高中数学考前100问

高中数学考前□归教材资料

亲爱的高三同学，当您即将迈进考场时，对于以下100个问题，您是否有清醒的认识？

1.集合中的元素具有无序性和互异性.如集合隐含条件，

集合｛戈|(x-l)(x-a)=0｝不能直接化成｛1,«｝.

2.研究集合问题，一定要抓住集合中的代表元素，如:｛｝与｛｝及｛｝三集合并不表示同一集合；再如：”设

A=｛直线｝,B=｛圆｝,问ACB中元素有几个?能回答是一个，两个或没有吗？”与"A=｛(x,y)|x+2y=3｝,

B=｛(x,y)|x2+y2=2｝,AGB中元素有几个？”有无区别？

过关题：设集合，集合N=，则_

(答：)

3.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了集合本身和空集的特殊情况，不要忘了借助于数轴和韦恩图进行

求解；若AB=，则说明集合A和集合B没公共元素•，你注意到两种极端情况了吗？或；对于含有

个元素的有限集合M,其子集、真子集、和非空真子集的个数分别是、和，你知道吗？你会用补集法

求解吗？

A是B的子集AUB=BAAB=A，你可要注意的情况.

过关题：已知集合A=｛-1,2],B=｛x|mx+1=0｝,若APB二B,则所有实数m组成的集合

为

答：

已知函数在区间上至少存在一个实数，使，求实数的取值范围.答：)

4.(1)求不等式(方程)的解集，或求定义域时，你按要求写成集合或区间的形式了吗？(2)你会

求分式函数的对称中心吗？

过关题：已知函数的对称中心是(3,-1),则不等式f(x)>0的解集是

答：

5.求一个函数的解析式，你注明了该函数的定义域了吗？

6.四种命题是指原命题、逆命题、否命题和逆否命题，它们之间有哪一:种关系？只有互为逆否的命题同真假！

复合命题的真值表你记住了吗？命题的否定和否命题不一样，差别在哪呢？充分条件、必要条件和充要条

件的概念记住了吗？如何判断？反证法证题的三部曲你还记得吗？假设、推矛、得果.

原命题：；逆命题：；否命题：；逆否命题：；互为逆否的两个命题是等价的.

如：“”是“”的条件.(答：充分非必要条件)

若p=q且qWp；则P是q的充分非必要条件(或q是P的必要非充分条件)；

注意命题Pnq的否定与它的否命题的区别：

命题〃的否定是〃；否命题是=

命题“P或q”的否定是“1P且1Q”,“P且q”的否定是“1P或1Q”

注意:如“，若和都是偶数，则是偶数”的否命题是：若和不都是偶数，则是奇数”;否定

是“若和都是偶数，则是奇数”

7.绝对值的几何意义是什么？不等式，的解法掌握了吗？

过关题：|x|+|x-l|<a的解集非空，则a的取值范围是，

|x|-|x-l|va恒成立，则a的取值范围是.有解，则a的取值范围是

答：；；

8.如何利用二次函数求最值？注意对项的系数进行讨论了吗？

若恒成立，你对=0的情况进行讨论了吗？

若改为二次不等式恒成立，情况又怎么样呢？

9.（1）二次函数的三种形式：一般式、交点式、和顶点式，你了解各自的特点吗？

（2）二次函数与二次方程及一元二次不等式之间的关系你清楚吗？你能相互转化吗？（3）方程有解

问题，你会求解吗？处理的方法有几种？

过关题：不等式ax2+bx+2>0的解集为，则a+b=

答：

过关题：方程2sin2x-sinx+a-I=0有实数解，则a的取值范围是

答：

特别提醒：二次方程的两根即为不等式解集的端点值，也是二次函数的图象与轴的交点的横坐标.

