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第五章

三角函数5.7三角函数的应用现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述.本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用.问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y（单位：mm)之间的对应数据如表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.t0.000.050.100.150.200.250.30y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.0t0.350.400.450.500.550.60y17.710.30.1-10.1-17.8-20.0

振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y=Asin(ωx+φ)来刻画.根据已知数据作出散点图.由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm，因此A=20；振子振动的周期为0.6s，即，解得；再由初始状态(t=0)振子的位移为-20，可得sin

φ=-1，因此.所以振子位移关于时间的函数解析式为在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)表示，其中A>0，ω>0.描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A>0就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率是由公式，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.问题2.图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间t(单位：s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2).(1)是某求电流i随时间t变化的函数解析式；(2)当时，求电流i.(1)(2)解：由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可用i=Asin(ωt+φ)来刻画，其中表示频率，A表示振幅，φ表示初相.由图(2)可知，电流最大值为5A，因此A=5；(2)电流变化的周期为s，频率为50Hz，即，解得ω=100π；再由初始状态(t=0)的电流为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为.所以电流随时间变化的函数解析式是[变式探究1]若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？练习1.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离s（cm）随时间t（s）的变化曲线是一个三角函数的图象，如图.（1）求这条曲线对应的函数解析式；（2）小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？1.根据三角函数图象建立函数解析式，就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域.2.对于现实世界中具有周期现象的

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