2025届高考物理《配速法 配出简单运动》含答案

2．带电粒子在复合场中的复杂运动2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法）4．配速法的本质要点——配速配力配运动5．配速法的操作过程2．最高点与最低点的高度差3．受力与运动特点4．同一高度的速度特点5．交点条件及回归时间6．摆线运动另外两种轨迹【作业】配速法：配出简单运动（一）带电粒子的复杂运动1．从轮摆线（滚轮线）说起c-bOc-bObca考察这些点的运动时，我们可以将各个一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线2．带电粒子在复合场中的复杂运动带电粒子在磁场、电场及重力场等复合场中运动时，由于所受洛伦兹的大小、方向与速度的大小、方向有关，当带电粒子做变速曲线运动时，洛伦兹力发生复杂的变化，粒子也就做复杂的曲线运动。在这种情况下，用常规数学物理方法已经难于分析处理。y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场迹的是()B【例2】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一次下降的最大距离为()B【例3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是()A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v；（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；mgmgq（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞BOxP(x，y)xP(x，y)y1．带电粒子运动，较易定量分析的六种类型（1）没有洛伦兹力，只受电场力、重力等恒力作用下的抛物线轨迹运动（2）只受洛伦兹力，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动垂直于磁场和平行于磁场的两个分量。）力、电场力）而做匀变速直线运动，合起来为不等距螺旋运动（5）所受所有力平衡而做匀速直线运动2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——配速法在很多问题（特别是物理竞赛）中，带电粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。习惯上把这种分析方法称为配速法。3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法）的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做【例5】（本题详细阐述配速法思想与方法）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限大重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是MN:234．配速法的本质要点——配速配力配运动（1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响洛伦兹力大小和方向都时刻改变（说明：以下内容，为了描述方便，我们都以受洛伦兹力和重力为例）①先配运动；②再配力；③最后配速度配速法的目的，就是要将一个复杂的运动变为两个简单的运动。所以，首先应该考虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么运动1：匀速直线运动。速度大小满足qv1B=mg⇒v1=这个速度是为了和重力平衡“配”运动2：匀速圆周运动。速度大小2=0−1，要度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。5．配速法的操作过程下面通过一个实例来看配速法的操作过程【例6】（分解法福建高考题改编）如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度v轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。EByEBx4▲配速法的应用步骤（1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力；（2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大（3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个摆线运动中的一些规律。1．最大速度与最小速度最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平最小速度（最高点）：vmin＝v2-v1，水平，与最低点反向只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所2．最高点与最低点的高度差匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小3．受力与运动特点2B（向心力）FA=qv2B=m⇒rA=处的曲率半2+v1F=qv2B=m⇒rA=处的曲率半①经所有位置的合力大小都是qv2B，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力）②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦4．同一高度的速度特点（2）速度方向与水平方向夹角相等5．交点条件及回归时间周运动）向左运动的弦长：vE则vEsinθ=v2sinαθα所以vEsinθ=v1α=v2sinα（这就是回归交点的角度条件）v16．摆线运动另外两种轨迹v2-vA-v1vB（四）配速法解题示范 vB=2v1=2v2【例7】如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是()C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为−4mvD．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的【例8】（2023年江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。（1）求电场强度的大小E；（2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1；（3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标y2=位置的电子数N占总电子数N0的百分比。7【例9】（2024年山东卷）如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°,挡板上有一小孔K位 于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜L的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。8知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，=求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置标。yBAPxOθxOv0BBE1YBBE2N【作业】班次座次姓名1．在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动2．如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有()A．电子从N到P，电场力做正功B．N点的电势高于P点的电势3．如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧Q点时速度C．小球运动的最大速度为2m/s42024年安徽卷）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则()3gBR4τE3gBR4τEEgB向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为()62013年福建卷）如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小；（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。72024年甘肃卷）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚（1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。