第3课时三角形的高线中线和角平分线

1.三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的

叫作三角形的高线,简称三角形的高。

如图所示的△ABC中,AF⊥BC,则线段AF是△ABC的BC边上的高。2.三角形的三条高所在的

相交于一点。

第3课时三角形的高线、中线和角平分线线段直线3.三角形的中线(1)在三角形中,连接一个顶点与它对边

的线段,叫作三角形的中线;

(2)如图所示的△ABC中,线段AE是边BC上的中线,则BE=

。

4.三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这个点称为三角形的

。

中点CE重心5.三角形的角平分线(1)在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的

。

如图所示,线段AD是△ABC的一条角平分线,则∠1=

;

(2)三角形的三条角平分线交于一点。角平分线∠2探究点1三角形的高线例1

如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,EC⊥BC交AB于点E,CF⊥AB,垂足为F,BG⊥AC,垂足为G。(1)分别写出△ABC各条边上的高。(2)CF是哪几个三角形的高?解:(1)由题图知,在△ABC中,AB边上的高是CF,BC边上的高是AD,AC边上的高是BG。(2)CF是△BCF,△BCE,△BCA,△FCE,△FCA,△ECA的高。1.如图所示,在△ABC中,∠BAC是钝角,完成下列画图,并用适当的符号在图中表示。(1)画出AC边上的高;(2)画出BC边上的高。解:画图如图所示。(1)线段BE为AC边上的高。(2)线段AD为BC边上的高。探究点2三角形的中线例2如图所示,在△ABC中,点E是△ABC的重心,连接AE并延长,交BC于点D。已知AB=6,AC=7,△ABD的周长为16,求△ACD的周长。解:因为点E是△ABC的重心,且点E在AD上,所以AD为BC边上的中线。所以BD=CD。因为△ABD的周长为16,AB=6,所以AD+BD=10,即AD+CD=10,所以AD+CD+AC=10+7=17,即△ACD的周长为17。2.如图所示,AD是△ABC的中线,DE是△ADB的中线。如果S△ADB=12,求△ABC的面积。解:S△ABC=S△ABD+S△ACD=2S△ABD=2×12=24。探究点3三角形的角平分线例3

如图所示,AD平分∠BAC,其中∠B=35°,∠ADC=82°,求∠BAC,∠C的度数。解:因为∠ADC=82°,所以∠ADB=180°-82°=98°,所以∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-35°-98°=47°。因为AD平分∠BAC,所以∠BAC=2∠BAD=2×47°=94°,所以∠C=180°-35°-94°=51°。3.如图所示,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE交于点O。若∠A=80°,则∠BOC的度数为

。

130°1.(2025揭阳期末)如图所示,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是()A.BA=2BF C2.(2024汕头月考)如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的中线,CE是AB边上的高,若AB=4,S△ADC=5,则CE的长度为()A.5 B.6 C.7 D.83.(2025淄博月考)如图所示,在△ABC中,AC=2cm,BC=3cm,AD,BE为△ABC的两条高,则AD∶BE=

。

A2∶31.三角形的重心在()A.三角形的内部B.三角形的外部C.三角形的边上D.要根据三角形的形状确定A2.(2025深圳期中改编)下列四个图形中,线段BE是△ABC的高的是()3.王伯伯要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子,则图中他所作的线段AD应该是△ABC的()A.角平分线 B.中线C.高 D.以上都不是DB4.如图所示,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且△ABC的面积为20cm2,则阴影部分的面积为()A.5cm2 B.6cm2C.8cm2 D.10cm25.如图所示,在△ABC中,BD=CD,∠ABE=∠CBE,BE交AD于点F。(1)

是△ABC的角平分线;

(2)

是△BCE的中线;

(3)

是△ABD的角平分线。

ABEDEBF6.如图所示,AD是△ABC的中线,点E是AD上一点,连接BE,CE,若△ABC的面积是8,则阴影部分的面积为()A.2 B.4 C.6 D.8B7.如图所示,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB=50°,∠C=60°,求∠DAE和∠BOA的度数。解:因为∠CAB=50°,∠C=60°,所以∠ABC=180°-50°-60°=70°。又因为AD是高,所以∠ADC=90°。所以∠DAC=180°-90°-∠C=30°。因为AE,BF是角平分线,所以∠CBF=∠ABF=35°,∠EAF=∠BAO=25°。所以∠DAE=∠DAC-∠EAF=5°,∠BOA=180°-∠ABO-∠BAO=180°-35°-25°=120°。8.[应用意识]张大爷准备把如图所示的一