第1课时线段垂直平分线的性质和判定课件湘教版级上册

第4章三角形4.6线段垂直平分线

第1课时

线段垂直平分线的性质和判定1.理解线段垂直平分线的概念.2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理.3.能运用线段垂直平分线的有关知识进行证明或计算.说一说：如图，人字形屋顶的框架中，点A与点A′关于线段CD所在的直线l对称，问线段CD所在的直线l与线段AA′有什么关系？AD=A′D，l⊥AA′其中包含了怎样的道理？

我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到下图.已知点A与点A′关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直线段AA′.●●lAA′D21(A)线段垂直平分线的概念：垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(或中垂线)线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.lPP′

探究：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段

P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B

的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A

与点B的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝根据以上数量关系，你有什么猜想？PABDl于是∠ADP=∠BDP=90°.在△PAD和△PBD

中，设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且

PD⊥AB，所以△PAD≌△PBD(边角边).因此

PA＝PB.AD＝BD，∠ADP＝∠BDP，PD＝PD，当点

P在线段

AB上时，结论还成立吗?线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：PABDl要点归纳几何语言：因为点P

在AB的垂直平分线上，所以PA=PB.说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么?结论是什么?它的逆命题是什么?如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.条件:一个点在一条线段的垂直平分线上.结论:这个点到这条线段两端的距离相等逆命题:

这个逆命题成立吗?线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.证明：（1）当点M不在线段AB上时，连接MA，MB，由于MA=MB，则△MAB是等腰三角形.取AB的中点D，连接MD，则MD是△MAB的底边AB上的中线，也是AB上的高线. 因此，直线MD是线段AB的垂直平分线，从而点M在线段AB的垂直平分线上.（2）当点M在线段AB上时，则M就是AB的中点，因而点M在AB的垂直平分线上.要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.PAB几何语言：因为PA=PB，所以点P在AB

的垂直平分线上．要点归纳例1

如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证:点0在AC的垂直平分线上.OA=OB=OCOB=OC点O在线段BC的垂直平分线上OA=OB点O在线段AB的垂直平分线上分析：例1

如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证:点0在AC的垂直平分线上.证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上，所以OA=OB(线段垂直平分线的性质定理).同理可得OB=OC.于是OA=OC.所以点O在AC的垂直平分线上(线段垂直平分线的性质定理的逆定理).

这个点与三角形的三个顶点有什么关系呢？三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等.这点到三个顶点的距离相等2.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是()A．11B．10C．9D．8B1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（）A.3B.4C.5D.6CPABCD3.如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是 (

C

)CA.AB＝ADB.AC平分∠BCDC.AB＝BDD.△BEC≌△DEC线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.4.如图，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝ (

B

)A.50°B.100°C.120°D.130° B5.如图，C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证:AO=BO.证明：因为AC=BC，AD=BD，所以点C和点D在线段AB的垂直平分线上，所以CD为线段AB的垂直平分线.