2026年广东中考数学二轮复习讲练测专题01 数与式综合运算（题型专练）（解析版）

专题01数与式综合运算

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第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

题型01实数的分类

题型02相反数、绝对值、倒数的相关概念和计算

题型03实数的混合运算

题型04比较大小问题

题型05科学记数法

题型06整式的混合运算与化简求值问题

题型07整式与几何面积的综合运算

题型08规律探究问题

题型09因式分解

题型10分式有/无意义，值为0的条件

题型11分式的混合运算与化简求值

题型12二次根式的混合运算

题型13非负性的应用

第二部分题型训练整合应用，模拟实战

题型破译

典例引领

【典例01】（2025·广东广州·中考真题）下列四个选项中，负无理数的是（）

A．2B．1C．0D．3

【答案】A

【分析】本题考查的是负无理数的含义，根据负无理数的定义，需同时满足负数和无理数两个条件．对各

选项逐一分析即可．

【详解】解：选项A：2

2是无理数（无法表示为分数且是无限不循环小数），因此2也是无理数．负号表明其为负数，故2

是负无理数．

选项B：1

1是整数，属于有理数，不符合无理数的条件．

选项C：0

0是整数，属于有理数，且非负数．

选项D：3

3是正整数，属于有理数，且非负数．

综上，只有选项A同时满足负数和无理数的条件，

故选A．

【典例02】（2025·广东广州·二模）下列四个实数中，是无理数的为（）

1

A．B．C．D．5

223

【答案】C

【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方

才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，6，0.8080080008(每两个8之间依次多1个0)等形式．

【详解】解：A、2是有理数，故此选项不符合题意；

1

B、是有理数，故此选项不符合题意；

2

C、3是无理数，故此选项符合题意；

D、5是有理数，故此选项不符合题意；

故选：C．

方法透视

判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。

考向1.

2.辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。

解读

3.区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。

4.理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含0和正数，非正数含0和负数；0是整

数、自然数，不是正数也不是负数。

5.易错点判断，π是无理数；3.14是有理数，不等于π。

有理有限和循环，无理无限不循环；

方法

根号先算再判断，带π一律是无理；

技能

非负非正包含0，分类看清不丢分。

变式演练

【变式01】（2025·山东淄博·中考真题）下列四个实数中，比2大的无理数是（）

A．0B．1C．2D．5

【答案】C

【分析】本题考查了无理数和实数的比较大小，先比较大小，然后找出比2大的无理数解答即可．

【详解】解：52210，

2是无理数，

∵故答案为：C．

【变式02】（2025·山东德州·中考真题）下列实数为无理数的是（）

1

A．3B．C．D．

520.3

【答案】B

【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是关键．

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的

统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】解：A、3是整数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；

