等差数列的前n项和课件（第2课时）-高二数学北师大版选择性

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

数列第1节

等差数列2.2等差数列的前n项和第2课时（共2课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、掌握由Sn求an的方法。2、理解Sn的性质。3、会用Sn的性质解决问题。1、掌握由Sn求an的方法。2、会用Sn的性质解决问题。1、掌握由Sn求an的方法。2、会用Sn的性质解决问题。新

知

引

入数学王子——高斯1、等差数列的通项公式是什么？an=a1+(n-1)d2、等差数列的前n项和公式是什么？

本节课我们来研究等差数列前n项和Sn的性质.学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》

典

例

引

路集合论之父——康托例1、若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n（n为正整数），则数列{an}的通项公式是__________.解:当n≥2时，an=Sn-Sn-1

=(n2-4n)-[(n-1)2-4(n-1)]=2n-5

当n=1时，a1=S1=12-4×1=-3也满足an=2n-5,所以数列{an}的通项公式是an=2n-5.同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特

典

例

引

路柯

西例2、若数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则数列{an}的通项公式an___________.

同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔练2、已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+2n+3，则通项公式an=________

典

例

引

路牛

顿例3、已知Sn为数列{an}的前n项和，an＞0，an2+2an=4Sn.则数列{an}的通项公式为______________解：当n=1时，a12+2a1=4S1=4a1，因为an＞0，所以a1=2；

当n≥2时，an2+2an=4Snan-12+2an-1=4Sn-1

两式相减得

an2+2an-（an-12+2an-1）=4Sn-4Sn-1

an2-an-12+2an-2an-1=4anan2-an-12=2(an+an-1)(an-an-1)(an+an-1)=2(an+an-1)

因为an＞0，所以an-an-1=2所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，所以an=2n同

步

练

习黎

曼练3、正项数列{an}的前n项和Sn满足an(1+an)=2Sn，则数列{an}的通项公式为____________解：当n=1时，a1(1+a1)=2S1=2a1，因为an＞0，所以a1=1；

当n≥2时，an(1+an)=2Snan-1(1+an-1)=2Sn-1

两式相减得

an(1+an)-an-1(1+an-1)=2Sn-2Sn-1an-an-1+an2-an-12=2anan2-an-12=an+an-1(an-an-1)(an+an-1)=an+an-1

因为an＞0，所以an-an-1=1所以数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，所以an=n学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》

d≠0时，等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数,且常数项是0，即Sn=an2+bn(a,b∈R)。

如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，则当n=1时，a1=S1=___________

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=____________p+q+r2pn-p+q数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p,q,r为常数，且p≠0，只有当r=0时该数列才是等差数列，.所以当且仅当r_____0时，a1满足an=2pn-p+q.=典

例

引

路狄利克雷例4、（1）设等差数列{an}的前n项和为Sn，S17=S9,若Sm=S14，则m的值为_____

（2）等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＜0，S3=S11，则当n=

时，Sn最小.

同

步

练

习庞加莱练4、（1）已知{an}是各项不全为零的等差数列，前n项和是Sn，且S2000=S2040，若Sm=S2022，则正整数m=_____

（2）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，S4=S8，则当Sn取得最大值时，n的值为_________

典

例

引

路皮

亚

诺例5、数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+2)2+λ，则λ的值是__________解：Sn=(n+2)2+λ=n2+4n+4+λ∵等差数列的前n项和为常数项为0的二次函数∴4+λ=0∴λ=-4同

步

练

习莱布尼兹练5、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＝21，S5＝65，则Sn＝_________

典

例

引

路傅里叶例6、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.

同

步

练

习洛必达

学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，……成等差数列。对于无穷等差数列{an}a1，a2，…，am，am+1，am+2，…，a2m，a2m+1，a2m+2，…，a3m，…每隔m项分成一段，再把每一段内的各项求和，得到一个新的数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…注意：1、Sm，S2m，S3m，S4m，…不是等差数列。典

例

引

路华罗庚例7、等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求数列{an}的前3m项的和S3m.解：在等差数列{an}中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列,

即30,70,S3m-100成等差数列,

故2×70=30+(S3m-100),S3m=210.同

步

练

习陈景润练7、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于()

A.63

B.45

C.36

D.27解：由等差数列前n项和的性质可知：

S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以

S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即

S9=3S6-3S3，又

S3=9，S6=36，所以

S9=3×36-3×9=81，所以

a7+a8+a9=S9-S6=81-36=45.B学

习

新

知拉格朗日等差数列{an}的公差为d,S奇=a1+a3+a5+a7+…S偶=a2+a4+a6+a8+…

(中间项)

SnSn

典

例

引

路贝叶斯例8、

已知等差数列{an}的前12项的和为354,前12项中偶数项的和与奇