高中数学选修2-1知识点

高中数学选修2-1知识点

第一章常用逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.

假命题：判断为假的语句.

2、“若则夕”形式的命题中的〃称为命题的条件，4称为命题的结论.

3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个

命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题.

若原命题为“若〃，则夕”，它的逆命题为“若4,则〃”.

4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否

命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.

若原命题为“若“，则夕”，则它的否命题为“若力，则f”.

5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为

逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题.

若原命题为“若〃，则夕”，则它的否命题为“若F,则一）”.

6、四种命题的真假性:

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真M真

假假假假

四种命题的真假性之间的关系：

0）两个命题互为逆后命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

7、若〃=4,则〃是〃的充分条件，4是〃的必要条件.

若poq,则〃是9的充要条件（充分必要条件）.

8、用联结词“且”把命题〃和命题4联结起来，得到一个新命题，记作〃A4.

当〃、4都是真命题时，〃A夕是真命题；当P、9两个命题中有一个命题是假命题时，〃A夕是假命题.

用联结画“或”把命题〃和命题夕联结起来，得到一个新命题，记作〃V9.

当〃、勺两个命题中有一个命题是真命题时，是真命题；当〃、夕两个命题都是假命题时，是假命题.

对一个命题〃全盘否定，得到一个新命题，记作

若〃是其命题，则r7必是假命题；若〃是假命题，则T?必是真命题.

9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“V”表示.

含有全称量词的命题称为全称命题.

全称命题“对M中任意一个X,有P(x)成立”，记作“VXEM,P(X)”.

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“三”表示.

含有存在量词的命题称为特称命题.

特称命题“存在M中的一个x,使〃(力成立”，记作“£M,〃(力

10、全称命题〃：DxeM,P(x),它的否定力：3A-GM,"(6.全称命题的否定是特称命题.

第二章圆锥曲线与方程

1、平面内与两个定点石，鸟的距离之和等于常数(大于的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦

点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在)'轴上

A

图形/..厂C.

22

标准方程I+W=l(4>b>0)J

2+=l(r/>Z?>0)

a2b2v)a~b~

范围且一工〃_/?《大4/2且一aWyWa

A1(-©0)A(rz,0)A1(0,-«)A(0,tz)

2、2

顶点、

B,(O,-Z>)B(0,P)B"-B0)B(Z7,0)

2、2

轴长短轴的长=2力长轴的长=2a

焦点6(-。,0)6(c,0)6(0,-e).(0,c)

、\

焦距恒用=2°—=/

对称性关于x轴、丁轴、原点对称

离心率e=-=.l-^-(0<e<l)

aVci~

a2

准线方程x=±—y=±-

3、设M是椭圆上任一点，点M到耳对应准线的距离为4,点M到尸2对应准线的距离为4,则4d2.

4、平面内与两个定点之I,B的距离之差的绝对值等于常数（小于I石El）的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称

为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.

5、双曲线的几何性质：

焦点的位置焦点在不轴上焦点在y轴上

2222

标准方程二-马=15>0力>0)

a~b~

范围%«一。或%",)'«一〃或y3xwR

顶点A](-4,0)A2m0)A.((),-«)A(0,«)

、2

轴长虚轴的长=2匕实轴的长二加

焦点耳(-c,0)6&0)片(0,—c)6(0©

、

忻用〃)

焦距=2d02=/+

对称性关于1轴、y轴对称，关于原点中心对称

W=用9）

离心率

准线方程x=±C

Cc

,Cl

渐近线方程y=±—x

ab

6、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

M娟」M1

7、设M是双曲线上任一点，点M到对应准线的距离为4,点M到尸2对应准线的距离为4,则4心.

8、平面内与一个定点户和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点户称为抛物线的焦点，定直线/称

为抛物线的准线.

9、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”，即1阴=2'.

10、焦半径公式:

若点p（%,%）在抛物线V=2px（p>o）上，焦点为F,则用一飞二；

若点PCWO）在抛物线丁二一2闻〃>0）上，焦点为尸，则朋一为+耳：

若点PCWo）在抛物线f=2〃y（p>。）上，焦点为F,贝产一为力；

若点P。，%）在抛物线丁=-20°>。）上，焦点为尸，则画一“十5

11、抛物线的几何性质：

y2=2pxy2=—2pxx2=2pyx2=—2py

标准方程

（〃>。）(">0)(〃>0)(〃>0)

图形鉴学上卡

顶点（0,0）

对称轴X轴x轴

焦点户千多。）尸（。图《。心）

准线方程x=T

离心率e=l

范围x>0x<0y>0y<0

第三章空间向量与立体几何

1、空间向量的概念:

°）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.

仁）向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

（3）向量AB的大小称为向量的模（或长度），记作AB.

（膏模（或长度）为°的向量称为零向量；模为1的向最称为单位向尾.