B、5是无理数，故此选项符合题意；

1

C、是分数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；

2

D、0.3是无限循环小数，是有理数不是无理数，故此选项不符合题意；

故选：B．

【变式03】（2025·山东济南·中考真题）下列各数中为负数的是（）

A．3B．0C．2D．1

【答案】D

【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案．

【详解】解：3和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，10，是负数，

故选：D．

典例引领

【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）2025的相反数是（）

11

A．2025B．C．2025D．

20252025

【答案】A

【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义即可解答．

【详解】解：2025的相反数是2025，

故选：A．

【典例02】（2025·江苏南京·中考真题）2的绝对值是（）

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】D

【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可．

【详解】解：2的绝对值是2，

故选：D

方法透视

直接求一个数的相反数绝对值倒数，已知具体实数（有理数无理数），求其相反数、绝对值或

考向1.///

倒数。

解读

2.利用“互为相反数/倒数的性质”求值，知、互为相反数/倒数，求含、的代数式的值。

3.绝对值的化简，绝对值内是含无理数的式�子（�如）或字母代数�式（�如，已知），

需先判断正负再去绝对值。|1−2||�−2|�<2

4.结合“非负性”求值，几个非负数的和为0，求字母的值，常结合：（绝对值、二

2

次根式、平方均为非负数）。|a|+b+c=0

相反数：变号就完事，0仍为0，多重负号数个数，偶正奇负记清楚；

方法

绝对值：先判正负，再去符号，结果必非负，无理数比大小靠近似；

技能

倒数：0无倒数，同号不变，小数带分先化整，无理数倒数要有理化；

性质应用：相反数和为0，倒数积为1，非负和0各为0，整体代入省时间。

变式演练

【变式01】（2025·青海西宁·中考真题）相反数等于它本身的数是___________．

【答案】0

【分析】本题考查了相反数，根据0的相反数是0，即可求解．

【详解】解：相反数等于它本身的数是0，

故答案为：0．

【变式02】（2025·江苏无锡·中考真题）3___________．

【答案】3

【分析】本题考查的是求解一个数的绝对值，根据绝对值的含义可得答案．

【详解】解：33，

故答案为：3

1

【变式03】（2025·山东东营·中考真题）的倒数是（）

2

11

A．2B．C．D．2

22

【答案】A

【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数．

根据倒数的定义计算即可．

1

【详解】解：21，

2

1∵

的倒数是2．

2

故∴选：A．

典例引领

【典例01】（2025·西藏·中考真题）计算：224sin30(1)04．

【答案】1

【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握

各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可．

【详解】解：224sin30(1)04

1

4412

2

4212

1．

1

01

【典例02】（2025·江苏镇江·中考真题）计算：2cos6015．

4

【答案】4

【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角

的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可．

1

01

【详解】解：2cos6015，

4

1

214，

2

114，

4．

方法透视

基础型混合运算：融合绝对值开方零指数幂负整数指数幂四大基础模块，无三角函数，数字

考向1.+++

以整数、简单无理数（√4、√9、√16等能开得尽方的数）为主，计算量小，侧重运算顺序和公式

解读

记忆。

2.三角函数融合型运算，在考向1的基础上，加入30°、45°、60°特殊角的三角函数值，是中考

最主流的命题形式，数字会结合简单的无理数（如、），需注意三角函数值与无理数的乘法计

算。32

3.立方根融合型运算，在考向1或考向2的基础上，加入立方根的计算，立方根以能开得尽方的数

为主（如、、），偶尔出现、，核心考查立方根与算术平方根的区别。

33333

4.乘方拓展8型运−算2，7在基0础融合模块中，1加入−有1理数的乘方运算（如、、），

202522

侧重考查乘方的符号规律，是易错题的主要来源，计算量略有增加。(−1)(−2)−2

熟记“常考数值”，直接口答；

方法

“先化简，再计算”，减少步骤；

技能

同级运算“凑整计算”，简化加减。

变式演练

1

01

【变式01】（2025·四川广元·中考真题）计算：122cos45π．

3

【答案】3

【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊

角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可．

1

01

【详解】解：122cos45π

3

2

21213

2

21213

3．

1

21

【变式02】（2025·陕西·中考真题）计算：435．

2

【答案】5

【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，

即可作答．

1

21

【详解】解：435

2

1252

=5．

02025

【变式03】（2025·广东深圳·中考真题）计算：1633.141．

【答案】7

【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零

指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.

【详解】原式4311

7.