对二次函数，你了解系数对图象开口方向、在轴上的截距、对称轴等的影响吗？

对函数若定义域为R,则的判别式小于零；若值域为R,则的判别式大于或等于零，你了解其道理吗？

例如：y=lg（x2+1）的值域为，y=lg（x2-1）的值域为，你有点体会吗？

答：

10求函数的单调区间，你考虑函数的定义域了吗？如求函数的单调增区间？再如已知函数在区间

上单调减，你会求的范围吗？答：

若函数的单调增区间为，则的范围是什么？答：

若函数在上单调递增，则的范围是什么？答：

两题结果为什么不一样呢？

11.函数单调性的证明方法是什么？（定义法、导数法）判定和证明是两回事呀！判断方法：图象法、复合函

数法等.还记得函数单调性与奇偶性逆用的例子吗？（（1）比较大小；（2）解不等式；（3）求参数的范围.）如

已知，，，求的范围.答：

求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“U”和”或&单调区间是区间不能用集合或不

笔式表示.

12.判断函数的奇偶性时，注意到定义域的特点了吗？（定义域关于原点对称这个函数具有奇偶性的必要非

充分条件）.

过关题：f（x）=ax2+bx+3a+b是偶函数，其定义域为[a-1,2a],则@=,b=.答:

13.常见函数的图象作法你掌握了吗？哪三种图象变换法？（平移、对称、伸缩变换）

函数的图象不可能关于轴对称，（为什么？）如:y2=4x是函数吗？

函数图象与轴的垂线至多一个公共点，但与轴的垂线的公共点可能没有，也可能任意个;

函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象；如圆；

图象关于轴对称的函数是偶函数，图象关于原点对称的函数是奇函数.指数函数与对数函数关于直线对

称，你知道吗？

过关题：函数y=2f(x-1)的图象可以由函数y=1(x)的图象经过怎样的变换得到？

过关题：已知函数y=f(x)(aWxWb),则集合{(x,y)|y=f(x),aWxWb}C{(x,y)|x=0}中，含有元素的个数

为()

A.0或1B.OC.lD.无数个

答：

14.由函数图象怎么得到函数的图象？答：以轴为对称轴翻折

力函数图象怎么得到函数的图象？答：以轴为对称轴翻折

由函数图象怎么得到函数的图象？答：以为对称中心翻折

由函数图象怎么得到函数的图象？答：去左翻右

⑴曲线关于轴的对称的曲线是：.答：

⑵曲线关于轴的对称的曲线是：.答：

⑶曲线关于直线的对称的曲线是；.答；

⑷曲线关于直线对称的曲线是：.答：

⑸曲线关于直线的对称的曲线是：.答：

(6)曲线关于直线的对称的曲线是：.答：

(7)曲线关于直线对称的曲线是：.答：

(8)曲线关于直线对称的曲线是：.答：

(9)曲线关于原点的对称的曲线是：.答：

过关题:f(x)=log2x关于直线的对称函数(反函数).第

15.函数的图象及单调区间掌握了吗？如何利用它求函数的最值？与利用基本不等式求最值的联系是

什么？若V0呢？你知道函数的单调区间吗？(该函数在或上单调递增；在或上单调递

减)这可是一个应用广泛的函数！

求函数的最值，一般要指出取得最值时相应的自变量的值.

16.(1)切记：研究函数性质注意一定在该函数的定义域内进行！一般是先求定义域，后化简，再研究性质.

过关题：的单调递增区间是(答：(1,2)).

已知函数f(x)=log3x+2,x£[l,9],则函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最大值为.答：13

求解中你注意到函数g(x)的定义域吗？

(2)抽象函数在填空题中，你会用特殊函数去验证吗？(即找函数原型)

过关题12：已知是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T,则_(答：0)

几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：---------------；

②幕函数型：--------------，；

③指数函数型：----------，；

④对数函数型：一-，；

⑤三角函数型：——.

17.解对数函数问题时注意到真数与底数的限制条件了吗？指数、对数函数的图象特征与性质明确了吗？

对指数函数，底数与1的接近程度确定了其图象与直线接近程度；对数函数呢？你还记得对数恒等

式（）和换底公式吗？

知道：吗？

指数式、对数式：口，匚I,口,口，口，口，匚I,口，口.