（5）与向量。长度相等且方向相反的向量称为。的相反向量，记作一。.

（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量.

2、空间向量的加法利减法：

°）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则.即：在空间以同一点°为

起点的两个已知向量〃为邻边作平行四边形OACB,则以0起点的对角线℃就是。与b的和，这种求向量和的

方法，称为向量加法的平行四边形法则。

（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则.即：在空间任取一点0,作OA=a,OB=〃，则

BA二。一〃

3、实数％与空间向量。的乘积而是一个向量，称为向量的数乘运算.当几＞°时，而与。方向相同；当4Vo时,

与。方向相反：当％=°时，4〃为零向量，记为几。的长度是。的长度的囚倍.

4、设之，〃为实数，。，。是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律.

八而徜+劝什么浊2（〃。）=（沏）a

分配律：'7；结合律：'尸，'产）.

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向最，并规定零向量与任何

向量都共线.

6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量。，"0'°）,a〃〃的充要条件是存在实数4,使a=

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量.

8、向量共面定理：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,)，，使AP=xAB+yAC；或对空

间任一定点°,有°P=OA+xAR+yAC；或若四点p,A,B,C共面，则

OP=.rOA+)'0B+zOC(x+y+z=1)

9、已知两个非零向量力和沙，在空间任取一点°,作0A=。，0B=bt则NAOB称为向量。，人的夹角，记作

两个向量夹角的取值范围是：〈”而日口句.

■=—一.

10、对于两个非零向量。和力，若2,则向量。，〃互相垂直，记作。工〃.

,\a\bcos(<7,Z?)i,a-b=\a\bcos(w,/7)

11、已知两个非零向量。和人，则।1称为。，〃的数量积，记作〃即J.零向量

与任何向量的数量积为0.

12、。・力等于。的长度同与人在。的方向上的投影"C°S〈。，》〉的乘积.

13、若〃，。为非零向量，。为单位向量，则有⑴，"="''=闷8$3,6〉；

同W与b同向)

a•b=<

(2)小〃=9=0,⑶卜同与版向)无1Td14二g

9,,9

/\ab

C0S〈4,。〉=--"FTT|__

(4)同W.(5)|。•小琲

14、向量数乘积的运算律：⑴(2)&)必=小旬=".(训：

⑶(a+〃)c=a'c+6.c

15、若i,j,k是空间三个两两垂宜的向量，则对空间任一向量〃，存在有序实数组{x'y"},使得〃二*+切+z攵，

称“，yj,zk为向量〃在i,j,k上的分量.

16、空间向量基本定理：若三个向量。，b,。不共面，则对空间任一向量〃，存在实数组{乂'*},使得

p=xa+yb+zc

17、若三个向量a,”,右不共面，则所有空间向量组成的集合是

pp=xa+yb+zc,x,y,zeR

.这个集合可看作是由向量〃，b,。生成的,

称为空间的一个基底，。，"，0称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

18、设6，%%为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以62,6的公共起

点o为原点，分别以6，%s的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。M’z.则对于空间任意一

个向量〃，一定可以把它平移，使它的起点与原点。重合，得到向量°p=〃.存在有序实数组{My*},使得

p=xe^ye2+ze3把工，y，z称作向量〃在单位正交基底4,S,S下的坐标，记作〃此时，向

量〃的坐标是点P在空间直角坐标系5>‘z中的坐标（x，y，z）.

19、设a=（N，X"J"=（JN2，Z2）,则⑴"+"=（X+W，y+%，Z|+Z2）

（2）a-b=（x1-%，x一为，4-22）（3）/l4Z=（2x1,/lyI,2zl）

（4）々.〃=西马+X），2+2必2（5）若&、〃为非零向量，则a_L〃=a・〃=（）oxw+x%+zV=0

（6）若人工0,则==而2，）'I=九%，4=芥2（7）同二夜工=

O=第=,-+）*+2

（8）MHJx：+y：+z：."E+y；+z；.

⑼A（x，%zJ,B=（W，%，Z2）,则“=IAB卜J（%_xy+也_y『+仁_zJ]

20、在空间中，取i定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置可以用向量OP来表示.向量OP称为点P的位置

向量.

21、空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量。表示直线

’的方向向量，则对丁直线/上的任意一点P,有AP=s,这样点A和向量a不仅可以确定直线/的位置，还可以具

体表示出直线/上的任意一点.

22、空间中平面。的位置可以由口内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点。,它们的方向向量分别为

a,P为平面a上任意一点，存在有序实数对（*»）,使得°P=xa+y”,这样点°与向量。就确定了平面

a的位置.

23、直线,垂直。，取直线’的方向向量〃，则向量力称为平面仪的法向量.

24、若空间不重合两条直线“，人的方向向量分别为日，b,则a〃b=a〃b=

a=^Z?（2G/?）