（3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器82024年海南卷）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、B/2的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ,并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响）（1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R；（2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t；（3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E＝Bv0，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ,进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当配速法：配出简单运动（一）带电粒子的复杂运动1．从轮摆线（滚轮线）说起c-bOc-bObca考察这些点的运动时，我们可以将各个一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线2．带电粒子在复合场中的复杂运动带电粒子在磁场、电场及重力场等复合场中运动时，由于所受洛伦兹的大小、方向与速度的大小、方向有关，当带电粒子做变速曲线运动时，洛伦兹力发生复杂的变化，粒子也就做复杂的曲线运动。在这种情况下，用常规数学物理方法已经难于分析处理。y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场迹的是()【答案】B【解析】AC：在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误；BD：运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复B【例2】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一次下降的最大距离为()BA．4m2gB．2m2gC．m2gD．m2gq2B2q2B2q2B22q2B2【答案】B1【解析】设在最大距离ym处的速率为vm洛伦兹力不做功，只有重力做功，由动能定理有mgym=mvm2−0根据圆周运动规律有qvmB−mg=m由题目给定条件有R=2ym【例3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是()A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动【答案】D【解析】A：电子受电场力向上，但开始的轨迹向下弯曲，说明洛伦兹力向下，据左手定则得磁感应强度垂直向里，故A错误；C：由O点至P点的运动过程中，电场力做负功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐减小的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求：B（1）小球运动到任意位置P（xB（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；OmgqOmgqx（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞xP(x，y)−mg)【解析】（1）洛仑兹力不做功，由动能定理得mgy=mv2−0⇒v=32（2）设在最大距离ym处的速率为vm，则qvmB−mg=m又由题意知R=2ym（3）小球运动如图所示，由动能定理得(qE−mg).ym=mvm2−02圆周运动向心力qvmB+mg−qE=m由上两式及R=2ym解得vm=1．带电粒子运动，较易定量分析的六种类型（1）没有洛伦兹力，只受电场力、重力等恒力作用下的抛物线轨迹运动（2）只受洛伦兹力，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动垂直于磁场和平行于磁场的两个分量。）力、电场力）而做匀变速直线运动，合起来为不等距螺旋运动（5）所受所有力平衡而做匀速直线运动2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——配速法在很多问题（特别是物理竞赛）中，带电粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。习惯上把这种分析方法称为配速法。3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法）的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做4【例5】（本题详细阐述配速法思想与方法）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限C．小球下降的最大高度为D．小球的加速度大小恒为g【答案】CD【解析】A：给小球初始时刻配上向右、向左的两个水平速度v且让小球因为向右的速度v而受到的竖直向上的洛伦兹力与向下的重力平衡：AqvBMNvvMNvvmg因为向左的速度v而使小球在竖直面内做匀速圆周运动mg则M、N两点间距离s=v0T=，故A错；B：小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，故B错；因向左的分速度做匀速圆周运动，加速度大小恒为a=an===g4．配速法的本质要点——配速配力配运动（1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响洛伦兹力大小和方向都时刻改变（说明：以下内容，为了描述方便，我们都以受洛伦兹力和重力为例）①先配运动；②再配力；③最后配速度配速法的目的，就是要将一个复杂的运动变为两个简单的运动。所以，首先应该考虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么运动1：匀速直线运动。速度大小满足qv1B=mg⇒v1=这个速度是为了和重力平衡“配”运动2：匀速圆周运动。速度大小2=0−1，要度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。5．配速法的操作过程下面通过一个实例来看配速法的操作过程【例6】（分解法福建高考题改编）如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度vEy轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。EyBB【答案】+2v0(B,【答案】+2v0(B,【解析】如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足即v1引起的洛伦兹力与电场力平衡，v1使得粒子x轴正方向匀速运动而v2使得粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，其圆半径R=mv2qB当粒子圆周运动的速度也沿x轴正方向时，粒子的合速度最大，为yxx▲配速法的应用步骤（1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力；（2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大（3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个摆线运动中的一些规律。1．最大速度与最小速度最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平最小速度（最高点）：vmin＝v2-v1，水平，与最低点反向只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值5运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所2．最高点与最低点的高度差匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小3．受力与运动特点2B（向心力）FA=qv2B=m⇒rA=处的曲率半2+v1F=qv2B=m⇒rA=处的曲率半①经所有位置的合力大小都是qv2B，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力）②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦4．同一高度的速度特点（2）速度方向与水平方向夹角相等5．交点条件及回归时间周运动）向左运动的弦长：L=2rsinα=v1t⇒2.sinα=v1.vEθαv1vEθαv1则vEsinθ=v2sinα（竖直分量相等）所以vEsinθ=v1α=v2sinα（这就是回归交点的角度条件）6．摆线运动另外两种轨迹vAv2v1o——v1vBvA=0v2v12 vB=2v1=2v2（四）配速法解题示范【例7】如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是()A．粒子偏离入射方向的最大距离为2mvqBB．粒子在轨迹最低点的曲率半径为9mv2qBC．