典例引领

【典例01】（2025·广东惠州·模拟预测）下列实数最大的是（）

1

A．2025B．2025C．2025D．

2025

【答案】C

【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则比较即可，掌握相关知识是解题的关键．

1

【详解】解：202520252025，

2025

故选：C．∵

【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）下列各数中，绝对值最大的是（）

A．2B．3C．3D．

【答案】D

【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值表示数到原点的距离，非负．是解题的关键

计算各选项的绝对值并比较大小．

【详解】A：22，

B：33，

C：331.732，

D：3.1416，

比较得：3.1416321.732．

故选：D．

方法透视

考向1.纯有理数比较：考正负、倒数、乘方的大小判断，直接用“正数＞0＞负数，绝对值大的负数更小”；

解读2.有理数与无理数比较：高频考整数和//的比较，用“平方法”或熟记近似值（、

、）快速判断；2352≈1.414

3.3两≈个1.7无3理2数比5较≈：2.2多36为含根号的简单数，用“平方法”（被开方数大的根式值大），少数结合绝对

值/相反数比较。

纯有理数：正数＞＞负数，负数比绝对值（绝对值大的更小）；

方法1.0

2.有理vs无理/两无理数：高频用平方法（被开方数大则根式大），或熟记//近似值快速判；

技能

3.含符号/特殊运算：先化简（如去绝对值、算相反数），再归为上述类型比2较。35

核心原则：统一形式，化繁为简，优先用平方法/近似值，简单直接。

变式演练

【变式01】（2025·广东韶关·三模）小于2的无理数是（）

3

A．3B．C．7D．

2

【答案】A

3

【分析】本题考查了实数大小比较，根据327π，即可求解．

2

2

322

【详解】解：327，

2

∵

3

327π，

2

∴3

是有理数，

2

∵

小于2的无理数是3

∴故选：A．

【变式02】（2025·广东广州·二模）下面各数中最小的是（）

1

A．7B．0C．5D．

2

【答案】A

【分析】本题考查了实数的大小比较，根据正实数大于零，负实数小于零，两个负实数进行比较绝对值大

的反而小即可得解，熟练掌握实数的大小比较方法是解此题的关键．

111

【详解】解：77，，且7，

222

1∵

705，

2

故∴最小的数为7，

故选：A．

【变式03】（2025·广东江门·模拟预测）下列实数中，绝对值最大的是（）

A．2B．1C．0D．2

【答案】A

【分析】本题考查了实数的大小比较；计算各选项的绝对值，比较后找出最大值，即可求解．

【详解】解：22，11，00，22，

∵

0122，

∵绝对值最大的是2．

∴故选：A．

典例引领

【典例01】（2025·广东深圳·二模）中国的太空空间站离地球大约400000米，则近似数400000用科学记数

法表示，正确的是（）

A．40104B．40105C．4105D．0.4106

【答案】C

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1a10，

n为整数即可求解，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动

的位数相同，当原数绝对值10时，n是正整数；当原数的绝对值1时，n是负整数，解题的关键要正确

确定a的值以及n的值．

【详解】解：4000004105，

故选：C．

【典例02】（2025·广东揭阳·三模）华为某型号手机的芯片采用的是5nm水平，5nm0.000000005m，数据

0.000000005用科学记数法表示为（）

A．5109B．501010C．0.5108D．5108

【答案】A

【分析】本题考查了科学记数法．原数0.000000005的小数点需向右移动9位才能得到5，因此表示为5109．

【详解】0.0000000055109．

故选：A．

方法透视

考向1.正整数的科学记数法：考大于10的数表示（，，为整数位数减1），是高频

�

解读考向；�×101≤�<10�

2.小数的科学记数法：考小于1的正数表示（，，为第一个非0数字前0的个

−�

数），为次高频考向。�×101≤�<10�

偶尔结合近似数、有效数字考简单综合，核心仍是正确确定和的取值。

��

方法1.大于10的数：取原数首位非0数开头的一位小数，整数位数；

技能2.小于1的正数：�同上，负的（第一个非0数字前�0=的总个数）−。1

关键：先定保范围�，再数位�数=定，注意含单位/近似数的先化简原数再转化。

变式演练��

【变式01】（2025·广东·二模）小DNA病毒是一类已知最小的动物DNA病毒，已知某种小DNA病毒的直径

约为23nm，即0.000000023

m．数据“0.000000023”用科学记数法可表示为（）

A．2.3108B．2.3109C．0.23107D．23109

【答案】A

【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整

数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当

原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：0.0000000232.3108,

故选A．