如□的值为（答：口）

18.你还记得什么叫终边相同的角？若角与的终边相同，则

若角与的终边共线，则：

若角与的终边关于轴对称，则：

若角与的终边关于轴对称，则：

若角与的终边关于原点对称，则：

若角与的终边关于直线对称，则：

各象限三角函数值的符号：一全正，二正弦，三两切，四余弦；角的正弦、余弦、正切值还记得吗？

19.什么叫正弦线、余弦线、正切线？借助于三角函数线解三角不等式或不等式组的步骤还清楚吗？如：；

由三角函数线，我们很容易得到函数，和的单调区间；

三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出它们的单调区间、对

称中心、对称轴及其取得最值时的值的集合吗？（别忘了）

函数y=2sin（-2x）的单调递增区间是吗？你知道错误的原因吗？

图象的对称中心是点，而不是点你可不能搞错了！

你会用单位圆比较sinx与cosx的大小吗？当时,x,sinx,（anx的大小关系如何？

过关题:函数与函数图象在乂£卜2八2打上的交点的个数有个？答：

20.三角函数中，两角的和、差公式及其逆用、变形用都掌握了吗？倍角公式、降次公式呢？中角是如

何确定的？（可由确定，也可由及的符号来确定）公式的作用太多了，有此体会吗？

重要公式：；.；；等，你还记住哪些变形公式？特殊角三角函数值你记清楚了吗？

如：函数口□的单调递增区间为（答：匚I）

巧变角：如口，匚］,口，

,等），

如（1）已知口，□,那么匚的值是（答：口）；

（2）已知□为锐角，口，口，则□与□的函数关系为

（答：）

（3）若*=是函数y=asinx-bcosx的一条对称轴，则函数y=bsinx-acosx的一条对称轴是

A.B.C.D.n（）答：

21.会用五点法画的草图吗？哪五点？会根据图象求参数A.、的值吗？什么是振幅、初相、相位、

频率？答：

22洞角三角函数的三个基本关系，你记住了吗？三角函数诱导公式的本质是：“奇变偶不变，符号看象限”

函数的奇偶性是（答：偶函数）

23.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？如何实现边角互化？（用：面

积公式，正弦定理，余弦定理，大角对大边等实现转化），三角形解的个数题型你熟悉吗（一解、两解、无

解）？

24.你对三角变换中的几种常见变换清楚吗？

（I）角的变换:和差、倍角公式、异角化同角、单复角互化；

（2）名的变换：见切化弦；

（3）次的变换：降累公式；

（4）形的变换：通分、去根式、1的代换=）等，这些统称为1的代换.

25.在已知三角函数中求一个角时，你（1）注意考虑两方面了吗？（先判定角的范围，再求出某一个三角函

数道）（2）注意考虑到函数的单调性吗？

过关题：.答：

过关题：则=.答：

26.形如+b,的最小正周期会求吗？有关周期函数的结论还记得多少？周期函数对定义域有叶么要求吗？

求三角函数周期的几种方法你记得吗？怎么证明函数为周期函数？

27、y=Asin（oiv+9）+/?与产s/加变换关系：4）正左移负右移；b正上移负下移；

横坐标伸缩到原来足倍

二sinx左:或的।》）,=sin（x+中）------------9——>y=sin（5+中）

f黄坐标伸缩到原来星倍左或右平移1乌

y=sinx--------------维——>y=sincox------------>y=sin（6i¥+中）

双坐标伸缩到原来。如倍上或下平工期

=Asin(oiv+①)》y=Asin(cor+中)+〃

28.在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖出正余弦的有界性了吗？

过关题：已知，求的变化范围.答：

提示：整体换元，令=t,然后与相加、相减，求交集.

29.请记住(sina±cosa)与sinacos。之间的关系.

