从速度的倍数到数乘向量课件-高一下学期数学北师大版

学习目标情境引入探求新知典例铺路随堂演练课堂小结当堂检测第二章平面向量及其应用互动设计

2.3从速度的倍数到数乘向量课件部分内容快照【情境导入】【探究新知】【典型例题】类型一数乘向量定义及其几何意义类型二

向量的线性运算类型三三点共线证明及应用类型四向量线性运算的综合应用情境1：物理中的速度倍数情境2：机车牵引力1.向量数乘的定义2.几何意义3.单位向量4.运算律5.线性运算6.共线(平行)向量基本定理学习目标理解向量数乘运算的定义及其几何意义。。。返回主页

1.理解向量数乘运算的定义及其几何意义2.掌握向量数乘的运算律（结合律、分配律）3.理解平面向量共线定理，能运用定理证明向量共线、三点共线及两直线平行4.能进行向量的线性运算（加法、减法、数乘的综合运算）4.体会数学与物理学科的联系，感受数学的应用价值5.培养逻辑推理能力和数学抽象素养情境引入境1：物理中的速度倍数情境2：机车牵引力情境1：物理中的速度倍数

情境2：机车牵引力

师生互动探究活动2：运算律验证探究活动1：数乘向量的几何意义探究活动3：共线条件探究探究活动1：数乘向量的几何意义学生作图：

小组讨论：观察这些向量与原向量的长度和方向关系归纳总结：数乘向量对长度和方向的影响规律探究活动2：运算律验证作图验证：

探究活动2：运算律验证作图验证：

探究活动3：共线条件探究

小组合作：从具体例子归纳一般规律

,得出定理.探求新知1.向量数乘的定义2.几何意义3.单位向量4.运算律5.线性运算6.共线(平行)向量基本定理1.向量数乘的定义实数λ与向量a的乘积是一个向量,记作λa,满足以下条件:(1)当λ>0时,向量λa与向量a的方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a的方向相反;当λ=0时,0a=0.(2)|λa|=|λ||a|.这种运算称为向量的数乘.2.几何意义如图,由实数与向量数乘λa的定义可以看出,它的几何意义是:当λ>0时,表示向量a的有向线段在原方向伸长或缩短为原来的|λ|倍;当λ<0时,表示向量a的有向线段在反方向伸长或缩短为原来的|λ|倍..相同相反任意3.单位向量由向量数乘的定义容易推出,在非零向量a方向上的单位向量是

.

单位化

4.运算律设λ,μ为实数,a,b为向量,那么根据向量的数乘定义,可以得到以下运算律:(1)(λ+μ)a=λa+μa;(2)λ(μa)=(λμ)a;(3)λ(a+b)=λa+λb.结合律：分配律1：：分配律2：：5.线性运算向量的加法、减法和数乘的综合运算,通常称为向量的线性运算(或线性组合).若一个向量c由向量a,b的线性运算得到,如c=2a+3b,则称向量c可以用向量a,b线性表示.6.共线(平行)向量基本定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b=____，则向量b与非零向量a共线.(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b=____.λaλa

2.已知三点A,B,C共线,O是平面内任意一点,则有

,其中λ+μ=1.点析1.向量共线的条件:当向量b=0时,b与任一向量a共线.当b≠0,对于向量a,如果存在一个实数λ,使a=λb,那么由实数与向量积的定义知,a与b共线.反之,已知向量a与b共线,b≠0,且向量a的长度是向量b的长度的λ倍,即|a|=λ|b|,则当a与b同方向时,a=λb;当a与b反方向时,有a=-λb.点析2.点析3.3.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=0.【即时小测】1.思索以下问题:(1)实数与向量相乘得到数乘向量,那么实数与向量能相加(减)吗?提醒:不能.实数与向量能够相乘,但不能相加减.(2)假如向量a,b共线,一定有b=λa(λ∈R)吗?提醒:不一定.当a=0,b≠0时,λ不存在.2.已知λ,μ∈R,下面式子正确是(

)A.λa与a同向B.0a=0C.若a≠0,ma=na,则m=nD.若b=λa,则|b|=λ|a|【解析】选C.当λ<0时,λa与a反向,A错;0a=0,B错;若b=λa,则|b|=|λ||a|,D错;对于C,ma=na得(m-n)a=0,因a≠0,故m-n=0,即m=n,C正确.典例铺路类型一数乘向量定义及其几何意义类型二

向量的线性运算类型三三点共线证明及应用类型四向量线性运算的综合应用类型一数乘向量定义及其几何意义1.两个非零向量a与(2x-1)a方向相同,则x取值范围为________.题中方向相同两个向量系数应满足什么条件?提醒:方向相同两个向量系数应同号.

2.已知a,b为两个非零向量,以下说法中正确个数为________.(1)2a与a方向相同,且2a模是a模2倍.(2)-2a与5a方向相反,且-2a模是5a模.(3)-2a与2a是一对相反向量.(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.2.(1)正确.因为2>0,所以2a与a方向相同且|2a|=2|a|.(2)正确.因为5>0,所以5a与a方向相同,且|5a|=5|a|,而-2<0,所以-2a与a方向相反,且-2a模是5a模.(3)正确.按摄影反向量定义能够判断.

类型二

向量的线性运算

类型三三点共线证明及应用类型四向量线性运算的综合应用2.在▱ABCD中,E和F分别为边CD和BC中点,若其中λ,μ∈R,求λ+μ值.随堂演练返回主页【1】

【2】

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ABCDE随堂检测返回主页【1】

【2】

【3】

答案：A【4】设D为△ABC所在平面内一点,

则(

)

【解析】选A.由题知

【5】设D,E,F分别是△ABC三边BC,CA,AB上点,且

(

)A.反向平行B.同向平行C.相互垂直D.既不平行也不垂直假如存在实数倍关系,再看系数正负,若系数为正则同向平行,若系数为负则反向平行;假如不存在实数倍关系则不平行.【5】【解析】选A.由题意,得

又

所以

所以

同理,得

将以上三式相加,得

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