勾股定理的逆定理及其应用课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教·八年级数学下册

第二十章勾股定理20.2勾股定理的逆定理及其应用20.2.2勾股定理的逆定理的应用复习导入ABCabc勾股定理：在

Rt△ABC

中，若∠C=90°，则___________勾股定理的逆定理：互逆定理a2

+b2=c2在

△ABC中，若

a2

+b2=c2，则△ABC

为直角三角形且∠C=90°.新知导入在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而常需要使用一些数学知识和方法，其中勾股定理的逆定理经常会被用到，这节课让我们一起来学习吧！典例精析例2

如图，港口

P

位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点

Q，R

处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行？NQRPE12典例精析路程=速度×时间远航号海天号16×1.512×1.53045°【思考】1.认真读题，找已知是什么？“远航”号的航向、两艘船的1.5h后的航程及距离已知，如图.2.需要解决的问题是什么？要解决的问题是求出两艘船航向所成角.也就是求∠2的度数.∠2=两艘轮船的航向所成的角－45°3.由于我们现在所能得到的都是线段长，要求角，由此你联想到了什么？勾股定理逆定理探究新知12NEPQR实际问题：“海天”号沿哪个方向航行？16×1.5=2412×1.5=1830241830“远航”号沿东北方向∠1=45°抽象成数学问题解决实际问题12NEPQR几何问题：知______________，求______________PQ,PR,QR

的长∠2

的度数利用勾股定理逆定理求度数典例精析远航号海天号16×1.512×1.53045°解：由题意得，PQ=16×1.5=24(海里)PR=12×1.5=18(海里)QR=30(海里)∵242+182=576+324=900=302即“海天”号沿西北方向航行.∴∠QPR=90°即PQ2+PR2=QR2∵∠1=45°∴∠2=45°解决实际问题的步骤：①构建几何模型(从整体到局部)；②标注有用信息,明确已知和所求；③应用数学知识求解.练一练1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？解：由图可知：AB=12km，BC=5km，AC=13km.∵AB2+BC2=122+52=144+25=169，AC2=132=169，∴AB2+BC2=AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠B=90°.∵A

地在

B

地的正东方向，∴C

地在

B

地的正北方向.【课本第37页练习第1题】练一练2.高师傅有5根长度（单位：dm）分别为

a=6，b=8，c=10，

d=24，e=26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.

请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.用勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形.解：a2=36，b2=64，c2=100，d2=576，e2=676，∴a2+b2=c2，c2+d2=e2，∴所有可能的钢条组合有2种，长度（单位：dm）分别为6，8，10和10，24，26.【课本第37页练习第2题】典例精析例3如图，在四边形

ABCD

中，AB=5，BC=3，AD=，DC=.如果

AC⊥BC，判断

AC

与

AD

是否也垂直，并说明理由.

53

典例精析解：∵

AC⊥BC，∴∠ACB=90°.53

在Rt△ABC

中，AC2=AB2－BC2=52－32=16∴AC=4在△ACD

中，

∴AC2+AD2=CD2.因此△ACD

是直角三角形，即

AC⊥AD.应用勾股定理应用勾股定理的逆定理练一练【课本第37页练习第3题】341213分析：在Rt△ABC中，用勾股定理求出AC=5△ACD是否是直角三角形？如图，在四边形ABC中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．练一练【课本第37页练习第3题】341213如图，在四边形ABC中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，∴由勾股定理，又

∵CD=12，AD=13，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°

四边形问题对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用.课堂小结勾股定理逆定理的应用实际问题数学问题几何模型问题解决抽象构建勾股定理逆定理勾股定理形数勾股定理逆定理数形数形结合思想拓展练习2.已知三条线段的长分别为6，10，x，以这三条线段为边，

恰好可以构成一个直角三角形，求

x.解：分两种情况讨论：①当

x

为直角边时，62+x2=102，∴

x=8.

拓展练习3.刘伟先向东走了80m，然后换了一个方向走了60m，再换第三个方向走了100m，此时恰好回到原地.刘伟向哪个方向走了60m？请说明理由.三段路程对应的线段构成三角形.解：刘伟向北或南走了60m.理由如下：刘伟的行走路线恰好构成三角形.∵602+802=3600+6400=10000=1002，∴

这个三角形是直角三角形.∵

刘伟先向东走了80m，∴刘伟向北或南走了60m.拓展练习4.在△ABC

中，AB=13，BC=10，BC

边上的中线

AD=12.

求

AC

的长.ABCD121310

∵BD2+AD2=52+122=25+144=169，AB2=132=169，∴BD2+AD2=AB2，∴△ABD

是直角三角形，且∠ADB=90°.在△ADC中，∠ADC=180°－∠ADB=90°，由勾股定理，AC2=AD2+CD2=122+52=132，∴AC=13.拓展练习如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD上一点，且CF=CD．求证：∠AEF=90°证明：设正方形ABCD的边长为4个单位长度，则BE=CE=2，CF=1，DF=3

∵∠B=∠C=∠D=90°∴由勾股定理，得AE2=AB2+BE2=42+22=20，EF2=CE2+CF2=22+12=5，AF2=AD2+DF2=42+32=25，∴AE2+EF2=AF2.∴∠AEF=90°.拓展练习5.在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5且周长为36cm，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒2cm的速度移动，点Q从点C沿CB边向点B以每秒1cm的速度移动，如果同时出发，则过3s时，求PQ的长．ABCPQ解：设AB为3xcm，BC为4xcm，AC为5xcm.∵周长为36cm，即AB+BC+AC=36cm∴3x+4x+5x=36解得x=3∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm.∵AB2+BC2=AC2∴△ABC是直角三角形过3s时，BP=9-3×2=3(cm)，BQ=12-1×3=9(cm)在Rt△PBQ中，拓展练习某市夏季经常会出现台风天气，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