现代控制理论-闫茂德-配套教学第1章 控制系统的状态空间描述

现代控制理论长安大学《现代控制理论》教学组主讲

人：闫茂德联系方式子邮件：mdyan@循度鲁参接第1章

控制系统的状态空间描述第1章

控制系统的状态空间描述一个复杂系统可能有多个输入和多个输出，除此之外还有许多相互独立的中间变量。经典控制理论建立在系统高阶微分方程或传递函数的基础之上，仅能描述系统输入—输出之间的外部特性，不能揭示系统内部各物理量的运动规律。因此，用此类方法描述的系统是不完整的。现代控制理论引入状态空间的概念，系统状态空间描述由状态方程和输出方程组成。状态方程用以反映系统内部状态变量和输入之间的因果关系；输出方程用以表征状态变量及输入、输出之间的转换关系。因此，系统的状态空间描述不仅描述了系统输入—输出之间的外部关系，还揭示了系统内部的结构特征，是一种完全的描述。第1章

控制系统的状态空间描述教学内容：状态空间的基本概念控制系统状态空间表达式的一般形式、系统结构图、矢量结构图、模拟结构图控制系统空间表达式的建立系统数学模型的线性变换从状态空间表达式求传递函数阵离散时间系统的状态空间表达式非线性系统局部线性化后的状态空间表达式第1章

控制系统的状态空间描述重点内容：状态变量、状态矢量、状态空间、状态空间表达式和系统框图的基本概念状态空间表达式的建立，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义要求熟练掌握通过传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及对角和约当标准型第1章

控制系统的状态空间描述1.1状态空间的基本概念状态空间描述是60年代初，将力学中的相空间法引入到控制系统的研究中而形成的描述系统的方法，它是时域中最详细的描述方法。状态空间模型建立在状态、状态空间等概念的基础上，本小节首先给出系统、状态变量、状态向量、状态空间和状态空间表达式等的基本概念。第1章

控制系统的状态空间描述1.1.1系统的基本概念系统：系统是由相互制约的各个部分的有机结合、且具有一定功能的整体。从输入输出关系看，自然界存在两类系统：静态系统和动态系统。静态系统：对于任意时刻t，系统的输出唯一的取决于系统的输入。即任意时刻系统的输出仅与同一时刻的输入保持确定的关系，而与以前时刻的输入无关，故静态系统一般也称为无记忆系统。静态系统的输入—输出关系为代数方程。动态系统：对于任意时刻t，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，且与时刻以前的累积有关(这种累积在t0,t<t0时刻以初值体现出来)，故动态系统一般也称为有记忆系统。动态系统的输入—输出关系为微分方程。第1章

控制系统的状态空间描述1.1.2

系统数学描述的基本概念系统的数学描述通常有两种基本类型。一种是系统的外部描述，即输入—输出描述；一种为系统的内部描述，即状态空间描述。图1-1

系统的方框图表示输入变量：输出变量：

1 2T1 2 rTmT1 2 n状态变量：x

u

u,u,

,

uy

y,y,

,

y

x,x,

,

x第1章

控制系统的状态空间描述外部描述：即输入—输出描述，这种描述把系统当成一个“黑匣子”，其系统的输出取为外部输入的直接响应，回避了表征系统内部的动态过程，不考虑系统的内部结构和内部信息。外部描述直接反映了输出变量和输入变量之间的动态因果关系。内部描述：这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。一是反映系统内部变量x和输入变量u间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。另一个是表征系统内部变量x与输入变量u和输出变量y间转换关系的数学式，具有代数方程的形式，称为输出方程。第1章

控制系统的状态空间描述1.1.3系统状态描述的基本概念状态变量：能够完全描述系统运动状态的最小个数的一组变量称为状态变量，一般用x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t)

表示，且它们之间相互独立(即变量的数目最小)。所谓完全描述，是指当给定这个最小变量组在初始时刻t0的值和在t>t0

时刻系统的输入函数，那么系统在t>t0任何时刻的运行状态都可以完全确定。所谓变量数目最小，从数学角度看，是指这组状态变量是系统所有内部变量中线性无关的一个极大变量组；从物理角度看，是指减少其中任意一个变量就会减少确定系统运动行为的信息量从而不能完全表征系统的运动状态，而增加一个变量对完全表征系统的运动状态又是多余的。第1章

控制系统的状态空间描述第1章

控制系统的状态空间描述状态向量：设系统的状态变量为x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t)

，那么把它们作为分量所构成的向量，就称为状态向量，记作：

x1

(t)

2

x

(t)

x

(t)

n

状态空间：以状态变量x(t)

