湖北省荆州市荆州中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷 （含答案）

荆州中学2025～2026学年高一下学期三月月考

数学试题

（全卷满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．化简后等于（）

A��．−��+��B．C．D．

1

2.已知�角�的始边与x轴非��负半轴重合，终边经过𝐴P(1,x)，若sin��，则x（）

2

3331

A.B.C.D.

3332

3．在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，bcosAc，则（）

A．ABC为锐角三角形B．ABC为直角三角形

C．ABC为钝角三角形D．以上三个选项都有可能

4．已知，且在上的投影向量的模为，则与的夹角为（）

A．�=2�B�．C2．��D．或

5．体育4锻5°炼是青少年生活学60习°中非常重要的组成1部2分0°．某学生做引体向4上5运°动1，35处°于如图

所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体

重（单位kg）约为（）(参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，31.732)

A．68B．66C．64D．62

sinxcosx

6．函数fx的最小正周期为（）

sinxcosx

ππ

A．B．C．πD．2π

42

高一3月月考数学试卷第1页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

22

7．在ABC中，设ACAB2AMBC，那么动点M的轨迹必通过ABC的（）

A．垂心B．内心C．外心D．重心

xlnx,x0

8．若函数fx恰有3个零点，则正实数的取值范围是（）

sinxcosx,0xπ

5959913913

A．,B．,C．,D．,

44444444

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9．下列叙述中错误的是（）

A．若ab，则3a2bB．若a//b，则a与b的方向相同或相反

a

C．若，，则a//cD．对任一非零向量a，是一个单位向量

a//bb//ca

10．已知扇形的半径为r，弧长为l，若其周长为4，则下列说法正确的是（）

A．若该扇形的半径为1，则其面积为2

B．该扇形面积的最大值为1

C．当该扇形面积最大时，其圆心角弧度数的绝对值为2

219

D．的最小值为

rl4

11．著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重

心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线称为欧拉线．该定理称为欧拉线定理．已

知ABC的外心为O，重心为G，垂心为H，且AB6，AC4，以下结论正确的是（）

20

A．AGBCB．AOBC10

3

76

C．若BC27，则|AG|D．OHOAOBOC

3

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，

则，的合�力1=对(−该3质,5点)所�做2=的(功2,为−3).�(10,−5)�(4,0)

�1�2�

高一3月月考数学试卷第2页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

13．如图所示，已知ABC中，点P，Q，R依次是边BC上的三个四等分点，若BC8，

APAR20，则ABAC__________.

1

14．在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CEDE，

2

BEBABC，则____________；F为线段BE上的动点，G为AF中点，

则AFDG的最小值为____________．

四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

15．直角坐标系中，已知向量a(2,1)，b(cos,sin).

2sincos

(1)若ab，求的值；

sincos

(2)若0，且2ab和ab的夹角为锐角，求的取值范围.

16.已知向量m(sinxcosx,2sinx),n(sinxcosx,3cosx),f(x)mn.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

π

(2)若函数yf(x)a在区间0,上恰有2个零点，求实数a的取值范围.

2

17．已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，bccosAacosBcosC．

(1)求A；

27b

(2)点D是边BC上一点，CD2DB，且ADbc，若bc，求的值．

9c

高一3月月考数学试卷第3页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

18．在直角梯形ABCD中，已知ABDC，ADAB，CD1，AD2，AB3，动点E、

F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且BEBC，DF1DC，R．

(1)当AEBC0时，求的值；

2DM

(2)当时，求的值；

3MB

1

(3)求AFAE的取值范围．

2

19．如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且AOB(为锐角).点C为单

位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M.

(1)求OAAB(结果用表示)；

(2)若60.

①求CACB的取值范围；

SCOM

②设OMtOB(0t1)，记ft，求函数ft的值域.

SBMA

荆州中学2025～2026学年高一下学期三月月考

高一3月月考数学试卷第4页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

数学试题答案

1.C2.C3.C4.D5.B6.C7.C8.A9.ABC10.BCD11．ACD

45

12．1613．814.,

318

111

14.因为CEDE，即CEBA，则BEBCCEBABC，

233

14

又因为BEBABC，可得，1，所以；

33

因为正方形ABCD的边长为1，可得BCBA1，且BABC0，

1

又因为F为线段BE上的动点，设BFkBEkBAkBC，且k0,1，

3

1

则AFABBFABkBEk1BAkBC，

3

1111

因为G为AF中点，则DGDAAGBCAFk1BAk1BC，

2232

1111

可得AFDGk1BAkBCk1BAk1BC

3232

22

111563

k1kk1k

2329510

545

又因为k0,1，所以当k1时，AFDG取到最小值．故答案为：；．

18318

15.（1）因为a(2,1)，b(cos,sin)，且ab，所以2cossin0.

