数学 利用平方差公式因式分解课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解4.3.1公式法一学习目标1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．温故知新填空：（1）(x+5)(x-5)=

；（2）(3x+y)(3x-y)=

；（3）(3m+2n)(3m–2n)=

．x2–259x2–y29m2–4n2它们的结果有什么共同特征？(a+b)(a-b)=a2-b2尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：x2-25=___________;9x2-y2=___________;9m2-4n2=_____________(x+5)(x-5)(3x+y)(3x-y)(3m+2n)(3m–2n)新知探究想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式))((baba-+=22ba-事实上,把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来,就得到:因式分解中的平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)

平方差公式的特点:(1)左边只有两项,都是平方且异号(2)右边是左边这两项的和与差的积你能用文字表达出因式分解中的平方差公式吗?两个数(式)的平方差，等于这两个数(式)的和与这两个数(式)的差的乘积.典例精析

解：(1)25－16x2＝52－(4x)2

＝(5＋4x)(5－4x)；

小试一下

解:(1)x2-16=x2-42

=(x+4)(x-4).

典例精析例2把下列各式因式分解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2；(2)

2x3－8x;(3)a4－1.

解：(1)9(m＋n)2－(m－n)2

＝[3(m＋n)]2－(m－n)2＝[3(m＋n)＋(m－n)][3(m＋n)－(m－n)]＝(3m＋3n＋m－n)(3m＋3n－m＋n)＝(4m＋2n)(2m＋4n)＝4(2m＋n)(m＋2n);注意:分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(2)2x3－8x＝2x(x2－4)(2)

2x3－8x.＝2x(x2－22)＝2x(x＋2)(x－2)注意:分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.(3)a4－1;

(3)a4－1＝(a2＋1)(a2－1)

＝(a2＋1)(a＋1)(a－1)．小结·内化利用平方差公式进行因式分解时你有什么经验与大家分享?(1)熟练公式的特征:左边两项平方的差,右边是这两项的和与差的积(2)多项式中若有公因式应先提公因式,再用公式.(3)要分解彻底.(4)注意用整体思想套用公式小试一下

(1)a2b2－16(2)x2(a－2)+(2－a);(3)49x2－(5x－2)2.因式分解:解:(1)原式＝(ab＋4)(ab－4)．(2)原式＝x2(a－2)-(a－2)=(a－2)(x2－1)＝(a－2)(x＋1)(x－1)．(3)原式＝(7x＋5x－2)(7x－5x＋2)

＝(12x－2)(2x＋2)

＝4(6x－1)(x＋1)．尝试·思考1.如图,在一张边长为acm的正方形纸片的四角,各剪去一个边长为bcm的正方形,求剩余部分的面积。当a=3.6,b=0.8时,剩余部分的面积是多少?

=(a+2b)(a-2b)

2.简便计算：6212－1482－769×373；解:原式＝(621＋148)×(621－148)－769×373

＝769×473－769×373

＝769×(473－373)

＝769×100

＝76900.当堂测评1．下列多项式中，可以使用平方差公式进行因式分解的是(

)A．－x2－1 B．－x2＋1C．x2＋x D．x2＋1B2.某学校在校园开辟了劳动教育基地，如图，这是从实践基地抽象出

来的几何模型：两块边长分别为m，n的正方形，其中重叠部分B为

池塘，阴影部分S1，S2分别表示七年级和八年级的实践活动基地积。

若m＋n＝8，m－n＝2，则S1－S2＝(

)A．12 B．14C．16 D．22C3.若k为任意整数，则(k＋2)2－(k－1)2的值总能(

)A．被2整除 B．被3整除C．被5整除 D．被7整除B4.已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝________。45.因式分解：(1)a5－81a；

(2)2a2(n－m)＋8(m－n)。解：(1)原式＝a(a4－81)＝a(a2＋9)(a2－9)

＝a(a2＋9)(a＋3)(a－3)。(2)原式＝2(n－m)(a2－4)＝2(n－m)(a＋2)(a－2)。6.简便计算：25×1012－992×25。解：原式＝25×(1012－992)

＝25×(101＋99)×(1