《四边形及多边形》课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

四边形及多边形1、四边形及其内角和你能仿照三角形的定义给出四边形的定义吗？在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．如图记作“四边形ABCD”1．四边形的基本概念要点：①在同一个平面内；②4条线段；

③首尾顺次相接；④封闭图形．四边形的基本元素是：顶点，边，对角线，内角和外角．ADBCABCD如图，这两个多边形有什么不同？ABDC凸多边形与凹多边形ABCD画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形．ABDC

画CD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形．初中阶段我们讨论的多边形指的都是凸多边形．

1．大家知道三角形的内角和是多少度吗？三角形的内角和是180°

2．大家想知道任意一个四边形的内角和吗？今天就让我们来进一步探讨四边形的内角和与外角和．1．四边形内角和（1）长方形、正方形的内角和等于多少度？猜想一下任意一个四边形的内角和又是多少呢？360°360°3（2）你能利用三角形内角和定理证明你的猜想吗？证明：连接AC，∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝（∠1＋∠B＋∠3）＋（∠2

＋∠4＋∠D），＝180°＋180°＝360°．ABCD421（3）你还能想到其他方法证明吗？方法二：在四边形内任找一点，作该点与四个顶点的连线，可将四边形分为4个三角形．由图知，四边形的内角和为：

180°×4－360°＝360°．ABCDO方法三：在四边形一边上找一点，作该点与另两个顶点的连线，可将四边形分为3个三角形．由图知，四边形的内角和为：

180°×3－180°＝360°．ABCDO方法四：在四边形外部找一点，作该点与另四个顶点的连线．由图知，四边形的内角和为：

180°×3－180°＝360°．ABCDO2、多边形及其内角和观察图片，你能从中抽象出由一些线段围成的图形吗？

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。记住“五边形ABCDE”1．多边形的基本概念要点：①在同一个平面内；②若干条线段；

③首尾顺次相接；④封闭图形．ADCBE

等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等、各条边都相等的多边形叫做正多边形．等边三角形正方形正五边形正六边形正多边形正多边形必须具备两个条件：①各个角都相等；②各条边都相等．例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形．再如：菱形各条边都相等，它却不是正四边形．例1同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，你知道吗？DCAB按图（1）所示方式去截，不经过线段AB和AD，还剩5个角，即得到一个五边形．DCAB（1）按图（2）所示方式去截，经过点D（或点B），不经过线段AB（或线段AD），还剩4个角，即得到一个四边形．DCAB（2）例2（1）四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？（2）从五边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？（3）从n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？解析：此题可应用不完全归纳法，从特例引入进行归纳和小结．如图所示．多边形的边数四边形五边形六边形…N边形从一个顶点作对角线的条数…从一个顶点作对角线所得三角形的个数…232341n－2n－3

1．若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是（）

A．十三边形B．十二边形

C．十一边形D．十边形

2．一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数是（）

A．5B．6C．7D．8AC

4．过十边形的一个顶点可作出

条对角线；所以，十边形共有

条对角线．

3．下图中是凸多边形的有（）

A．①③⑤

B．①③C．②④⑤D．②④B735

1．多边形及有关概念．

2．区别凸多边形和凹多边形．

3．正多边形的概念．

4．从n边形的一个顶点出发引

条对角线；n边形的对角线有条．与三角形类似，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形ABCDE的5个内角．多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1，∠2，∠3，∠4，∠5都是这个五边形ABCDE的外角．EDCBA54321EDCBA（3）多边形相邻的内角和外角之间有什么关系？图中，∠1，∠2，∠3是这个五边形的外角，因为∠1＋∠BAE＝∠2＋∠AED＝∠3＋∠ABC＝180°，所以可知：相邻的内角与外角之间的关系是互补并且相邻，所以是邻补角．54321EDCBA多边形内角：多边形相邻两边组成的角EDCBA边顶点外角内角54321ABCDE类比上面的过程，你能推导出五边形和六边形以及n边形的内角和各是多少吗？如图，从五边形的一个顶点出发，可以作

条对角线，它们将五边形分为____个三角形，五边形的内角和等于180°×

＝

°．233540ABDEF如图，从六边形的一个顶点出发，可以作_____条对角线，它们将六边形分为_____个三角形，六边形的内角和等于180°×____＝______°．344720C如图，从n边形的一个顶点出发，可以作

条对角线，它们将n边形分为

个三角形，这

个三角形的内角和就是n边形的内角和，所以，n边形的内角和等于__________________．（n-3）（n-2）180°×（n-2）

（n-2）解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°．∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°，∴∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C）＝180°．

【例1】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补．DCBA练一练：已知两个多边形的内角和为1800°，且两个多边形的边数比为2∶5，求这两个多边形的边数．解：设这两个多边形的边数分别为2x，5x，根据多边形的内角和公式和题意，得（2x－2）×180°＋（5x－2）×180°＝1800°，解得x＝2．∴2x＝4，5x＝10．∴这两个多边形的边数分别为4和10．

【例2】在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少呢？如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6的值．解：∵

∠1＋∠BAF＝180°，∠2＋∠ABC＝180°，∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°，∠5＋∠DEF＝180°，∠6＋∠EFA＝180°，654321FEDCBA∴∠1＋∠BAF＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEF＋∠6＋∠EFA＝6×180°．又∠BAF＋∠ABC＋∠BCD

＋∠CDE＋∠DEF＋∠EFA

＝4×180°，

∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6=6×180°－（6

－2）×180°＝360°这就是说，六边形的外角和为360°．如果把六边形换成n边形可以得到同样的结论：因为n边形的每个内角与它相邻的外角是邻补角，它们的和是180°，所以n边形内角和加外角和等于180°·n，

所以n边形的外角和等180°·n-（n-2）·180°=360°．多边形的外角和等于360°．如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向．A我们也可以这样理解多边形外角和等于360°．在行程中转过的各个角的和，就是多边形的外角和．由于走了一周，所转过的各个角的和等于一个周角，所以多边形外角和等于360°．练一练：如图，五边形公园中，∠1＝90°，张老师沿公园边由A点经B→C→D→E→F散步，则张老师共转了（

）．A．440°B．360°C．260°D．270°解析：该问题中张老师没转过与∠1相邻的这个外角，所以用五边形的外角和减去它，即360°－（180°－90°）＝270°，所以张老师共转了270°，故应选D．D

1．已知一个多边形各个内角都是150°，求这个多边形的边数．【解法二】设此多边形的边数为n，则：（180°－150°）·n＝360°，解得：n＝12．【解法一】设此多边形的边数为n，则：（n－2）×180°＝150°n，解得：n＝12．所以这个多边形的边数为12．解：设边数为n，这个内角为x，则0°＜x＜180°．根据题意，得（n－2）·180°＝x＋2030°，∵（n－2）·180°是180°的倍数，∴x＋2030°必是180°的倍数．

2．小佳在计算某个多边形的内角和时，由于粗心她漏掉一个内角，求得的内角和为2030°，你能否求得这个多边