2sincos2tan1

因为cos0，所以tan2，故1.

sincostan1

（2）因为0，所以b(1,0)，又a(2,1)，

所以2ab(5,2)，ab(2,1).因为2ab和ab的夹角为锐角，

所以(2ab)(ab)0且2ab与ab不共线，

高一3月月考数学试卷第5页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

12

则5(2)(2)(1)1250，解得.

5

2111112

又，即，所以的取值范围是,,.

522225

16.(1)由题可得，f(x)(sinxcosx)(sinxcosx)23sinxcosx

π

sin2xcos2x3sin2x3sin2xcos2x2sin(2x)

6

ππ

(2)由题意，函数yfxa2sin2xa在x0,有两个不同的零点，

62

ππ5ππ5π

令t2x,，则a2sint在t,有两个不同的解，

66666

aπ5π

故y与stsint的图象在,上有两个不同的交点，

266

πππ5π

而stsint在,为增函数，在,为减函数，

6226

π1π5π11a

且s,s1,s，故1，则1a2，即a(1,2).

6226222

17.（1）由bccosAacosBcosC和余弦定理，

b2c2a2a2c2b2a2b2c2

可得：bca，

2bc2ac2ab

b2c2a2b2c2a2a2c2b2a2b2c2

展开得，

2c2b2c2b

b2c2a2a2c2b2a2b2c2b2c2a2

即，

2c2c2b2b

2b22a22a22c2b2a2a2c2

所以，即，

2c2bcb

所以b3a2ba2cc3，即b3c3a2ca2b，

222

所以bcbbccacb，则b2bcc2a2，即b2c2a2bc，

b2c2a2bc1π

由余弦定理，cosA，因为A0,π，所以A；

2bc2bc23

21

（2）由CD2DB，可得ADAC2ABAD，即ADABAC，

33

242124414

两边取平方：ADABACAB·AC，即AD2c2b2bccosA，

999999

7412

依题意，bcc2b2bc，即4c2b25bc0，

9999

高一3月月考数学试卷第6页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

2

bbbbb

两边同时除以c2可得：540，1或4，因bc，则4．

ccccc

18．（1）在直角梯形ABCD中，易得ABC，BC22，

4

32BE3

∵AEBC0，∴AEBC，∴ABE为等腰直角三角形，∴BE，故；

2BC4

（2）AEABBEABBCABBAADDCABABADAB

3

2252

1ABAD，当时，AEABAD，

3393

52

设AMxAE，DMyDB，则AMxAExABxAD，

93

AMADDMADyDBADy(DAAB)yAB1yAD，

5

xy

9y5DM5

∵AB,AD不共线，∴，解得，即；

21y6MB6

x1y

3

12

（3）∵AFADDFAD(1)DCADAB，AEAD1AB，

33

152

∴AFAE1ADAB，

2263

22222

1252252

AFAE1|AD||AB|419

2263263

2

25241

＝(2)256，由题意知，0,1，

24

2

33341135

∴当时，AEAF取到最小值56＝，

555410

41113541

当0时，AEAF取到最大值，∴AFAE的取值范围是,．

22102

19．（1）因为OAOB1，AOB，所以OAABOA(OBOA)OAOB1cos1.

2

（2）①CACBOAOCOBOCOAOBOAOCOCOBOC.

π2π

设BOC，又60，所以0,，

33

1π2

则OAOB,OAOCcos,OCOBcos,OC1

23

高一3月月考数学试卷第7页，共9页

（北京）股份有限公司

（北京）股份有限公司

3π313

所以CACBcoscoscossincos

23222

3333313π

cossin3cossin3cos，

22222226

2πππ5π

因为0,，则,，

3666

π333π

所以cos,，则03cos3故CACB0,3；

62226

②设AMAC(01)，

则OMOAAMOAACOAOCOA1OAOCtOB，

t1t1

所以OCOB