高中数学选修2-1知识点总结11

高二数学选修2-1知识点

11、平面内与两个定点百，/2的距离之和等于常数（大于I片EI）的点的轨迹

称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

12、椭圆的几何性质:

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形

标准方程

范围-a<x<a^.-b<y<b-h<x<b曰.一〃(yKa

A4-〃,0)、A2m0)A[0,-〃)、A2(O,6Z)

顶点

B1(O,询、B2((),/?)BQ,。)、B2(/;,())

轴长短轴的长=2b长轴的长=2〃

隹/、、、占八、、£（一&0）、E（GO）片（0,—。）、g（O,c）

焦距忻玛1=2°卜2=々2一〃2）

对称性关于;I轴、y轴、原点对称

离心率(0<e<l)

准线方程x=±—y=+—

c

13、设M是椭圆上任一点，点M到"对应准线的距离为4,点M到G对应准线

的距离为&，则岫=也园=仁

4d?

14、平面内与两个定点石，尸2的距离之差的绝对值等于常数（小于|百巴|）的

点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线

的焦距.

15、双曲线的几何性质:

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

图形

22

标准方程三一与=1（。>0/>0）5一三=1(4>0/〉0)

a2b2'7

范围

x<-a^x>a,yeRy<-a^y>afxeR

顶点A1(一〃,0)、A2(«,0)Aj(0,-a)>A?(0,a)

轴长虚轴的长=»实轴的长=2a

隹八、、占八耳(-c,0)、玛(c,0)4(o,—c)、鸟(0©

焦距忻闾=2W+〃）

对称性关于/轴、y轴对称，关于原点中心对称

离心率

准线方程x=±-y=±《

cc

渐近线方程y=±-xy=±-x

ab

16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

17、设M是双曲线上任一点，点M到g对应准线的距离为4,点M到6对应准

线的距离为乩，则幽=幽=6.

-44

18、平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定

点户称为抛物线的焦点，定直线/称为抛物线的准线.

19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为

抛物线的“通径”,即|AB|=2〃.

20、焦半径公式：

若点P（/,），o）在抛物线丁=2*（〃>。）上，焦点、为F,则仔用=%+微；

若点P（%,yo）在抛物线丁=-2*（〃>0）上，焦点为尸，则|P目=一七+]

若点P（x。,％）在抛物线寸=2〃），（〃>0）上，焦点为F,则|PF|=%+f;

若点P（x。,%）在抛物线/=-20，（〃>0）上，焦点为八则|PF|=-%+]

21、抛物线的几何性质:

y=y2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

（〃>（））（P>°）（〃>O）（P>O）

图形a

顶点（0,0）

对称轴x轴y釉

产产jo,一K

隹，'、、占八、、

尸声）I2J12J

准线方程-2y=—2y=2

222

离心率e=\

范围x>0x<0y>0y<0

22、空间向量的概念：

⑴在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

（2）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指

的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作|AB.

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.

（5）与向量。长度相等且方向相反的向量称为〃的相反向量，记作-a.

（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

23、空间向量的加法和减法：

（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵

循平行四边形法则.即：在空间以同一点0为

起点的两个已知向量。、人为邻边作平行四边形

OACB,则以O起点的对角线0C就是。与b的

和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行

四边形法则.

（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵

循三角形法则.即：在空间任取一点0,作

0A=a,OB=b,则BA=a-b.

24、实数4与空间向量♦。的乘积而是一个向量，称为向量的数乘运算.当工〉0

时，4a与。方向相同；当4<0时，4a与。方向相反；当4=（）时，九7为零向量,

记为0.而的长度是〃的长度的囚倍.

25、设4,〃为实数，a,b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结

合律.

分配律：%+劝；结合律：=

26、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线

向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.

27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量〃，力仅工0）,。〃力的充要条

件是存在实数2,使。=劝.

28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

29、向量共面定理:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,

y,使AP=xAB+yAC；或对空间任一定点O,有OP=OA+xAB+yAC；或

若四点P,A,B,。共面，则OP=xOA+>ORfzOC（x1），iz=l）.