【变式02】（2025·广东韶关·二模）韶州体育馆是广东省第十三届中学生运动会主场馆，该体育馆建筑面积

约为27360平方米，数据27360用科学记数法表示为（）

A．27.36104B．27.36103C．2.736104D．2.736105

【答案】C

【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成a10n的形式即可．本

题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减

去1确定n值是解题的关键．

【详解】解：273602.736104，

故选：C．∵

【变式03】（2025·广东东莞·模拟预测）2025年1月25日，广东省统计局发布2024年广东经济运行简况．2024

年，广东全省地区生产总值迈上14万亿元新台阶，达14.16万亿元，总量连续36年居全国首位．数据14.16万

用科学记数法表示为（）

A．14.16104B．1.416104C．14.16105D．1.416105

【答案】D

【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值较大数，解题关键是掌握用科学记数法表示绝对值较大数．

根据用科学记数法表示绝对值较大数方法求解．

【详解】解：14.16万=1.41610100001.416105，

故选：D．

典例引领

【典例01】（2025·广东深圳·中考真题）下列计算正确的是（）

32

A．a2a4a6B．a3a3a6C．a2a5D．aba2b2

【答案】B

【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘法、幂的乘方、合并同类项及完全平方公式，运用相关

运算法则计算出各选项的结果再进行判断即可．

【详解】解：A．a2与a4的指数不同，无法直接相加，故A计算错误；

B．a3a3a33a6，原计算正确，符合题意；

3

C．a2a23a6，原选项计算错误，故不符合题意；

2

D．aba22abb2，原选项缺少2ab项，故D错误．

故选：B．

（广东佛山模拟预测）先化简，再求值：2，其中，．

【典例02】2025··xyxyxy2yx2y1

【答案】xy，3

【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练的进行计算是解题

的关键．先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子

进行计算，即可解答．

【详解】解：2

xyxyxy2y

x22xyy2x2y22y

2xy2y22y

xy，

当x2，y1时，原式21213．

方法透视

纯整式混合运算：融合幂的运算、整式加减乘除，必考平方差、完全平方公式，考查运算法则和

考向1.

符号把控；

解读

2.整式化简求值：先通过因式分解、公式化简整式，再代入数值计算，偶尔结合整体代入法，考查

化简步骤和代入前的条件验证。

常结合同类项、去括号等基础知识点，核心是公式准确应用和运算顺序遵循。

先遵运算顺序（乘方→乘除→加减，括号优先），活用幂的运算法则和平方差、完全平方公式，去

方法

括号变号、合并同类项；化简求值需先通过因式分解、公式法化到最简，再代入计算，遇整体代换

技能

条件直接套，代入前检验取值合理性，全程严控符号错误。

变式演练

【变式01】（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（）

A．a2a3a15B．(2ab)38a3b3

C．abab(ab0)D．2a5a7a(a0)

【答案】D

【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性．

【详解】解：A．同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故a2a3a23a5，但选项结果为a15，错误．

33

B．积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故2ab2a3b38a3b3，但选

项结果为8a3b3，错误．

C．二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如a9，b4时，94321，而9451，

错误．

D．同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故2a5a25a7a，正确．

综上，正确答案为D．

故选：D．

（广东汕头模拟预测）先化简再求值：22，其中，

【变式02】2025··3xy2xyx3y10yxx1

y2．

【答案】5x7y，9

【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算法则、整式的化简求值，解题关键是熟练掌握整式的相关运

算．

先根据整式的运算法则进行化简，再将x1，y2代入即可得解．

【详解】解：22，

3xy2xyx3y10yx

22222

6xxyyx6xy9y10yx，

5x27xyx，

5x7y，

当x1，y2时，

原式5x7y5(1)729．

2

【变式03】（2025·广东广州·二模）已知2x22x1x，求代数式3x23x2x2的值．

【答案】4

【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先由乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后利用整体代