为坐标轴构成的一个n维欧氏空间，称为状态空间。在状态空间中，维数也就系统状态变量的个数。状态轨迹：状态空间中的每一个点，对应于系统的某一种特定状态。反过来，系统在任何时刻的状态，都可以用状态空间的一个点来表示。如果给定了初始时刻t0的状态x(t0)和t>t0时刻的输入函数，随着时间的推移，x(t)将在空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。

x(t)

【例1-1】

R-L-C电路网络如图1-2所示，试确定系统的状态变量。cdtdu

(t)

c dt

u(t)

Ri(t)

Ldi(t)

u(t)

i(t)

C

图1-2R-L-C电路解：图1-2电路中，电源电压u(t)为输入，电容两端电压uc(t)为输出，根据基尔霍夫电路定律可建立如下的微分方程：第1章

控制系统的状态空间描述根据状态变量的定义，要唯一的确定t时刻电路的运动状态，除了输入电压u(t)之外，还需知道电流i(t)和电容两端的电压uc(t)，电流i(t)和电压uc(t)是系统的一个完全描述。若仅选择电流i(t)描述系统，则不能得知uc(t)的运动状态；反之仅选择uc(t)

，则不能得知i(t)的运作状态。两者缺一不可。电流i(t)和电压

uc(t)是系统的一个最小描述。即可选择i(t)

、

uc(t)为状态变量，系统的状态空间是2维的。第1章

控制系统的状态空间描述讨论：可否选择i(t)

、

uc(t)、

q(t)作为状态变量？可否选择i(t)

、

q(t)作为状态变量？注：系统状态变量的选取是不唯一的，对同一个系统可选取不同组的状态变量，但无论状态变量如何选取，系统状态变量的个数是唯一的，即系统状态空间的维数是唯一的，即系统中独立储能元件的个数。第1章

控制系统的状态空间描述1.2

控制系统的状态空间表达式1.2.1

状态空间表达式设系统的r个输入为

：系统的m个输出为

：系统的n个状态变量为：第1章

控制系统的状态空间描述

T1 2 nx

x,x,

,

x

1 2Tmy

y,y,

,

y

1 2 ru

u,u,

,

uT第1章

控制系统的状态空间描述状态方程：描述系统的状态变量与输入变量之间的关系的一组一阶微分方程称为状态方程，即：

11 1212222 1 2 n 1 2 rdx

(t)dtdx

(t)

f x(t),x(t),

,x(t);u(t),u(t),

,u(t);

tdtnr

f x(t),x(t),

,x(t);u(t),u(t),

,u(t);

tnnn 1 2 n 1 2 rdx

(t)dt

x

1

x

x

f x(t),x(t),

,x(t);u(t),u(t),

,u(t);

t用向量矩阵表示：x

(t)

f

x(t),

u(t),

t

用向量矩阵表示：y(t)

g

x(t),

u(t),

t

状态空间表达式：状态方程和输出方程合起来构成一个动态系统的完全描述，称为系统的状态空间表达式。

m n 1 2 n 1 2 ry (t)

g x(t),x(t),

,x(t);u(t),u(t),

,u(t);

t

输出方程：在指定系统输出的情况下，该输出与状态变量及输入变量之间的数学表达式称为系统的输出方程，即：

y1

(t)

g1

x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t);

u1

(t),

u2

(t),

,

ur

(t);

t

y2

(t)

g2

x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t);

u1

(t),

u2

(t),

,

ur

(t);

t

第1章

控制系统的状态空间描述【例1-2】试求【例1-1】所示RLC电路的状态空间表达式。cdtdu

(t)

c dt

u(t)

Ri(t)

Ldi(t)

u(t)

i(t)

C

图1-2R-L-C电路解：取电流i(t)

和电容两端的电压uc(t)作为系统的状态变量，电容两端的电压uc(t)作为系统的输出变量。根据电路原理，得：第1章

控制系统的状态空间描述整理得：

duc(t)

1

i(t)代入状态变量x1

uc

(t),

x2

i(t)

：dt C1Lu(t)

c L L

di(t) u

(t) R

i(t)

dt第1章

控制系统的状态空间描述1 22 1211CLRLL

x

u

x

1

x

x

x

则系统的状态空间表达式为：课后练习：取电流i(t)

