高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找直线向上方向、x轴正方向；

②平行：a=i）°；

③范围：0°Wa＜180°。

2、斜率：①找k：k=tar.a（aW90°）：

②垂直：斜率k不存在；

③范围：斜率kaR。

3、斜率与坐标：A=iana=上二&二三二上

X]-x2x2-xi

①构造直角三角形（数形结合）；

②斜率k值于两点先后顺序无关；

③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系:/I:y=V+/?,,/2:y=V+Z?2

①相交:斜率人工&（前提是斜率都存在）

特例一一垂直时：＜1＞/1X轴，即匕不存在，则&二0；

＜2＞斜率都存在时：kx•k2=-1。

②平行：＜1〉斜率都存在时：尤二自,4工包；

＜2＞斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。

③重合：斜率都存在时：k、=%2，A=b2；

二、方程与公式：

1、直线的五个方程：

①点斜式：y-y（）=Mx-/）将已知点（天）,%）与斜率左直接带入即可；

②斜截式：y=kx+b将已知截距（0乃）与斜率k直接带入即可；

③两点式：――X="",（其中芭力电,丁工必）将已知两点。[,），|）,。,,乃）直接

必一凹々f

带入即可；

④截距式：-+^=1将已知截距坐标（©0）,（0,份直接带入即可；

ab

⑤i般式：Ax+By+C=0＞其中A、B不同时为0

用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

①两点间距离：山村7区一々)2+(凶—必产

Ax+B+c

②点到直线距离：d=\oyo\

③平行直线间距离：d=

4、中点坐标公式：已知两点A(X］，x),3(12，y2)

①AB中点(%,)，0)：(甘乜,上芳)

中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用至上

5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P(X。，yo)，对称后的点坐标为P'(x,y),则

pp'的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp'的中点坐标在已知直线上。

二、解题指导与易错辨析:

1、解析法(坐标法):

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标;

②依据代数关系1点在直线或曲线上)，进行有关代数运算，并得出相关结果;

③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

2、动点P到两个定点A、B的距离•“最值问题”：

①|曰+归4的最小值：找对称点再连直线，如右图所示：

②|尸方--用的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”;

③|尸4+归叶的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴二

3、直线必过点：①含有一个参数---y=(a-l)x+2a+l=>y=(a-l)(x+2)+3

令：x+2=0=>必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0=>m(3x+y)+n(2y-x-l)=0

令：3x+y=0、2y-x-l=0联立方程组求解=>必过点(-1/7,3/7)

4、易错辨析:

①讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1〉斜率不存在时，是否满足题意；

<2)斜率存在时，斜率会有怎样关系。

②注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；

(求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。)

③直线到两定点距离相等，有两种情况：

<1>直线与两定点所在直线平行；

<2>直线过两定点的中点。

圆的方程

1.定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称

为圆的圆心，定长为圆的半径.

2.圆的方程表示方法：

第一种：圆的一般方程一一x2+y2+Dx+Ey+F=O其中圆心D至、

半径“交运亚

2

当。2+^2^耳80时，方程表示一个圆，

当。2十七2T”=0时，方程表示一个点

当。2+E2y/YO时，方程无图形.（同一元二次方程有无解的情况

第二种：圆的标准方程一一（x—a）2+（万〃）2=户.其中点为圆心，，.为半径的

圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：f=：+rcos;（。为参数）

y=b+rsin0

注；圆的宜径方程；已知人（工|,）8（*2,旷2）=（*x2）1（yJi）（y>2）=。

3.点和圆的位置关系：给定点M（X0,），o）及圆C:（.”〃）2+G，-〃）2=M.

①M在圆。内0(X0-〃)2+(＞，0-力)2Y〃2

②M在圆C上=（尤0-〃）2+（），0-〃）2=产

③M在圆。外=（10-“）2+（»，0_3）2人尸

4.直线和圆的位置关系：

设圆圆C:（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）；直线/:Ax+By+C=0（A2+B2^0）

圆心c（。,。）到直线/的距离d=叫+劭+q.

①”=「时，/与。相切；

②时，/与。相交;，

③公/•时，/与C相离.

5、圆的切线方程：

①一般方程若点（向，㈤在圆上，则（x-a）（刖-a）+（y-b）-b）=".特别地，

过圆X，>2=M上一点户（％,y0）的切线方程为与x+），oy=产.（注:该点在圆上，则切线方程只

有一条）

力一）\）=仪巧一必）

②若点（刖，H）不在圆上，圆心为（a,b）则.|3-yT（a-Xi）|,联立求出A=切线方程.（注:

1\=----f.--

7/?2+i

过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于

X轴的直线。)

6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：G：x'2+y2+D1X+Eiy+F尸0

2222

C2:x+y+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x+y+D1x+Eiy+F1+入

22+

(x+y+D2x+E2yF2)=0

过两圆的交点的直线方程：x'+}J+Dix+Eiy+F「x'+y-+D2x+E2y+F2=0(两圆的方程相减得到的方

程就是直线方程)

7.与圆有关的计算：

弦长的计算：AB=2*VR2-C2其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

2

AB=(Vl+k)*|X,-X2|其中k是直线的斜率，Xi与先是直线与圆的方程联

立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线

圆内的最长弦是直径

8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短电离二圆心到直线的距离减去半径

②圆上的点到直线的最长电离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P(x,y)是在某个圆上的动点，则(xa)/(vb)的最值可以转化为圆上的点与

该点(a,b)的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的

最值。

④假设