入法求解即可．

2

【详解】解：3x23x2x2

9x24x24x4

9x24x24x4

8x24x8，

2x22x1x，

∵2x2x1，

∴原式42x2x84184．

∴

典例引领

【典例01】（2025·宁夏银川·一模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），

后人称其为“赵爽弦图”，由弦图变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，

正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1S2S324，则S2的值为（）

A．7B．8C．9D．6

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．

根据正方形的面积和勾股定理即可求解．

【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且ab，

由题意可知：

2222

S1(ab)，S2ab，S3(ab)，

因为S1S2S324，即

(ab)2a2b2(ab)224，

3(a2b2)24，

所以3S224，

S2的值是8，

故选：B．

【典例02】（2025·甘肃白银·一模）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古

人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图1中大

正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为（）

A．44B．40C．36D．24

【答案】A

【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，

图1中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为24，

∵a2b2c224，

∴小正方形的面积为4，

2

∵4aba2b22ab，

∴ab10，

∴将这四个直角三角形拼成图2，

1

∵图2中最大的正方形的面积为：c24ab2421044．

2

故∴选：A．

方法透视

中考整式与几何面积综合运算为基础融合考点，多以选择、填空或解答基础题呈现，核心考向为用

考向

整式表示几何图形的周长、面积，结合整式运算、乘法公式化简求值，常考矩形、正方形、拼接/分

解读

割图形，通过图形边长的整式表达，考查整式乘除、公式活用及几何与代数的转化，侧重用代数方

法解决几何量计算问题。

整式与几何面积综合运算核心技能：先根据几何图形（矩形、正方形、拼接/分割图形）的周长/

方法

面积公式，用整式表示边长并列出代数式；再活用整式乘除、平方差/完全平方公式化简式子；最

技能

后结合题意代入数值求值，关键是找准图形边长的整式关系，实现几何量到代数量的转化，化简时

严控符号和公式应用。

变式演练

【变式01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，这个图形被称为赵爽

弦图，赵爽弦图是我国古代数学的骄傲．借助赵爽弦图可以证明的结论是（）

2

A．b2a2c2B．bab2a22ab

2

C．babab2a2D．bab2a22ab

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据中间边长为ba的正方形面积等于边长为c的正方形面积

减去4个直角边为a和b的直角三角形的面积列式求解即可．

【详解】解：由题意得，中间小正方形的边长为ba，大正方形的边长为c，

21

则abc24ab，

2

a22abb2c22ab，

∴b2a2c2，

∴故选：A．

【变式02】（2025·四川宜宾·模拟预测）第14届数学教育大会ICME14会标如图1，会标中心图案来源

于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大

正方形．若AEBE7,AB5，则直角三角形ABE的面积为（）

A．2B．4C．5D．6

【答案】D

【分析】该题主要考查了勾股定理和完全平方公式，解题的关键是掌握勾股定理的应用．

根据勾股定理得出AE2BE225，结合完全平方公式求出AEBE10，即可求解．

【详解】解：ABE是直角三角形，AB5，

AE2BE2∵AB225，

∴AEBE7，

2

∵AEBEAE2BE22AEBE72，

∴AEBE12，

1

∴直角三角形ABE的面积AEBE6，

2

故∴选：D．

典例引领

【典例01】（2025·广东东莞·模拟预测）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，按此规律，第n个图形