和电容两端的电荷量q(t)作为系统的状态变量，电容两端的电压uc(t)作为系统的输出变量。求系统的状态空间表达式第1章

控制系统的状态空间描述1

0

1

0

L

R

x

1

u

2

2

1L L

0

x1

y(t)

x

1

x

2

x

1

C

x1

x

第1章

控制系统的状态空间描述

y(t)

g

x(t),

u(t),

t

1.2.2

状态空间表达式的一般形式对于具有r个输入、

m个输出、

n个状态变量的系统，不管系统是线性、非线性、时变、还是定常的，其状态空间表达式的一般形式为：

x

(t)

f

x(t),

u(t),

t

其中，f

x(t),

u(t),

t

为

n

维向量函数；g

x(t),

u(t),

t

为

m

维向量函数。第2章

线性系统状态方程的解

对于非线性时变系统，向量函数f和g的各元素状态变量和输入变量的非线性时变函数，表示系统参数随时间变化，状态方程和输出方程是非线性时变函数。

y(t)

g

x(t),

u(t),

t

1. 非线性时变系统

x

(t)

f

x(t),

u(t),

t

fi

x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t);

u1

(t),

u2

(t),

,

ur

(t);

t

,gi

x1

(t),

x2

(t),

,

xn

(t);

u1

(t),

u2

(t),

,

ur

(t);

t

,i

1,

2,

,

ni

1,

2,

,

m第2章

线性系统状态方程的解

y(t)

g

x(t),

u(t)

2. 非线性定常系统非线性定常系统中，向量函数f和g不再依赖于时间变量

，因此，状态空间表达式可写为：

x

(t)

f

x(t),

u(t)

第2章

线性系统状态方程的解3. 线性时变系统线性时变系统中，向量函数f和g中的各元素是

x1

,

x2

,

,

xn

;u1

,u2

,

,ur

;t

的线性函数。根据线性叠加原理，并考虑到系统的时变性，状态方程和输出方程可写为：

x

1

(t)

a11(t)x1

a12(t)x2

a1n(t)xn

b11(t)u1

b12(t)u2

b1r(t)ur2 21

1

22

2

2n

n

21

1

22

2

2r r

x

(t)

a (t)x

a (t)x

a (t)x

b(t)u

b (t)u

b (t)u2 21

1

22

2

2n

n

21

1

22

2

2r r

x

n

(t)

an1

(t)x1

an

2

(t)x2

ann

(t)xn

bn1

(t)u1

bn

2

(t)u2

bnr

(t)ur

y1

(t)

c11

(t)x1

c12

(t)x2

c1n

(t)xn

d11

(t)u1

d12

(t)u2

d1r

(t)ur

y(t)

c (t)x

c (t)x

c (t)x

d (t)u

d (t)u

d (t)u

ym

(t)

cm1

(t)x1

cm

2

(t)x2

cmn

(t)xn

dm1

(t)u1

dm

2

(t)u2

dmr

(t)ur第2章

线性系统状态方程的解用矩阵形式表示：2121212n2r2nm

2(t)(t)

a

(t)b (t)(t)

aa (t)

b (t)

aa (t)

b

(t)b

(t)

n1A(t)

;

B(t)

21(t)

c

(t)2rm

2(t)(t)

d

(t)nn

c1n(t)

nr

d1r(t)

cc (t)

dd (t)

C

(t)

cc (t)

dd (t)

m1mn

m1mr

;

D(t)

n1 n

2

d11

(t) d12

(t)

a11

(t) a12

(t)

a1n(t)

n

2

c11

(t)

c12

(t)

b11

(t) b12

(t)

b1r(t)

b

(t)

x(t)

A(t)

x(t)

B(t)u(t)

y(t)

C(t)

x(t)

D(t)u(t)

A(t)

R

n

n

：系统（状态）矩阵B(t)

Rn

r：控制输入矩阵C

(t)

Rm

n：系统输出矩阵D(t)

Rm

r：输入输出关联矩阵第2章

线性系统状态方程的解4. 线性定常系统对于线性定常系统，状态空间表达式中的各元素均是常数，与时间无关。此时状态空间表达式可写为：

x

(t)

Ax(t)

Bu(t)

y(t)

Cx(t)

Du(t)A

R

n

n

：系统（状态）矩阵B

Rn

r：控制输入矩阵C

Rm

n：系统输出矩阵D

Rm

r：输入输出关联矩阵第2章

线性系统状态方程的解21212121m

2 m

2bbbcda1n

a11

a

b

nn

c1n

c

d

2r

m1 mn

m1 mr

A

C

a12

a

a a

a

n1 n

2

c11 c12

c c

c d

b11 b12

b1r

2r

bn1 n

2

nr

d11 d12

d1r

d

d2n

；B

2n

；D

y(t)

Cx(t)

du(t)对于单输入单输出线性定常系统，输入变量u(t)和输出变量y(t)均是一维的，其状态空间表达式可简化为：

x

(t)

Ax(t)

bu(t)1.2.3

状态空间表达式的矢量结构图类似于经典控制理论，对于线性系统的状态空间表达式(状态方程和输出方程)可以用方框图1-3来表示，它形象的表明了系统输入和输出的因果关系，状态与输入、输出的组合关系。第1章