30、已知两个非零向量a和〃，在空间任取一点O,作OA=d,OB=〃，则NAOB

称为向量4,〃的夹角，记作〈。功〉.两个向量夹角的取值范围是：〈〃,/?〉£[0,句.

31>对于两个非零向量。和,若〈〃/〉=£,则向量。，b互相垂直，记作。1人.

2

32、已知两个非零向量a和，则同网8$〈4,〃〉称为a,h的数量积，记作〃•/?.即

cib=同/'cos〈a』》.零向量与任何向量的数量积为0.

33>ab等于。的长度同与在。的方向上的投影WcosS》〉的乘积.

34、若。，〃为非零向量，e为单位向量，则有（l）g3=Hg=|@cosm4〉；

同网（。与洞向）•.|平/—

（2）a_LZ?oa》=（）；⑶〃•/?=.._、，a-a=\a\,\a\=\la^a；

一同忖心与板向）

（4）cos（6/,Z?）=-^7；|5）\a-b<\a\b.

\a\\b\'

35、向量数乘积的运算律：⑴46=尻4；（2）（闻力=2（々力）=4•（劭；

（3）（a+b^c=a-c+bc.

36、若i,j,k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量〃，存在有序

实数组{x,y,z},使得/>=./+）4+z及，称xi,yj,zk为向量〃在i,j,k上

的分量.

37、空间向量基本定理：若三个向量a,b,c不共面，则对空间任一向量p,

存在实数组{%）"},使得〃=xa+）方+zc.

38、若三个向量〃，b,。不共面，则所有空间向量组成的集合是

p=m+）力+zc,x,7,z£/?}.这个集合可看作是由向量a,h,c生成的，

{a/,c}称为空间的一个基底，a,b,c称为基向量.空间任意三个不共面的向

量都可以构成空间的一个基底.

39、设6，％,%为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位

正交基底），以q,e；,q的公共起点O为原点，分别以G，立，%的方向为“

轴，)，轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系0肛Z.则对于空间任意一个向量p,

一定可以把它平移，使它的起点与原点0重合，得到向量0P二〃.存在有序实

数组{x,y,z},使得〃=xq+)0+ZG.把x，y，z称作向量〃在单位正交基底

e；,电，e；下的坐标，记作〃=(x,)，,z).此时，向量〃的坐标是点P在空间直角

坐标系Oxyz中的坐标(x,y,z).

40、设。=(x，y,zj,b=(x2,y29z2),则(1)。+力=(%+%,y+%，4+z2).

(2)d-b=(xl-x2,yi-y2,zl-z2).

(3)Aa=(2%,Ayt,/lZj).

(4)db=xlx2+yiy2+zlz2.

(5)若〃、〃为非零向量，则a_L〃=0o+X%+ZR2=0.

(6)若〃w0,则a〃/?<=>a=B。X]=之占,y=2v2,zl=2z2.

⑺同=yja-ci=Jx；+y；+z；.

MCC"=土2_菁一+/)，2上2仔2

‘同M=ylx^yf+z；-Jx；+y；+z：'

222

⑼A(x,y,zJ,B=(刍,为，z2)，则<AB=|AB|=y/(x2-x,)+(j2-y,)+(z2-z,).

41、在空间中，取一定点0作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量

OP来表示.向量OP称为点P的位置向量.

42、空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点

A是直线/上一点，向量。表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点P,

有AP-加，这样点A和向量a不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直

线/上的任意一点.

43、空间中平面a的位置可以由a内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线

相交于点0,它们的方向向量分别为a,b.P为平面a上任意一点，存在有序

实数对(x,y)，使得0P=xd+W,这样点O与向量a,b就确定了平面a的位置.

44>直线/垂直a,取直线/的方向向量a,则向量a称为平面a的法向量.

45、若空间不重合两条直线a,〃的方向向量分别为a,b,则a〃b。a〃/f

a=R),aJ-b<^>aA.b<^>ab=O.

46>若直线。的方向向量为。，平面a的法向量为〃，且。<za,则。〃aoa〃a

oaJ_〃<=>〃♦〃=0,a_La<=>aJLa<=>a〃〃<=>a=力7.

47、若空间不重合的两个平面a,4的法向量分别为。，b,则a〃夕oa〃bo

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a二址，aLPaA