2025-2026学年下学期安徽芜湖一中高三数学3月月考试卷（含答案）

3月数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合P={0,1,2}，集合A.{1,2}B.{2.已知A−2,1,B−1,3,C3,4A.2,2B.3,3.若a+i1+i=x+yA.14B.14C.14.箕舌线是平面曲线的一种,因其状如舌而得名.若箕舌线y=fx的部分图象如图所示,则fA.fx=4x+25.已知sinα=2cosβ,sinβ=3cosα,若向量mA.329B.329C.56.已知函数fx=ex,x≤0,x−axA.−∞,0B.(0,17.已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台的侧面积为16π；上、下底面的面积之比为1:9,则球的表面积为().A.12πB.14πC.16πD.18π8.已知椭圆C:x216+y212=1和圆A:x2−2x+y2=0,P,A.6B.5C.9D.8二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数fx=xA.limx→0fx+3x=3C.函数fx有极大值6e−3D.函数fx在10.已知定义在R上的函数fx,当x∈[0,2)时,fx+2kA.f2=0B.若a=C.若a=1，则gx=fx−2D.若∀k∈ℕ∗,fx11.已知数列an，其前n项和为Sn，数列bn，其前n项和为TA.若an为等差数列,则数列SnB.若bn+1=2bC.若an=3n−16，则n=D.若bn为等比数列,且Tn=2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若∠A的平分线AE交BC于点E13.在公比不为1的等比数列an中,若a2025=1,且有a1a214.一个正八面体,八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字.事件A={1,2,3,4}PABC=PAPB为_____.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)记ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c(1)求A；(2)若sinB+sinC=3216.(15分)体育是培养学生高尚人格的重要途径之一.足球作为一项团队运动项目，深受学生喜爱，为了解学生喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了100名学生作为样本，统计得到如下的列联表:喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生40a女生b25合计100已知从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为35(1)求a,b(2)根据小概率值α=0.001(3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名，记其中男生的人数为Z,求使事件“Z=k”概率最大的k附:χ2α0.010.0050.001x6.6357.87910.82817.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E为侧棱PD的中点,O为AD的中点,M为线段(1)若点M为线段PC的中点，求证:直线OM//平面PAB(2)若PMPC=13，且点B到平面ACE的距离为255，求直线AM18.(17分)已知函数fx(1)设过点x0,y0且与曲线y=fx过此点的切线垂直的直线叫做曲线y=fx在点x0,y0处的法线.若曲线y=fx在点0,−1处的法线与直线3x−2y+1=0平行,求实数a的值;(2)当a=2时，若对任意x∈19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，点A−1,0，B1,0，Q−4,记点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F(E在F的左侧).设直线AE，AF的斜率分别为k1①求证:k1k②设直线AF,BE相交于点M,求证:MA数学学科参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B。M=y∣y=2.A。设点Dx,y,则AB=1,2,DC=3−x,4−y3.B。由a+i1+i=x+yi可得a+i=x+yi1+i=x−4.B。f0=40+2=2>0,排除A.fx=−2x3+15.C。因为sinα=2cosβ,sinβ所以sinα3cosα=2cosβsin所以tanα+β=tanα+tanβ1−tanαtanβ=−15tanα+tanβ,因为向量m=6.B。易知当x≤0时,函数y=ex单调递增,且y=ex∈(0,1];当x>0时,函数y=x−ax,易知当x→0时,y→−∞;当x→+∞时,y→+∞若函数gx=fx−a恰有2个零点，即函数fx的图象与当a<0时,根据对勾函数性质可知y=x−ax=显然函数fx的图象与y=a没有交点，不合题意；综上可知，实数a的取值范围是7.A。