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为−4mvD．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的【答案】BCD【解析】A：用“配速法”，将粒子的初速度等效为一个水平向左的速度2v和一个水平向右的v向右的速度v会产生一个竖直向上的洛伦兹力F1=qvB=qE与电场力平衡，则可认为粒子水平向右匀速运动则粒子偏离入射方向的最大距离d=2R=，A错误；B：粒子运动到最低点时两个分速度方向均向右，速度大小为3v，设曲率半径设为r，则q.3v.B−qE=m⇒3qvB−qvB=，B正确；C：从抛出到最低点，电场力做正功，电势能减小，变化量ΔEp电=−W电=−qE.2R=−qvB.=−4mv2，C正确；【例8】（2023年江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。（1）求电场强度的大小E；（2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1；（3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的百分比。【答案】（1）v0B23）90%【解析】（1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有eE=ev0B⇒E=v0B（3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点时合力F合=evmB−eE，在最低点v时合力F合=eE−evB联立有−v，y=要让电子达纵坐标位置，即y≥y2则能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的90%。【例9】（2024年山东卷）如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°,挡板上有一小孔K位 于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜L的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。8【解析】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径r=L在△OMN区域由洛伦兹力提供向心力，有qvB=m在匀强加速电场中由动能定理有qU0=mv2−0（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示 vr粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向−0 vr 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示 由几何关系有sinθ==⇒θ=60°由配速法将运动分解为y轴方向的匀速直线运动和沿x方向的匀速圆周运动，其中,匀速圆周运动的半径为故最小距离为知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ=30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，y（3）若B=，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置标。yBAPv0YE1YYYXBXXXXXBXBAPv0YE1YYYXBXXXXXBXX E2【解析】（1）根据动能表达式及勾股定理可知，在y方向上可独立应用动能定理：y方向做匀加速运动，可得从A到O的运动时间则x=（2）粒子经中间的磁场刚能经过P点，分析知粒子在该磁场中做圆弧运动的轨道半径r=LnyBAyBAv2Pv0E1YYBE2N所示，进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向如图所示与x轴正方向的夹角也为θ。将粒子在右边复合场的速度沿x轴方向和垂直于x轴方向正交分解：x轴垂直方向：v2=v0sinθ=v0MθxBθxBMFF洛2与F电平衡，粒子沿v2方向做匀速直线运动v1因v1使粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为r1，则y2r1oooP粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 x=L+r1=L+粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 x=L+r1=L+Lv0BBxE2Ny坐标我们分MN左右两边来分析：xE2N 因存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为r1=L而因存在分速度v2，沿NM方向做匀速运动，每转 因存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为r1=L而因存在分速度v2，沿NM方向做匀速运动，每转1/4圈的时间内y方向位移Δy=v2.=L在MN左边磁场中运动的轨道半径r2==L，r2在MN上的分量Δy=r2cosθ=L=r1则上可得，离y轴最远时y坐标即在MN右侧离y轴最远时坐标为（L，kL+L+πLk＝0、1、【作业】班次座次姓名1．在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动【答案】BC【解析】该带负电的粒子由静止释放后，在洛伦兹力和静电力的共同作用下向右下方运动，由配速法可知，粒子做向右的匀速直线运动和匀速圆周运动，由左手定则可知向右的匀速直线运动对应的洛伦兹力向上，说明静电力向下，因而电场方向竖直向上，选项A错误；在曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧，所以该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上，选项B正确；该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，静电力做正功，所以电势能减小，选项C正确；该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，静电力先做正功后做负功，洛伦兹力不做功，因此粒子的速率先增大后减小，选项D错误。2．如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上，下列说法正确的有()A．电子从N到P，电场力做正功B．N点的电势高于P点的电势C．电子从M到N，洛伦兹力不做功D．电子在M点所受合力大于在P点所受合力【答案】BC【解析】A：由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误；B：根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确；C：由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功；故C正确；D：由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合3．如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧Q点时速度C．小球运动的最大速度为2m/s【答案】C【解析】A：小球经P、Q两点的速度都为0，由动能定理可知小球从P到Q重力做功为0，所以P、Q等高，故A错；B：根据左手定则可知，小球从Q点向下运动，受到向右的洛伦兹力而向右偏转，不可能沿轨迹返回P点，故B错;CD：利用配速法，把由静止释放的小球看成具有一个向左的速度v0和一个向右的速度v0，且让qv0B=mg则小球的两个分运动为向右的匀速直线运动和匀速圆周运动当运动到最低点时，小球的速度最大，最大速度vm=2v0==2m/s242024年安徽卷）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则()3gBR4τE3gBR4τEEgB【答案】ABD【解析】A：油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有qE=mg⇒q=，故A正确；D：带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为()(mg)2(mg)22v0v0mgmg2(mg)2mgmg2(mg)2【答案】B【解析】根据配速法，把初速度v0分解为向右的速度v1和斜向左上方的速度v2，且有62013年福建卷）如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。（1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小；（2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正（3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。两个，sinθ=【解析】（1）当粒子沿y轴正向入射，转过半个