控制系统的状态空间描述图1-3

线性定常系统方框图1.2.4

状态空间表达式的模拟结构图模拟结构类似于一个代表系统的模拟计算的图，使用的基本元件为积分器，比例器，加法器，以及在非线性系统中使用的辅助元件，例如乘法器和除法器。绘制模拟图的详细步骤如下：画出积分器，积分器的数目等于状态变量数；积分器的输出对应某个状态变量；根据状态方程和输出方程，画出相应的加法器和比例器；用信号线将这些元件链接起来。第1章

控制系统的状态空间描述第2章

线性系统状态方程的解【例1-3】

根据一阶微分方程画出系统模拟结构图。x

ax

bu解：模拟结构图如下图所示：第2章

线性系统状态方程的解【例1-4】

根据三阶微分方程画出系统模拟结构图。

x

a2

x

a1

x

a0

x

bu解：模拟结构图如下图所示：第2章

线性系统状态方程的解【例1-5】已知如下状态空间表达式，作出模拟结构图。1 1221L L L1Cx

x

Rx

1

x

1

u

y(t)

x2

x

第2章

线性系统状态方程的解解：模拟结构图如下图所示：第2章

线性系统状态方程的解【例1-6】已知如下状态空间表达式，作出模拟结构图。

x

1

a11

x1

a12

x2

b11u1

b12u21 11

1

12

22 21

1 22x2

b21u1

b22u2

y2

c21x1

c22x2

y

c x

c x

x

a x

a第2章

线性系统状态方程的解解：模拟结构图如下图所示：1.3控制系统状态空间表达式的建立用状态空间法分析系统首当其冲要解决的问题就是建立关于给定系统的状态空间表达式，一般有如下三个途径可以获得其表达式：由系统框图建立状态空间表达式；由系统的物理或化学机理出发建立状态空间表达式；由系统运动过程的高阶微分方程或者传递函数获取状态空间表达式。第1章

控制系统的状态空间描述1.3.1

由系统框图建立状态空间表达式该方法首先将系统框图的各个环节变换为相应的模拟结构图，然后将每一个积分器的输出选做一个状态变量，最后由模拟结构图直接写出系统的状态方程和输出方程。典型环节的模拟结构图如下所示：（1）积分环节K（2）惯性环节第1章

控制系统的状态空间描述s

KKTs

1（3）含有极点的形式（4）含有零点的形式

s

z第1章

控制系统的状态空间描述Ks

as

p第2章

线性系统状态方程的解【例1-7】已知系统结构图如图1-8所示，试作出模拟结构图，并写出状态空间表达式。图1-8系统结构图第2章

线性系统状态方程的解解：系统模拟结构图如图1-9所示：图1-9系统结构图第2章

线性系统状态方程的解状态方程：输出方程：y

x131232 232 2KxTT TK

K K1T1T1T1

x3

1 4

x1

1

ux

1 Kx

x

2

x

x

3

第2章

线性系统状态方程的解则其向量—矩阵方程形式的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bu

y(t)

Cx

0 0

20T31 KT2 T2K

KT1K3 0

0

K

1

0

1 4

1

T1

T1

A

0

；B0 ；C

11.3.2

由机理法建立状态空间表达式一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动液压、热力等系统。根据其物理或化学规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能力守恒定律等，建立系统的状态方程和输出方程。其一般步骤为：确定系统的输入变量、输出变量和状态变量；根据变量遵循的物理、化学定律，列出描述系统动态特性或运动规律的微分方程；消去中间变量，得出状态变量的一阶导数与各状态变量、输入变量的关系式及输出变量与各状态变量、输入变量的关系式；将方程整理成状态方程、输出方程的标准形式。第1章

控制系统的状态空间描述第2章

线性系统状态方程的解【例1-8】质量-弹簧-阻尼系统如图1-10所示，质量块M受外力u(t)的作用，质量块的位移为y，k为弹性系数，b为阻尼器。试建立系统的状态方程。。图1-10

质量-弹簧-阻尼系统第2章

线性系统状态方程的解解：根据牛顿运动学定律，该系统的行为可以用微分方程来描述：其矩阵形式为：d2

y(t) dydt

2b

ky(t

)

u(t

)dtM1 2dt令x(t)

y(t)，x(t)

dy(t) ：2

dx1

x211M

dt

dx

b kM

2

x

x

u

dt M

0

0

1

x

k

b

1

1

u1

x2

M M

M

x

x

2

1.3.3

由传递函数或微分方程建立状态空间表达式经典控制理论中，对线性定常系统常采用常微分方程和传递函数来描述系统输入和输出之间的关系。而如何从系统的输入输出关系建立起系统状态空间表达式，是现代控制理论研究的一个基本问题，又称为实现问题。它要求将高阶微分方程或传递函数转换为状态空间表达式时，既要保持原系统的输入输出关系不变，又能揭示系统的内部关系。实现问题的复杂性在于，根据输入输出关系求得的状态空间表达式并不唯一，因为会有无数个不同的内部结构均能得到相同的输入、输出关系。第1章