依据题意，球内切与圆台，画出两者的轴截面，球的截面为圆，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD,如图所示,过B点作CD的垂线,垂足为E,设球的半径为R,则BE=2R,设圆台的母线为l,即BC=l,上、下底面的面积之比为1:9,即r1+r2=l⇒l=42R=BE=l2−2r18.A。易知椭圆C:x216+y212=1中a=4,c=2,即可得F−2,0,又圆A:x易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为PQ=PA−r=PA−1，因此可将PA+PF−1=PA+2a−PF′−1=二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.BC。由题意可得f′x=x2+2x−3ex=x+3x−1ex,因f0=−3,则limx→0fx+3x=limx→0fx−f0x−0=f′0=−3,故A不正确;由f′x>0得x<−3或x>1,由f′x<010.ACD。对于A,由题意可知:当x=0,k=1时,有f2=2f0=0⋅0−a=0,故A正确;对于B,当x=1,k=−50时,有f−99=−49×f1=−49×1⋅1−a,又因为a=2,所以有由于f2=0,直线y=23x+1经过点2,2,而函数fx不经过点2,2,则由图象可得,它们只有5个交点,即gx=fx−23x+1在−6,6上恰有5最大值,则只需要fx=xx−a在x∈[0,2)上存大最大值,即满足1≤a2<2或0<a11.AC。因为an为等差数列,所以前n项和Sn=na1+nn−1d2=d2n2+a1−d2n,所以Snn=d2n2+a1−d2nn=d2n+a1−d2,所以Sn+1n+1−Snn=d2n+1+a1−d2−d2n−a1−d2=d2,所以数列Snn是等差数列,故A正确;因为bn+1三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.7。由面积相等,可得12bcsin∠BAC=12b⋅AEsin∠BAC2+1213.10或4049。设等比数列an的公比为q,且q≠1,由a2025=1,则a1⋅q2024=1,故a1=q−2024,又a1a2⋯a5=a1a2⋯am14.8。事件A={1,2,3,4},事件B={2,4,6,8},故PA=PB=12,又PABC=PAPBPC,故PABC=14PC,即nC=4nABC,因为PC∣A=PACPA,PC=PC∣A,所以PC=PACPA,故PAC=PAPC=12PC,即nC=2nAC,又PC∣B=PBCPB,PC≠PC∣B,故PBCPB≠PC,所以PBC≠PBPC,即PBC≠1四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)(1)A(1)因为a=3，则cb+bc=3bc+1即为cb+bc=a2bc(2)由正弦定理可得asinA=bsinB=csinC=332=2，则sinB=b2,sinC=c2，可得sinB+sinC=b216.(15分)(1)a=15,b=20(1)因为从这100名学生样本中随机抽取1个，抽到喜爱足球运动的学生的概率为35，所以b(2)零假设H0:喜爱足球运动与性别无关.喜爱足球运动不喜爱足球运动合计男生401555女生202545合计6040100由题χ2=100×1000−300260×40×(3)现在从喜爱足球运动的学生中随机抽取1名学生，该学生是男生的概率是P=40从而从喜爱足球运动的学生中随机抽取30名时,记其中男生的人数为Z,则Z∼所以PZ令PZ=k+1故使事件“Z=k”概率最大的k17.(15分)(1)证明见解析(2)6(1)如图，取PB的中点N，连接MN,AN，因点M为线段PC的中点，故MN//BC,MN=12BC，因底面ABCD为矩形，O故有MN//OA,MN=OA，即得□因OM⊄平面PAB,AN⊂平面PAB，故有直线OM//(2)如图，因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD△PAD为等边三角形,且O为AD的中点,则PO⊥AD,故PO⊥取BC中点K,连接OK,则OK⊥AD,故可以OK,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系O−xyz.设AB=a,则A0,−1,0,Ba,−1,0,Ca,1,0,D0,1,0,P0,0,3,因E为侧棱PD的中点,则E0,12,3设平面PAB的法向量为m=b,c,d,则m⋅AP=c+3d=0m⋅AB=2b=(3)m(1)由fx=x2−1+aln1+x得:f′x=2x+(2)当a=2时，不等式可化为x2−1+2ln1+x+x+2≤bex+lnb，变形为x2+2x+1+2ln1+x≤bex+lnb+x⇔x+12+ln1+x2≤bex+lnbex同构函数gt=t+lnt,求导得g′t=1+1t>0,所以gt(3)因为fx存在两个不同的极值点x1,x2,x1<x2，所以由f′x=2x+a1+x=2x2+2x+ax故0<a<12，又由fx而f令φx则φ′∵x∈−1,−12,∴x即φx=1−x+所以有φx=1−x+2xln1+x>φ19.(17分)(1)x24(1)由AB=2，PA所以点P在以A,B为焦点,4为长轴长的椭圆上,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，