过关题：求函数y=sin2x+sinx+cosx的值域.答：

30常见角的范围

①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是，，；

②直线的倾斜角、与的夹角论取值范围依次是，

31以下几个结论你记住了吗？

⑴如果函数的图象关于直线对称，那么函数满足关系式为，

且函数若为奇函数，则函数的周期为

答：

⑵如果函数满足关于点(a,b)中心对称，那么函数满足关系式为；

答：

⑶如果函数的图象既关于直线成轴对称，乂关于点成中心对称，

那么是周期函数，周期是=.

(4),则的图象关于对称.

过关题:已知函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且满足g(x)=f(x-1),则f(2006)+f(2007)+f(2008)

=.答：

32.你还记得弧度制下的弧长公式和扇形面积公式吗？若是角度，公式又是什么形式呢？

过关题：已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积.(答:2),

曲线(为参数，且)的长度为•答：

33.三角形中的三角函数的几个结论你还记得吗？

⑴内角和定理：三角形三内角和为，，，

(2)正弦定理：(R为三角形外接圆的半径)，

注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解

⑶余弦定理：，等，常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

(4)面积公式：，内切圆半径r=

(5)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，大角对大边，大边对大角，你注意到了吗？，你会

证明吗？

（6）已知时三角形解的个数的判定:

其中h=bsinA,⑴A为锐角时:①avh时，无解；

②a=h时，一解（直角）；③h<a<b时，两解（一锐角,

一钝角）；④a?b0寸，一解（一锐角）.

⑵A为直角或钝角时：①b时，无解；②a>b时,

一解（锐角）.

（7）三角形为锐角三角形满足什么条件？

34.常见的三角换元法：

己知，可设；

已知，可设（）；

己知，可设；

35.重要不等式的指哪几个不等式？

若，（1）（当且仅当时取等号）；

（2）a、b、cR,（当且仅当时，取等号）：（3）若,则（糖水的浓度问题）.

36.倒数法则还记得吗？（指，常用如下形式：，）用此求值域的注意点是什么？

如求函数的值域，求函数的值域呢？

37.不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法及放缩法）（）等号成立的条件是什么？

基本变形：①；；

38利用重要不等式求函数的最值时，是否注意到一正，二定，三相等？

如：①函数的最小值.（答：8）

②若若，则的最小值是______（答：）;

③正数□满足口，则口的最小值为（答：口）；

39.二元函数求最值的三种方法掌握了吗？方法一：转化为一元问题，用消元或换元的方法；方法二：利用

基本不等式；方法三：数形结合法，距离型、截距型、斜率型）

过关题：若正数a,b满足ab=a+b+3,则a+b的取值范围是.（答：）

40不等式的大小比较，你会用特殊值比较吗？

过关题：已知a>b>0,且ab=1,设，

则A.PvMvNC.N<P<MD.PvNvM（）

答：

41不等式解集的规范格式是什么？（一般要写成区间或集合的形式），另外“序轴标根法”解不等式的注

意事项是什么？

将不等式整理成一边为零的形式，将非零的那边因式分解，要求每个因式中未知量的最高次数项的

系数均为正值，求各因式的零点，画轴，穿线，注意零点的重数，在写解集时还得考虑解集中是否包含零点.

如:解不等式□.（答：口或口）；

42.解分式不等式应注意什么问题？（在不能肯定分母正负的情况下，

一般不能去分母而是移项通分）

43.解含参数不等式怎样讨论？注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”

解不等式上一＞MawR）

ax-\

（综上，当时，原不等式的解集是；

当时，原不等式的解集是或；

当时，原不等式的解集是）

过关题：解关于x的不等式：，（|a|^l）

答：

44.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？（一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化）

