公式和完全平方公式的综合运用公式的变式与逆用技巧难点突破复杂代数式中公式的识别与灵活运用乘法公式与幂的运算、单项式乘多项式的综合运算代数式的恒等变形能力知识回顾：默写乘法公式平方差公式(a+b)(a-b)=______完全平方和公式(a+b)²=______完全平方差公式(a-b)²=______

知识回顾：公式变式与逆用平方和公式变式a²+b²=(a+b)²-2ab=(a-b)²+2ab和平方与差平方的关系(a+b)²=(a-b)²+4ab三项式平方展开（整体思想）(x+y+z)²=[(x+y)+z]²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz知识回顾：计算热身第一题：平方和与平方差混合运算(x+2)²+(x-2)(x+2)第二题：完全平方与平方差的综合运用(2a-3b)²-(2a+3b)(2a-3b)

新知探究：多项式的复杂平方运算解题思路计算目标：(a+b+c)²核心技巧：将(a+b)看作一个整体，运用完全平方公式进行降维处理。演算过程原式=[(a+b)+c]²=(a+b)²+2(a+b)c+c²=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²结论归纳公式规律：三个数的和的平方，等于这三个数的平方和，加上每两个数积的2倍。记忆口诀：首平方，尾平方，首尾二倍放中间。新知探究：乘法公式的连续运用题目与思路分析计算：(x-3)(x+3)(x²+9)

思路点拨：观察式子结构，发现可以先将前两个因式结合，连续运用平方差公式进行化简。详细计算过程第一步：分组并运用平方差公式原式=[(x-3)(x+3)](x²+9)=(x²-9)(x²+9)第二步：再次运用平方差公式化简=(x²)²-9²=x⁴-81最终结果：x⁴-81新知探究：逆用积的乘方法则计算题目：(2x+3)²(2x-3)²解题思路：先逆用积的乘方法则aⁿbⁿ=(ab)ⁿ，构造平方差公式，再进行化简。计算过程：原式=[(2x+3)(2x-3)]²=(4x²-9)²=16x⁴-72x²+81新知探究：巧结合，用公式例题1：(x+y+4)(x+y-4)解题思路：将(x+y)看作一个整体，构造平方差公式结构。计算过程：原式=[(x+y)+4][(x+y)-4]=(x+y)²-4²=x²+2xy+y²-16例题2：(x+y-3)(x-y+3)解题思路：将(y-3)看作一个整体，构造平方差公式结构。计算过程：原式=[x+(y-3)][x-(y-3)]=x²-(y-3)²=x²-(y²-6y+9)=x²-y²+6y-9自学自测题目一：平方差变形计算：(x+y)²-(x-y)²

提示：可以先展开，也可以利用平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)题目二：分组因式分解计算：(a+2b-3)(a+2b+3)

提示：将(a+2b)看作一个整体，利用平方差公式

教师点拨：核心突破（一）运算技巧：公式优先观察特征：先判断括号内的式子是否符合乘法公式特征。巧用公式：利用平方差或完全平方公式简化计算。运算顺序：遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的原则。典型例题演示题目：[(x+2y)(x-2y)]²

解析步骤：第一步（平方差）：(x+2y)(x-2y)=x²-4y²第二步（完全平方）：(x²-4y²)²=x⁴-8x²y²+16y⁴

结论：x⁴-8x²y²+16y⁴教师点拨：核心突破（二）核心技巧：公式逆用与变式适用场景：已知a+b、a-b、ab中的任意两个值，求第三个值或a²+b²。解题策略：熟练掌握完全平方公式的变形，灵活进行配凑，将未知转化为已知。典型例题解析题目：已知a-b=3，ab=2，求下列各式的值。解：①求a²+b²=(a-b)²+2ab=3²+2×2=13②求(a+b)²=(a-b)²+4ab=3²+4×2=17教师点拨：核心突破（三）三项式乘三项式技巧若符合“和乘差”特征，先分组构造平方差公式，再用完全平方公式展开。典型例题解析原式：(x-y+z)(x+y-z)变形：[x-(y-z)][x+(y-z)]（构造平方差）展开：x²-(y-z)²=x²-(y²-2yz+z²)=x²-y²+2yz-z²当堂训练：A层基础必做题一、选择题(每题2分)1.计算(a+b)²-(a-b)²的结果是（）A.0B.2abC.4abD.2a²+2b²2.化简(x-2)²+(x+1)(x-1)的结果是（）A.2x²-4x+3B.2x²-4x+5C.2x²+4x+3D.2x²+4x+5二、解答题(共16分)3.计算:(1)(m+n-2)(m+n+2)(2)(3x-2)²-(2x+1)(1-2x)(3)[(a-2b)(a+2b)]²4.化简求值:(2a+b)²-2(2a+b)(a-b)+(a-b)²其中a=2，b=-1。当堂训练：B层拓展挑战题01.计算挑战计算:(x-1)(x+1)(x²+1)(x⁴+1)+102.代数求值已知x+1/x=3，求x²+1/x²的值。03.完全平方公式应用已知多项式x²+kx+9是一个完全平方式，求k的值。

课堂小结乘法公式综合运用口诀先看结构定公式巧用变式和逆用混合运算遵顺序化简求值分步做核心技巧掌握分组构造公式（三项式运算）公式变式求代数式的值（如a²+b²与ab的关系）连续运用平方差公式简化多步乘法几何问题转化为代数式运算，建立方程求解课后作业基础作业教材P43：习题提高题6