控制系统的状态空间描述第2章

线性系统状态方程的解1. 传递函数中不含零点当输入函数中不含导数项时，系统微分方程形式为：对应的传递函数为：可选取作为状态变量，系统对应的模拟结构图如图1-13所示：y(n) y(n

1)n

1

1

0

0a

ay

ay

b

ub0W(s)

sna sn

1

a

s

an

1 1 00(

n

1)x1

yb0,x2

y

b0,

,xn

y b(1.7)第2章

线性系统状态方程的解图1-13

系统模拟结构图即可写出系统的状态空间表达式：

x

1

x22 3n

1

n

an

2

xn

1

an

1xnu

x

y

b0x1

x

x

x

x

n

a0x1

a1x2第1章

控制系统的状态空间描述则其向量—矩阵方程形式的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bu

y(t)

Cx第1章

控制系统的状态空间描述0 0

0

0

0

0

0

0

1

an

1

0 1 0

0

0 1

0A

0 0

1

a0

a1

a2

；B

；C

b0(1.8)第2章

线性系统状态方程的解【例1-11】已知系统微分方程

y

2

y

4

y

6

y

2u试写出系统的状态空间表达式。解：输入量不含导数项，选取状态变量为：x1

y 2

,

x2

y

2

,

x3

y

2故有：x

1

x2x

2

x3x

3

6x1

4x2

2x3

uy

2x1第2章

线性系统状态方程的解则其向量—矩阵方程形式的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bu

y(t)

Cx

0

A

0

0 1 0

0 1

;B

0

;C

2 0 0

6

4

2

1

第2章

线性系统状态方程的解2. 传递函数中包含零点当输入函数中不含导数项时，系统微分方程形式为：这种情况下，方程中包含有输入信号u的导数项，它可能导致系统在状态空间中的运动出现无穷大的跳变，不能选用 作为状态向量；通常选用输出y和输入u以及它们的各阶导数组成状态变量，以保证状态方程中不含u的导数项；一般常用以下两种方法：y(n) y(n

1)u(n

1)n

1

1

0

n

n

1a

ay

ay

bu(n)

b

b1u

b0u0 0 0b(

n

1)yb,y

b,

,

y(1.9)第2章

线性系统状态方程的解1)方法1系统微分方程对应的传递函数为：将上式写成严格有理真分式的形式：10snn

1W(s)

n n

1 1 0bsn

b sn

1

b

s

ba sn

1

a

s

a100

nU

(s)snn

1

n

1

n

1

1

n

0n

1ab

)W

(s)

bn

Y

(s) (b

a b)sn

1

(b

ab)s

(ba sn

1

a

s

a第2章

线性系统状态方程的解令：则：由此可得系统模拟结构图，如图1-14所示：11Y(s)

U

(s)snn

1a sn

1

as

a1 00

nY

(s)

bnU

(s)

Y1

(s)

(bn

1求拉氏反变换，有：

ab

)

a b)sn

1

(b

ab)s

(bn

1

n 1 1

n 0b)y

(n

1)n n

1

n

1

n

1y

bu

(b

a

(b1

a1bn

)

y

1

(b0

a0bn

)

y1第2章

线性系统状态方程的解图1-14

系统模拟结构图第2章

线性系统状态方程的解每个积分器的输出为一状态变量，可得系统的状态空间表达式：

x

1

x22 3n

1

n

x

x

x

x

x

n

u

an

1xn

a1x2

a0

x1

y

bnu

(bn

1

an

1bn

)xn

(b1

a1bn

)x2

(b0

a0bn

)x1第2章

线性系统状态方程的解写出系统的矩阵—向量形式的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bu

y(t)

Cx

Du

0

0

0

0

1

a0

an

1

bn

2

an

2bn bn

1

an

1bn

;

;B

;

0

0 1 0

0

0 1

0A

0 0

1

a1

a2

C

b0

a0bn b1

a1bn

D

bn(1.12)第2章

线性系统状态方程的解若输入量导数的阶数小于系统的阶数n，描述系统的微分方程为：n

1y(n)

ay(n

1)

ay

ay

b u(n

1)

b

u

b

u1 0 n

1 1 0即bn=0，此时系统对于的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bubn

1

0

0

0

0

1

an

1

a0C

b0 b1

;B

;