中“O”的个数为______．

【答案】3n1

【分析】本题主要考查了图形变化的规律，根据所给图形，依次求出图形中“O”的个数，发现规律即可解决

问题．能根据所给图形发现“O”的个数依次增加3是解题的关键．

【详解】解：由所给图形可知，

第1个图形中“O”的个数为：4131，

第2个图形中“O”的个数为：7231，

第3个图形中“O”的个数为：10331，

第n个图形中“O”的个数为3n1个．

故∴答案为：3n1．

02

【典例02】（2025·广东汕头·一模）如题图，将2，1，0，1，2，3，2，5，6填入九宫格内，

使每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等，则a的值是______．

0

11

a

52

2

【答案】2

【分析】本题考查了乘方，零指数幂绝对值和数字类规律，找到规律是解决问题的关键：

02

先化简1，2，2，得到一组常规有理数，计算这组有理数总和，除以3得出每行、列、对角线三

数之和（幻和），利用幻和，根据第三行已知数求出第三行第三个数，再依据第三列已有的两个数求出a的

值．

2

【详解】因为(1)01，|2|2，24，

所以这组数据为2，1，0，1，2，3，4，5，6．

这9个数总和为2(1)012345618．

九宫格三行（或三列）和等于这9个数总和，且每行、每列、每条对角线三个数和相等，

∵每行、每列、每条对角线三个数和均为1836，

∴第三行的第三个数为6523，

∴

第三列中间数a为6314，

∴2

故答案为：2．

方法透视

中考数与式规律探究是基础拓展考点，多以选择、填空压轴小题呈现，核心考向分两类：一是数字

考向

规律，围绕有理数、正整数列，考查等差、等比或递推型规律推导；二是代数式/等式规律，结合

解读

整式、分式、乘方形式，考查式子结构、系数、指数的变化规律。常结合图形、新定义融合考查，

侧重观察数式特征、归纳递推关系，核心是从特殊到一般的推导能力。

先观察特征（数字/系数/指数/符号的变化、式子结构），标序号找“项数n与对应项”的

方法

关联；再尝试归纳（等差/等比直接套公式，递推/结构型拆分为数字、符号、代数式部分分别

技能

找规律）；最后验证规律（代入前几项检验），结合图形的先转化为数式关系再推导，符号规律优

先看奇偶项判定。

变式演练

【变式01】（2025·广东韶关·一模）观察下列等式：9011，91211，92321，93431，…

根据以上规律得出920242025的结果是（）

A．20241B．20251C．20201D．20261

【答案】A

【分析】本题考查了数字类规律探索，用代数式表示等式的规律是解题的关键．观察前4个等式，并依此

类推，第n个等式为9n1n10n11，再代入n2025即可得出答案．

【详解】解：第1个等式为9011，

第2个等式为91211，

第3个等式为92321，

第4个等式为93431，

……

依此类推，第n个等式为9n1n10n11，

当n2025时，920242025102024120241．

故选：A．

【变式02】（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在

第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（）

第1列第2列第3列第4列…

第1行12910…

第2行43811…

第3行56712…

第4行16151413…

第5行17………

…

A．1，45B．45，1C．44，2D．2，44

【答案】B

【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键．

由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，

第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为4522025，

根据此规律即可得到m45，n1，即可得到答案．

【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一

行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向

右每一列递减1至与行数相同的列止，

4522025，

数字2025出现在第1行第45列的位置，

m45,n1，

故选：B．

【变式03】（2025·广东广州·二模）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方

形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中

正方形的个数为（）

A．19B．17C．15D．13

【答案】C

【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有2n1个正方形是解题的关

键．

根据图形的变化规律得出第n个图形中有2n1个正方形即可．

【详解】解：由题知，第①个图案中有1个正方形，

第②个图案中有3个正方形，

第③个图案中有5个正方形，

第④个图案中有7个正方形，

…，

第n个图案中有2n1个正方形，

第⑧个图案中正方形的个数为28115，

∴故选：C．

典例引领