45.解对数不等式应注意什么问题？（化成同底，利用单调性，底数和真数都大于零）

过关题：解关于x的不等式：.答：

46.会用不等式证一些简单问题吗？取等号需满足什么条件的？

47.不等式恒成立问题有哪几种处理方式？（特别注意一次函数型和二次函数型，还有恒成立理论）

过关题：对任意的aGM.IJ,函数f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围

是.答：

过关题：当P（m,n）为圆x2+（y-1）2=1上任意一点时，不等式m+n+c，0恒成立，则c的取值范围

是.答：

48.等差、等比数列的重要性质你记得吗？证明方法是什么？

（等差数列中的重要性质：若，则；

等差数列的通项公式：型前项和：型

等比数列中的重要性质：若，则

用等比数列求前项和时一定要注意公比是否为1?（时，；时，）

过关题：求和：要注意什么？

49.等差数列、等比数列的重要性质：的数列有什么性质？若为等差数列，则也是等差教列，它们的

公差是什么？

50.数列通项公式的常见求法：

观察法（通过观察数列前几项与项数之间的关系归纳出第〃项氏与项数〃之间的关系）

公式法（利用等差、等比数列的通项公式或利用q=《c'一直接写出所求数列的通项公式）

叠加法（适用于递推关系为-4=/（〃）型）

连乘法（适用于递推关系为为=/（〃）型）

4

构造新数列法（如递推关系4m=十夕以山=〃凡十勿（优为等差数列或等比数列）型）

51.数列求和的常用方法：

公式法：（1）等差数列的求和公式（两种形式），（2）等比数列的求和公式

⑶，，

1+3+5++（2〃+1）=（〃+1）2；12+22+32+.-+/2〃（,!+1）（2〃+1）

6

分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求

和（如：通项中含因式，周期数列等等）

倒序相加法：在数列求和中，如果和式到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,

那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）

错位相减法：（“差比数列”的求和）

裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消

法求和，常用裂项形式有：

1_11(2)二」已，)

⑴

〃(〃+1)nn+1n(n+k)knn+k

---------------<—<-------=----

kZ+l(k+l)kk2(k-\)kk-\

=lr_!__________!]⑸^-=1-1

〃(〃+l)(〃+2)2n(n+1)(〃+1)(〃+2)(/?+1)!n\(〃+1)!

(6)2(J〃+1-4n)<—<2(\/n-J〃-1)⑺=5”一S,i5>2)

y/n

⑻+C；==C；m；：T（理科）

分组法求数列的和：如an=2n+3n、错位相减法求和：如an=（2n-1）2n、

裂项法求和：如求和:（答：）、

倒序相加法求和：如①求证：；（理科）

②已知口，则口=_（答：口）

①求数列｛an｝的最大、最小项的方法（函数思想）：

>0

2

②an*i-an=......0如an=-2n+29n-3

<0

>1

a

1、n+li/,9"（〃+1）

③---=•••<=1（an>0；如an=———

③an=f(n)研究函数f(n)的增减性a„=-.....

n~+156

S|n=1

求通项常法：（1）可利用公式：an=

S”T〃22

如：数列□满足口，求口(答：口)

(2)先猜后证

(3)递推式为an+]=an+f(n)i采用累加法)；an+l=anXf(n)(采用累积法)；

如已知数列口满足口，口口，则匚二(答：口)

(4)构造法形如方、a“=ka,i+b”(k力为常数)的递推数列

如已知口，求口(答：匚J);

(5)涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决，适当注意以下2个公式的合理运用

an=(an-an-i)+(an-i-an-2)+....+(a2-a[)+a1；

(qw0)

(6)倒数法形如知二一^—的递推数列都可以用倒数法求通项.

如①已知口，求口(答：匚1);

②已知数列满足口=1,口，求口(答：口)，

己知函数/(x)=-』4+—,数列｛。〃｝的前〃项和为S”，点(a小1一)(〃£N*)在曲线y=/次)上，且“1=

2〃

1,a”>0.(1)求数列｛a〃｝的通项公式；(2)求证:S>......-(〃eN*);

nJ4〃+1+1

TT

(3)若数列｛〃”｝的前〃项和为7\,且满足T=—•+16/-8〃-3,试确定好的值，使得数列｛〃.｝是

唁。向

等差数列.