0

0 1 0

0

0 1

0A

0 0

1

a1

a2

bn

2

y(t)

Cx第2章

线性系统状态方程的解【例1-12】已知系统微分方程

y

6

y

11y

6

y

u

8u

17u

8u试写出系统的状态空间表达式。解：已知微分方程中各项系数分别为：a0

6,

a1

11,

a2

6b0

8,

b1

17,

b2

8,

b3

1则：b0

a0bn

2b1

a1bn

6b2

a2bn

2第2章

线性系统状态方程的解得到状态空间表达式为：

0

x1

0

21

x

0

u2

2

x

6

x3

1

1

y

26 2 x

u

x

3

x

1

0

1

0

6

11

x

0

x

3

第2章

线性系统状态方程的解2)方法2系统微分方程(1.10)对应的模拟结构图也可以表示为图1-15所示，与图1-14相比，从输入、输出关系看，二者是等效的。图1-15

系统模拟结构图第2章

线性系统状态方程的解图1-15可以看出，输入函数的各阶导数u,

u

,

,

u(n)

作适当的等效移动，可以用图1-16表示，只要

0

,

1,

,

n

的系数选择合适，从系统的输入输出看，二者是完全等效的。图1-16

系统模拟结构图第2章

线性系统状态方程的解将图1-16的每个积分器的输出选做状态变量，可得：

x

1

x2

n

1un

1

n 0n2 3 n

2x

u

a0x1

a1x2

a

x

x

u

x

y

x1

nu式中，

0

,

,1

,

n

为n+1个待定系数。第2章

线性系统状态方程的解写出系统的矩阵—向量形式的状态空间表达式为：

x

(t)

Ax

Bu

y(t)

Cx

Du1

n

1

n

2

1

0

;

B

010

0001

0

0 0 0

1a0

a1

a2

an

A

C

1 0 0

0

;D

n第2章

线性系统状态方程的解式中：或记为：n

1 n

1 n

1 n

n

bn

b

a

n

2

bn

2

an

2

n

an

1

n

1

a0

n

a1

n

1

an

1

1n

1

bn

0

b0

1

n

b

a

n

1

n

1

n

2

bn

2

a01

0

an

1

b01

an

2 an

1 1

a1

第2章

线性系统状态方程的解【例1-13】已知系统微分方程

y

6

y

11y

6

y

u

8u

17u

8u试写出系统的状态空间表达式。解：已知微分方程中各项系数分别为：a0

6,

a1

11,

a2

6b0

8,

b1

17,

b2

8,

b3

1可得系数：3322 2 31 1 1 3 2 2

b

1

b

a

2

b

a

a

6

0

b0

a0

3

a1

2

a2

1

16第2章

线性系统状态方程的解得到状态空间表达式为：

0

x1

2

21

x

6

u2

\u

2

x

6

x3

16

1

y

1 0 0 x

x

3

x

1

0

1

0

6

11

x

0

x

3

1.4线性系统的传递函数阵上一节介绍了如何由传递函数求状态空间表达式的问题，即系统的实现问题；这一节，我们主要介绍如何根据线性系统的状态空间表达式来确定系统传递函数的问题，即实现的逆问题。第1章

控制系统的状态空间描述第1章

控制系统的状态空间描述1.4.1

由状态空间表达式求传递函数已知线性定常系统的状态空间表达式为：

x

Ax

Bu

y

Cx

Du(1.16)

对式(1.16)取拉氏变换：

sX

(s)

sX

(0)

AX

(s)

BU

(s)

Y

(s)

CX

(s)

DU

(s)设初始条件

X

(0)

0

，则有：X

(s)

(sI

A)

1

BU

(s)式中，

W(s)称为系统的传递函数阵，它反映了输入向量U(s)和输出向量Y(s)之间的传递关系，即第1章

控制系统的状态空间描述故：Y

(s)

CX

(s)

DU

(s)

C

(sI

A)

1

B

D

U

(s)

W

(s)U

(s)即：(1.17)W

(s)

Y

(s)

C

(sI

A)

1

B

DU

(s)2rm

2(s)

w

(s)

w (s) w (s)w (s)

ww (s)

m1mr

W(s)

21 22

w11

(s) w12

(s)

w1r(s)

式（1.17）还可以表示为：可以看出，W(s)的分母是系统矩阵A的特征多项式，W(s)的分子是一个多项式矩阵。特别的，对于单输入单输出系统，

W(s)为一标量，它就是系统的传递函数，可表示为：第1章

控制系统的状态空间描述1W(s)

[C adj(sI

A)B

D

|

sI

A

|]|sI

A

|W

(s)