【典例01】（2025·广东·中考真题）因式分解：a2bab2______．

【答案】abab

【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．

【详解】解：a2b+ab2=abab．

故答案为：abab．

【典例02】（2025·广东汕头·一模）把x34x分解因式，结果正确的是（）

22

A．xx24B．xx2C．xx2D．xx2x2

【答案】A

【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法分解因式即可．

【详解】解：x34xxx24，

故选：A．

方法透视

中考因式分解为基础工具性考点，少单独命题，多融合在分式化简、整式运算、解方程中考查，核

考向

心考向为两类常规分解：一是提公因式法，二是公式法（平方差、完全平方公式），部分考区加考

解读

十字相乘法；侧重“一提二套三查”的步骤应用，要求分解彻底，核心考查公式活用与因式分解

和整式乘法的互逆应用能力。

遵循一提二套三查原则，先提公因式（含符号、系数最大公约数、相同字母最低次幂），再套平方

方法

差/完全平方/十字相乘法，最后检查是否分解彻底；熟记公式特征，找准公式适用条件，注意

技能

因式分解与整式乘法的互逆验证。

变式演练

【变式01】（2025·广东茂名·模拟预测）下列因式分解正确的是（）

22

A．x29x3B．a22a4a2

C．a3a2a2a1D．14x214x1x

【答案】C

【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．

利用提公因式法和公式法分解因式，对选项一一进行分析，即可得出结论．

【详解】解：A、x29不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意；

B、a22a4不能进行因式分解，故原写法错误，不符合题意；

C、a3a2a2a1，因式分解正确，符合题意；

D、14x212x12x，故原写法错误，不符合题意；

故选：C．

【变式02】（2025·山东青岛·中考真题）因式分解3x23y2___________

【答案】3xyxy

【分析】本题主要考查了因式分解的提公因式法与公式法，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解题的关

键．先提取多项式中的公因式，再对剩余部分使用平方差公式进行分解．

【详解】解：3x23y2

3x2y2

3xyxy，

故答案为：3xyxy．

【变式03】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）分解因式：a2xy9yx______．

【答案】xya3a3

【分析】观察到yx与xy互为相反数，将其统一为xy后提取公因式，再应用平方差公式分解．

本题考查了分解因式，熟练掌握分解方法是解题的关键．

【详解】解：a2xy9yx

2

axy9xy

a2xy9xy

xya29

xya3a3．

故答案为：xya3a3．

典例引领

xy

【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母x，y须满足（）

xy

A．xyB．xyC．xyD．xy

【答案】A

【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，

因此只需考虑分母xy0.

xy

【详解】分式有意义需分母xy0，

xy

xy，∵

∴故选：A．

1x3

【典例02】（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则x的取值范围是（）

x1x2

A．x1且x2B．x1且x3

C．x2且x3D．x1且x2且x3

【答案】D

【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可．

1x3

【详解】解：分式有意义，

x1x2

∵

x10

x30，

x20

∴

解得x1且x2且x3，

故选：D．

方法透视

中考分式有无意义、值为的条件是基础考点，多以选择填空小题呈现，极少单独大题考查，常融

考向/0/

合在分式化简求值、解方程前置条件中；核心考向为三类条件判断：分式有意义（分母≠0）、无意

解读

义（分母=0）、值为0（分子=0且分母≠0，二者缺一不可），部分考区结合整式、二次根式综合考

查分母取值范围，侧重概念辨析和细节把控，避免忽略分母不为0的核心前提。

分式条件判断核心技能：紧扣分母核心前提，分三类判定：

方法

1.有意义：直接令分母≠0**求解；

技能

2.无意义：直接令分母=0**求解；

3.值为0：需同时满足**分子=0且分母≠0**，两步验证缺一不可。

遇分母含整式/二次根式，先化简再列式，注意结合不等式求解取值范围，杜绝漏验分母不为0。

变式演练

2

【变式01】（2025·云南·模拟预测）若有意义，则实数x的取值范围是（）

x1

A．x1B．x1C．x1D．x1

【答案】D

2

【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义．根据有意义得分母不为0，且二次根式的被开方

x1

数为非负数，可求得x-1，即可作答．

2

【详解】解：有