答：(1)(2)提示：(3)

由，求数列通项时注意到了吗？一般情况是：

52.立体几何中平行、垂直关系证明思路明确了吗？各种平行、垂直转换的条件是什么？

①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法

②直线与平面：alla、aOa=A(a<Za)、aua

③平面与平面：a〃B、anf3=a

线〃线线〃面面〃面，线，线线_1_面面JL面.

ciHba"

na〃a；a"

常用定理:①线面平行8ua>=>a〃a；a10nalia

au。

a(Za

aliaallfi

....ala...•a//b

②线线平行：au//=>«///>»\=aHb，acy=anaUb•=>ciib

bLa\af/c

acQ=b0ncy=b

aua,bua

aLaallp

③面面平行：acb=O=>a//f3■=>al/p;=ally

a1.0YUP

allp.bllP

„PO1a

④线线垂直："'a=所成角90°：〃­=〃_L尸A（二垂线）；逆定理？

bua

alAO

z~x,h*上±"uaAuaalP

.aSn.allb

⑤线面垂直：mb=。=>/la'ae\P=lnal夕'.=>bla

丫alanW'f

11a,libaaa,a11

⑥面面垂直：二面角900;;

53屏面直线所成的角如何求？（异面问题相交化，即转化到同一平面上去求解），范围是什么？

过关题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1C1上运动，异面直线BP与AD1所成的角为

。，则角。的取值范围是

两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的平面角的取值范围依次是：、、.

（3）在用向量法求异面直线所成的角、线面角、二面角的平面角时，应注意什么问题？

“作、证、算”三个步骤可一个都不能少啊！（理科）

求空间角①异面直线所成角的求法：

（1）范围：；

（2）求法：平移以及补形法、向量法.

如（1）正四棱锥口的所有棱长相等，口是口的中点，那么异面直线口与口所成的角的余弦值等于一（答:

口）；

（2）在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，0是底面ABCD的中心，P是棱A1B1上的一点，则0P与AM

所成的角的大小为—（答：90°）;

②直线和平面所成的角：（1）范围；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角.：13）求法：作

垂线找射影或求点线距离（向量法）；

如（理）（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1,D在棱BB1上，BD=1,则AD与平面AA1C1C所成的

角正弦为（答：口）；

（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB.C1D1的中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值

是______（答:口）；

如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为（答：匚I）；

（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1=8,BD1与侧面B1BCC1所成的为30°,则二面角C1—BD1一

B1的正弦为（答：匚］）;

（3）从点P出发引三条射线PA.PB.PC,每两条的夹角都是60°,则二面角B-PA-C的余弦值是_____（答：

口）；

54.（1）有关长方体的性质和结论，你记得吗？

过关题：平面、、两两互相垂直，直线1与平面、所成的角分别为30。、45o,则直线I与平面

所成的角为.答：

（2）有关正四面体的性质和结论，你记得吗？正方体中有一个正四面体的模型，你知道吗？你能灵活运

用吗？侧棱与底面所成的角的余弦值为；侧面与底面所成的二面角的余弦值为：正四面体的

内切球半径r与外接球的半径R之比为,它们与正四面体的高h之间的关系分别

为、.

答：

（3）正三棱锥、正四棱锥的性质，你记得吗？它们的特征直角三角形，你会应用吗？

（4）求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、等体积法、换点法）

（5）求多面体体积的常规方法有哪些？（直接法、等体积法、割补法）

55.球的表面积、柱、锥、球的表面积会求吗？体积公式都汜得吗？

过关题：一个四面体的所有棱长都是，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.答：

56.平行六面体一直平行六面体一长方体一正四楂柱一正方体间联系

三棱锥中：侧棱长相等（侧棱与底面所成角相等）。顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直（两对对棱垂

直）。顶点在底面射影为底面垂心；斜高相等（侧面与底面所成相等）。顶点在底面射影为底面内心；正棱

隹各侧面与底面所成角相等为0,则S«cos0=S鼠;正三角形四心？内切外接圆半径？；

57.问量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量的起点、终点及其坐标的特征

（1）几个概念：零向量、单位向量、与同方向的单位向量，平不向量，相等向量，相反向量，以及一个向量

在另一向量上的投影（在方向上的投影是，为向量与的夹角）一定要记住！

过关题：在直角坐标平面上，向量与在直线1上的射影长度相等，则I的斜率为.

