2026届新高考数学热点考前冲刺复习函数模型的应用

2026届新高考数学热点考前冲刺复习函数模型的应用1.指数、对数、幂函数模型性质的比较

性质函数y=ax(a>1)y=logax

(a>1)y=xn(n>0)在(0,+∞)上的单调性单调

单调

单调

增长速度越来越

越来越

相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与

平行

随x的增大逐渐表现为与

平行

随n值变化而各有不同微点拨“直线上升”是匀速增长,其增长速度固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长速度越来越快,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度越来越慢.递增递增递增快慢y轴x轴

2.几种常见的函数模型

函数模型函数解析式一次函数f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)反比例型函数二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)指数型函数f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)对数型函数f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)幂型函数f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=2x的函数值恒比y=x2的函数值大.(

)(2)幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快.(

)(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快、短时间内变化量较大的实际问题.(

)(4)已知a>1,在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax的增长速度会超过并远远大于y=xa和y=logax的增长速度.(

)×解析如x=2时,两者函数值相等.×

√√2.(人A必修一教材习题)在2h内将某种药物注射进患者的血液中.在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是(

)B解析依题意,在2h内,药物含量线性增加,排除A;又药物含量不可能为负值,故排除D;停止注射后,药物含量呈指数衰减,排除C,故选B.研考点•精准突破01考点一用函数图象刻画变化过程例1

(1)(2025·河南南阳模拟)如图,一高为H的球形鱼缸,匀速注满水所用时间为T.若鱼缸水深为h时,匀速注水所用的时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是(

)D解析将容器看作一个球体,在刚开始注水时,由于随着水面的面积越来越大,h增加的速度越来越慢,到水注入球体的一半时,随着水面的面积越来越小,h增加的速度越来越快.故选D.(2)(多选题)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时,该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后,体内血药浓度及相关信息如图所示.根据图中提供的信息,下列关于成人服用该药物的说法中,正确的是(

)A.首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物,两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物,约5.5小时后第二次服用1单位该药物,可使药物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物,3小时后再次服用1单位该药物,不会发生药物中毒ABC解析从题中图象可以看出,首次服用1单位该药物,约10分钟后药物发挥治疗作用,A正确;根据题中图象可知,首次服用1单位该药物,约1小时后血药浓度达到最大值,由题中图象可知,当两次服药间隔小于2小时时,一定会产生药物中毒,B正确;服药5.5小时时,血药浓度等于最低有效浓度,此时再服药,血药浓度增加,可使药物持续发挥治疗作用,C正确;首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后,血药浓度之和大于最低中毒浓度,因此一定会发生药物中毒,D错误.故选ABC.规律方法判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法:当根据题意容易构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择函数图象.(2)验证法:根据实际问题中两个变量的变化快慢等特点,结合函数图象的变化趋势,验证是否吻合,从而选择出符合实际情况的答案.[对点训练1](1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(

)A.40万元

B.60万元C.120万元

D.140万元C解析甲商品6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),商人在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙商品4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),商人在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.(2)(2025·海南海口模拟)小李在如图所示的跑道(其中左、右两边分别是两个半圆)上匀速跑步,A,B,C,D都是半圆弧的端点,他从点A处出发,沿箭头方向经过点B,C,D返回到点A,共用时80秒,他的同桌小陈在跑道所围成区域的中心点O位置观察小李跑步的过程,设小李跑步的时间为t(单位:秒),他与小陈间的距离为y(单位:米),若y=f(t),则f(t)的图象大致为(

)D解析由题图知,小李从点A到点B的过程中,y的值先增后减,从点B到点C的过程中,y的值先减后增,从点C到点D的过程中,y的值先增后减,从点D到点A的过程中,y的值先减后增.故选D.考点二已知函数模型解决实际问题例2

(1)(2025·广东佛山模拟)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超过的部分为A万元,则超过的部分按log5(2A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他的销售利润是(

)万元.

A.15 B.25C.30 D.20D

36

规律方法根据给定函数模型解决实际问题的技巧(1)认清函数模型,明确其中的变量,弄清楚哪些为待定系数.(2)根据已知条件,确定模型中的待定系数.(3)分析函数模型,借助函数的性质解决相关问题.

ACD

考点三构建(选择)函数模型解决实际问题例3

(2025·江西上饶模拟)近几年,直播平台逐渐被越来越多的人关注和喜爱.某平台从2021年初建立开始,得到了很多网民的关注,会员人数逐年增加.已知从2021到2024年,该平台会员每年年末的人数如下表所示:(注:第4年数据为截止至2024年10月底的数据)建立平台第x年1234会员人数y(千人)16285286

规律方法构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中,得到实际问题的解.[对点训练3](2025·云南昆明模拟)一项关于高中生上课注意力集中情况的调查研究表明,在一节课内,注意力指数p与听课时间t(单位:分钟)之间的关系满足如图所