C

(sI

A)

1

b

d

C

adj(sI

A)

b

dsI

A

1

Cadj(sI

A)b

dsI

A

sI

A(1.18)与经典控制理论中的传递函数相比较，可以看出：系统矩阵A的特征多项式等于传递函数的分母多项式；传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值。注意：由于系统状态变量的选择不唯一，故建立的系统状态空间表达式不唯一，但同一系统的传递函数阵是唯一的，即传递函数阵的不变性。我们将在之后学习线性变换后给出证明。第1章

控制系统的状态空间描述snn

1

1

0W(s)

m m

1 1 0bsm

b sm

1

b

s

ba sn

1

as

a第2章

线性系统状态方程的解【例1-14】已知系统的状态空间表达式如下：求系统的传递函数阵。

0

y

1

2 0

1

0

x

0 1 0

x

0 0 1

x

0

u30第2章

线性系统状态方程的解解：由题意得故系统传递函数阵为：：1

s

(s

1)2

(s

2)

s2

3 s 1

2 s22s 3s

2

s2

sI

A

0

s

1 0

s

1

,(sI

A)

1

adj(sI

A)

2

3 s

sI

A1

1

01

s2

30

s

0

(s

1)2

(s

2)s 1

0

2 s22s 3s

2

s2

1

s3

3s

2W

(s)

C

(sI

A)

1

B

第2章

线性系统状态方程的解【例1-15】已知系统的状态空间表达式如下：

1

0

0

0

0 2

0 1

求系统的传递函数阵。

y

11

x

1 0

u

1 1

2

3

0 1

1 0

x

x

u

第2章

线性系统状态方程的解解：由题意得故系统传递函数阵为：1

s

1

1

2 s

3

(sI

A)

1

s

3

1

(s

1)(s

2)

2 s

1s2

1 1

0

0

0

s

3 1

1 0

0

1 1

1(s

1)(s

2)

2s

1 1

0 2

0 1

s2

1s

1

(s

1)(s

2)

s

4

5s

42s

4

5s

2

W

(s)

C

(sI

A)

1

B

D

1.4.2

组合系统的传递函数阵实际的控制系统，一般是由多个子系统以串联、并联或反馈的方式组合而成的组合系统；本节主要讨论在已知各子系统的传递函数阵或者状态空间表达式时，如何求解整合组合系统的传递函数阵或者状态空间表达式问题。第1章

控制系统的状态空间描述第1章

控制系统的状态空间描述设子系统

1

(

A1

,

B1

,

C1

,

D1

)

：

x

1

A1x1

B1u11 1 1

1

1

y

Cx

D

u传递函数为：W(s)

C(sI

A)

1B

D1 1 1 1 1设子系统

2

(

A2

,

B2

,

C2

,

D2

)：2 2 2 2

2

y

C

x

D

u

x

2

A2x2

B2

u2传递函数为：W(s)

C(sI

A

)

1

B

D2 2 2 2 2第2章

线性系统状态方程的解1. 并联连接设子系统Ʃ1和Ʃ2输入和输出维数相同，子系统并联后的结构如图1-17所示。图1-17

子系统并联由图1-17可知：则并联后系统的状态空间表达式为：：第1章

控制系统的状态空间描述u

u1

u2y

y1

y22

2

2

0

x1

B1

u112

2

A

x

B

x

x

2

y

C C

(D1

D2

)u

x

1

A1

x

0第1章

控制系统的状态空间描述并联后系统的传递函数阵为：W

(s)

C

(sI

A)

1

B

D1

11

C(sI

A)

1B

D

C(sI

A

)

1

B

D1 1 1 1 2 2 2 2

W1

(s)

W2

(s)0

2

2

sI

A

C1

C2

B

(D1

D2

)0 sI

A

B

第2章

线性系统状态方程的解2. 串联连接设子系统Ʃ1和Ʃ2串连，此时子系统Ʃ1的输出为子系统Ʃ2的输入，而Ʃ2的输出为串联后系统的输出，即：

u

u1图1-17

子系统并联1 22

y

u

y

y第1章

控制系统的状态空间描述2

A2x2

B2(C1x1

D1u1)2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

1 2 1 1 2 2 2 1

1

则串联后系统的状态空间表达式为：

x

1

A1x1

B1u1

x

y

C

x

D

u

C

x

D(Cx

Du)

DCx

C

x

DD

u11 2

2

2 1 2

2

2 1

2

B

C

x

y

D

C C

DD

u2 1 2

x

则串联后系统的状态空间表达式为：

x

1

A1 0

x1

B1

u

x

A

x

BD

第1章

控制系统的状态空间描述又有：Y

(s)