答：

⑵和。是有区别的了，的模是0,它不是没有方向，而是方向不确定：可以看成与任意向量平行，但与

任意向量都不垂直.

⑶若，则，但是由，不能得到或，你知道理由吗？

还有：时，成立，但是由不能得到，即消去律不成立.

58晌量中的重要结论记住了吗？如：在三角形中，点为边的中点，则；已知直线外一点，点在直

线上的充要条件为.（三点共线）

59你会用向量法证明垂直、平行和共线及判断三角形的形状吗？

60.向量运算的有关性质你记住了吗？数乘向量，向量的内枳，向量的平行，向量的垂直，向量夹角的求法,

两向量的夹角为锐角等价于其数量积大于零吗？（不等价）

向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量的相反向量

是一。.）、共线向量、相等向量

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）

61上n、减法的平行四边形与三角形法则：；；

62.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；

②当，同向时，=,特别地，；

当与反向时,

当为锐角时,>0,且不同向，是为锐角的充要条件;

当为钝角时,<0,且不反向，是为钝角的充要条件;

③.如已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或且）;

④向量b在4方向上的投影Ib|cos3=

H

⑤q和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a=4q+46（唯一）

特别：=则是三点P、A.B共线的充要条件，向量基石定理是什么？

如（1）平面直角坐标系中，口为坐标原点，已知两点口，口，若点口满足口口，其中口且口，则点口的轨

迹是—（答：直线AB）

（2）在中，①为的重心，特别地为的重心；②为的垂心；

③向量4（二包-+*0）所在直线过\ABC的内心（是NBAC的角平分线所在直线）；

|AB|MCI

如：（1）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为一（答：直角三角形）；

（2）若口为□的边口的中点，□所在平面内有一点口，满足口，设口，则口的值为一（答：2）；

（3）若点□是□的外心，且口，则口的内角□为一（答：口）；

63.任何直线都有倾斜角，但只有倾斜角不等于直角的直线才有斜率，直线的斜率公式、点到直线的距离公式、

两平行直线间的距离公式记住了吗？

直线的倾斜角的范围是什么？有关直线的倾斜角及范围，东会求吗？

如：直线xcos0+y-1=。（。WR）的倾斜角的范围是.答：

«页斜角a£[0,乃），a=90"斜率不存在;斜率k=tana二）-X

电-M

对不重合的两条直线，，有

/,//=4冬-=0,且44不重合；

l}ll2+BiB”O

64.何为直线的方向向量？法向量？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

如：经过点（6,-2）且方向向量为e=（3「2）的直线方程为

65.在用点斜式、斜截式求直线方程时，你是否注意到了所设直线是否有斜率不存在的情况？

方程：只能表示过点斜率存在的直线，而方程：则能表示过点且斜率不为零的直线，具体在什么情

况下选选择哪种形式？你清楚吗？

直线方程:点斜式y-y产k（x-x）;斜截式y=kx+b;•般式:Ax+By+C=O

两点式：上二”二=二；截距式：二+5=1（aW0；bW0）;求直线方程时要防止由于零截距和无斜率造成丢解,

>2-Jl超7|ah

直线Ax+By+C=O的方向向量为Z=（B,-A）

66.方程：中的几何意义是啥？

67.截距是距离吗？“截距相等”意味什么？什么样的直线其方程有截距式？（斜率存在，斜率不为零，且

不过原点）

直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零，直线在两轴上的截距相等直线的斜率为或直线过原点；

直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为或

直线过原点.

