河北省部分高中2023-2024学年高三上学期12月期末数学试题

数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.共4页，总分150分，考试时间120分钟.第I卷（选择题共60分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知直线和直线垂直，则（）A.B.C.D.3.已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.4.已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（）A.-1B.-2C.2D.05.已知是第一象限角，，则（）A.B.C.D.6.记为等比数列的前项和，且成等差数列，则（）A.126B.128C.254D.2567.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A.B.C.D.8.设，则（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（）A.是递增数列B.C.当时，D.当或4时，取得最大值10.已知函数，则下列说法错误的是（）A.的图象在处的切线斜率大于0B.的最大值为C.在上单调递增D.若有两个零点，则11.已知为偶函数，，则下列结论正确的是（）A.B.若的最小正周期为，则C.若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为D.若，则的最小值为212.如图，在中，，过中点的直线与线段交于点.将沿直线翻折至，且点在平面内的射影在线段上，连接交于点是直线上异于的任意一点，则（）A.B.C.点的轨迹的长度为D.直线与平面所成角的余弦值的最小值为第II卷（非选择题共90分）三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，，若，则__________.14.写出一个圆心在上，且与直线和圆都相切的圆的方程__________.15.表面积为的球面上有，是等边三角形，球心到平面的距离为3，若平面平面，则三棱锥体积的最大值为__________.16.已知数列满足，则的整数部分是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）在中，内角的对边分别是，且.（1）求；（2）若是边上的高，且，求的周长.18.（12分）如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，底面为的中点，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.19.（12分）已知数列是各项都为正整数的等比数列，，且是与的等差中项，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.20.（12分）已知点到的距离是点到的距离的2倍.（1）求点的轨迹方程；（2）若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于两点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21.（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；（2）当时，证明：对，.22.（12分）如图①，在中，分别为的中点，以为折痕，将折起，使点到达点的位置，且，如图②.（1）设平面平面，证明：平面；（2）是棱的中点，过三点作该四棱锥的截面，与交于点，求；（3）是棱上一点（不含端点），过三点作该四棱锥的截面与平面所成的锐二面角的正切值为，求该截面将四棱锥分成上､下两部分的体积之比.参考答案及解析一､选择题1.A2.D3.B4.B5.B6.A7.A8.D二､多选题9.CD10.ACD11.ABC12.BCD三､填空题13.-514.或（写出符合要求的一个答案即可）15.16.2四､解答题17.解：（1）因为，所以，因为，所以，所以，即.因为，所以，所以，解得.（2）因为，所以.又由，可得，所以.由余弦定理得，即，即，即，所以，所以的周长为.18.（1）证明：连接，因为底面是菱形，与交于点，所以为的中点.又为的中点，所以为的中位线，所以，又平面平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为，轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为底面是菱形，，所以为等边三角形.不妨设，则，，可得.设平面的法向量为，可得不妨取，则，可得.又，可得与平面所成角的正弦值为19.解：（1）设数列的公比为，则，因为是与的等差中项，所以，所以，解得或（舍去），所以.因为，所以，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（2）由，整理可得，即，所以对任意恒成立.令，则，所以当时，，当时，，当或时，取得最大值，所以，所以，解得，故的取值范围是.20.解：（1）设点，由题意可得，即，化简可得.（2）设点，由（1）知点满足方程代入上式消去可得，即的轨迹方程为.当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，联立消去得，显然，设，则.又，则.当直线的斜率不存在时，，.故是定值，即.21.（1）解：当时，，则，当时，，所以，即，所以单调递减；当时，，所以，即，所以单调递增.所以在内单调递减，在内单调递增.（2）证明：要证，只需证，即证.令，则.当时，令，所以在内单调递增，所以，即，从而（9分）所以，其中，所以在内单调递减，即.故成立.22.（1）证明：在图（2）中延长交于点，连接，因为分别为的中点，所以，所以分别是以为斜边的直角三角形，即，又平面平面，所以平面，又平面平面，所以平面.（2）解：在图（2）中延长交于点，连接并延长交于点，连接，所以平面即为所求截面，故.（3）解：过作，因为，所以为