Y2

(s)

W2

(s)U2

(s)

W2

(s)Y1

(s)

W2

(s)W1

(s)U1

(s)

W

(s)U

(s)则串联后的传递函数阵为：W

(s)

W2

(s)W1

(s)注意：两个子系统串联系统的传递函数阵为子系统传递函数阵的乘积，但相乘顺序不能颠倒。第2章

线性系统状态方程的解3. 反馈连接具有输出反馈的系统如图1-19所示：u1

u

y2

y

u2

y1图1-19子系统并联则反馈连接后系统的状态空间表达式为：第1章

控制系统的状态空间描述2

A2x2

B2u2

A2x2

B2C1

x11 1

若令D1

=D2

=0

，则反馈连接闭环系统的状态空间表达式为：

x

1

A1x1

B1u1

A1x1

B1u

B1C2x2

x

y

C

x11

2

2

12

2

2

B1C2

x1

B1

u

B

C A

x

0

x

y

C 0

x

x

1

A1

x

又有：则反馈连接后的闭环系统传递函数阵为：同理可以得到：第1章

控制系统的状态空间描述Y

(s)

W1

(s)U1

(s)U1

(s)

U

(s)

W2

(s)Y

(s)则：Y

(s)

W1

(s)U1

(s)

W1

(s)W2

(s)Y

(s)

I

W1

(s)W2

(s)

Y

(s)

W1

(s)U1

(s)

12 1 1

1

Y

(s)

I

W

(s)W

(s) W(s)U

(s)

1 2 1

1W

(s)

I

W

(s)W

(s) W

(s)

12 1

1W(s)

W(s)I

W(s)W

(s)1.5线性系统的数学模型变换状态变量选取的非唯一性，决定了状态空间表达式的非唯一；那么，这些描述同一系统的不同的状态空间表达式之间有什么关系呢，它们之间是否可以相互转换呢？本节将主要讨论这些问题。第1章

控制系统的状态空间描述第1章

控制系统的状态空间描述x

Px 或 x

P

1x式中：P为nxn维线性非奇异变换矩阵，

P

-1为

P

的逆矩阵。记：(1.32)21 22p1n

p11 p12

p

2n

n1 n

2nn

P

p

p

p p

p1.5.1

状态向量的线性变换对于给定的线性定常系统，选取不同的状态变量，便会有不同的状态空间表达式。所任意选取的两个状态向量x和

x

之间实际上存在线性非奇异变换(又称坐标变换)关系，即：，并且这种组合具有唯一的对应坐标为，而在另一组基底下的坐标为。第1章

控制系统的状态空间描述于是有以下线性方程：

x1

p11x1

p12x2

p1

nxn2 21

1 22

2 2n

n

x

p x

p x

p x

xn

pn1x1

pn2x2

pnn

xnx1

,

x2

,

,

xn

的线性组合就是

x1

,

x2

,

,

xn关系。由此可见，尽管状态变量的选择不同，但状态变量

x

和

x

均能完全描述同一系统的行为。状态变量x和x

的变换，称为状态的线性变换或者等价变换，其实质是状态空间的基底变换，也是一种坐标变换，即状态变量在x的标准基下的

T1 2 nx,x,

,

x

1 2TnP

p,p,

,

p

1 2Tnx,x,

,

x状态向量线性变换后，其状态空间表达式也发生变换。设线性定常系统的状态空间表达式为：第1章

控制系统的状态空间描述

x

Ax

Bu

y

Cx

Du状态向量的线性变换为：x

Px 或 x

P

1x则线性变换后系统的状态空间表达式为：

y

CPx

Du

Cx

Du

x

P

1

APx

P

1Bu

Ax

Bu其中：A

P

1

AP

,

B

P

1B,C

CP

,

D

D(1.33)(1.35)第1章

控制系统的状态空间描述【结论】：状态空间表达式的线性变换并不改变系统的传递函数阵，即传递函数阵的不变性证明：对式(1.35)所示的系统，传递函数阵为：G(s)

C

(sI

A)

1

B

D

CP(sI

P

1AP)P

1B

D

CP(P

1sP

P

1

AP)P

1B

D

CPP

1

(sI

A)

1

PP

1B

D

C

(sI

A)

1

B

D

G(s)可见，对于同一系统，虽然状态空间表达式的形式不唯一，但传递函数阵唯一。则：第1章

控制系统的状态空间描述1.5.2

系统特征值与特征向量1. 系统特征值与特征向量对于线性定常系统：

x

Ax

Bu

y

Cx

Du

I

A

det(

I

A)

n

a

n

1

a

n

an

1 1 0称为系统的特征多项式，令其等于零，即得到系统的特征方程：f(