平行线系、垂直线系、经过两直线交点的直线系方程你都知道吗？

过关题：过点(1,2)且在坐标轴上截距相等的直线方程为

答：

68.(1)方程x2+y2+Dx+Ey+F=。表示圆的充要条件是什么？二元二次方程表示圆的充要条件是

什么？(2)点和圆的位置关系怎么判断？当点在圆上、圆外时怎么求切线的？当点在圆外时，切线长、

切点弦所在直线的方程，你记得求法吗？

如：过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+5=0相切，则实数k的取值范围是，

在求解时，你注意到x2+y2+kx+2y+5=0表示圆的充要条件吗？

过点P(2,3)向圆(x-l)2+(y-1)2=1引切线，则切点弦方程为

答：

(3)直线和圆的位置关系利用什么方法判定？(圆心到直线的距离与圆的半径的比较或用代数方法)直

线与圆锥曲线的位置关系怎样判断？

(4)圆:标准方程(x-a)2+一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0)

参数方程：・"；直径式方程(x—x)(x-x2)+(y-y])(y-y2：)=0

y=b+rsin/9

222222

⑸若(xo-a)+(y0-b)<r(=r,>r),则P(x0,y°)在圆(x-a)+(y-b)内(上、外)

(6)直线与圆关系，常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理，构造Rt△解决弦长问题，又：d>r相

离;d=r相切;d<r相交.

⑺圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则d>r+R。两圆相离;d

=r+Ro两圆相外切;|R—r|<d<r+Ro两圆相交;d=|R—ro两圆相内切;d<R—r|<=>两圆内含;d=0,同

心圆.

22

⑻把两圆x2+y2+Dix+E,+G=0与x+y+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程：

(I)LD2)x+(ELE2)y+(G-a)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线h(x,y)=0与曲线G(x,y)=0交点的曲线

系方程为：fi(x,y)+、f2(x,y)=0

(9)圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)

(10)过圆x4y2=/上点P(xo,y。)的切线为：xox+yoy:过圆乂知!产外点P(xo,y0)作切线后切点弦方

程:xox+yoy=r；过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条，则另一条垂直x轴.

与圆有关的结论：

⑴过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；

过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(xO,yO)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；

⑵以A(xl,y2)、802»2)为直径的圆的方程:仪一*1)仁-乂2)+8-丫1)&-丫2)=0.

69.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，

如果涉及到其焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；

如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线的第二定

义；

涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.

70.利用圆锥曲线第二定义解题时•，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？定点要不在定直线上呀！离

心率的大小与曲线的形状有何关系？（椭圆的圆扁程度，双曲线的张口大小）等轴双曲线的离心率是多

少？

答：对于椭圆，离心率越小椭圆越圆；对于双曲线，离心率越大，张口越大;

过关题：动点P到定点A（1,2）和直线3x-2y+l=0的距离相等，则动点P的轨迹方程为

A.直线B.椭圆C.双曲线D.抛物线）答:

71.椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形.（a,b,c）

椭圆①方程£+£=1(a>b>0);参数方程Jx=acosO

a-b~|y=bsin。

②定义：吧=e<l;|PFj+|PF2|=2a>2c

d相应

④长轴长为2a,短轴长为2b⑤焦半径左PFl=a+cx,右PF2=a-cx;左焦点弦，右焦点弦

⑥准线x=±《、通径（最短焦点弦）空，焦准距p=M

cac

⑦S阴F：那吗，当P为短轴端点时NPFE最大,近地a-c远地a+c;

双曲线①方程//Wb）。）

②定义:吧;e>l;||PM-吐2Il=2a〈2c

品应

③e干=j+与,c2=a2+b

④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐近线交点为中心

⑤焦半径、焦点弦用第二定义推（注意左右支及左右焦点穴同）；到焦点距离常化为到准线距离

⑥准线x=±Q、通径（最短焦点弦）空，焦准距p=£

cac

b2

⑦怩

tan。

⑧渐近线「爷=。或…%焦点到渐近线距离为b;

72.抽物线①方程y2=2px

②定义：|PF|二d准

③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F（,0）,准线x=

④焦半径|AF|=XA+9;焦点弦|AB|=X1+X2+P；y】y洛一p；X1X2;二其中A(xbyj、B(x2,y2)

24

⑤通径2p,焦准距p;

73.直线与椭圆的位置关系的研究类似于直线和圆，

直线和双曲线有且只有一个交点是该直线和此双曲线相切的什么条件？