等比数列的概念及其通项公式（第2课时）课件-高二下学期数学北师大版选择性

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

数列第3节

等比数列3.1等比数列的概念及其通项公式第2课时（共2课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、会根据等比数列的通项判断单调性.2、理解等比中项的概念．3、掌握等比数列性质．1、掌握等比数列的性质.2、理解等比中项的概念．1、掌握等比数列的性质.2、理解等比中项的概念．新

知

引

入数学王子——高斯1、什么叫作等比数列？2、等比数列的通项公式是什么？

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列.

称这个常数为等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．

首项为a1,公比为q的等比数列的通项公式为：an=a1·qn-1学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》等比数列扩展的通项公式an=amqn-m证明：

变形得：

典

例

引

路柯

西例1、（1）在等比数列{an}中，a1=3,a7=81,，则a11=_____

（2）在等比数列{an}中，a2=2,a6=8，则a8=________.

同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、（1）在等比数列{an}中，a4=2,a8=8，则a10=____．

学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》类比指数函数的性质，可得等比数列的单调性：等比数列的通项公式an=a1qn-1=__________

0＜q＜1q＞1q=1a1＞0a1＜0

单调递增单调递减单调递增单调递减常数列常数列典

例

引

路皮

亚

诺例2、若正项数列{an}是等比数列，则“a9＞a7”是“数列{an}为递增数列”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为正项数列{an}是等比数列，所以an＞0,q＞0，

当a9＞a7时，a7q2＞a7，解得q＞1，

所以数列{an}为递增数列，满足充分性；

当数列{an}为递增数列时，a9＞a7，满足必要性，

所以“a9＞a7”是“数列{an}为递增数列”的充要条件.C同

步

练

习庞加莱

D典

例

引

路傅里叶

B同

步

练

习莱布尼兹

A学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》等比中项

注意：1、

2、在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.等比中项有两个.典

例

引

路牛

顿例4、（1）2和4的等差中项为______，等比中项为_______．（2）2与8的等差中项是_______，等比中项是_______

;（3）647和895的等差中项是___；4和16的等比中项是____

.

解：设x是2与8的等差中项，则2x=2+8=10,x=5.

设y是2与8的等比中项，则y2=2×8=16,y=±4.解：设x是647与895的等差中项，则2x=647+895,x=771.

设y是4与16的等比中项，则y2=4×16=64,y=±8.同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

（3）已知sin15º和cos15º的等比中项为B，则B

=______

典

例

引

路狄利克雷例5、若log3x,log9(3x),log27(9x)成等比数列，则正数x的值为_____．

同

步

练

习黎

曼练5、若a,a+log23,a+log227成等比数列，则实数a=_________解：依题意得（a+log23)2=a(a+log227)∴a2+2(log23)a+(log23)2=a2+3(log23)a∴(log23)2=(log23)a∴a=log23学

习

新

知拉格朗日

注意：1、2、3、等号两边都是两项。特别的：当m+n=2t时，am·an=at2

证明：文字表述：下标之和相等，则项的乘积相等。典

例

引

路华罗庚例6、（1）在正项等比数列{an}中，a52+2a6a8+a92=100，则a5+a9=__________.解：∵100=a52+2a6a8+a92=（a5+a9)2∴a5+a9=±10∵an＞0∴a5+a9=10（2）已知等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…+log3a10=_____.解：∵18=a5a6+a4a7=2a5a6∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)·(a2a9)·(a3a8)·(a4a7)(a5a6)]=log3(a5a6)5=log395=log3310=10同

步

练

习陈景润练6、（1）在等比数列{an}中，a1a3+2a2a6+a5a7=16，则a2+a6=________．解：∵16=a1a3+2a2a6+a5a7=a22+2a2a6+a62=(a2+a6)2∴a2+a6=±4（2）等比数列{an}的各项为正数，若log3a1+log3a2+…+log3a12=12，则a6a7=__________.解：12=log3a1+log3a2+…+log3a12=log3(a1a2·…·loga12)=log3[(a1a12)(a2a11)…(a6a7)]=log3[(a6a7)6]=6log3(a6a7)∴log3(a6a7)=2∴a6a7=9学

习

新

知集合论之父——康托若q等比数列{an}的公比，则其子数列ak,ak+m,ak+2m，…(k,m∈N+)也成等比数列.即下标成等差数列的项构成等比数列典

例

引

路贝叶斯

解：∵a3,a6,a9的下标成等差数列∴a3,a6,a9是等比数列∴a62=a3a9

即36=a3×9∴a3=4A同

步

练

习洛必达练7、已知数列{an}是等比数列，且a5=12,a17=3，则a11=（

）A．3B．6C．3或-3D．6或-6解：∵a5,a11,a17的下标成等差数列∴a5,a11,a17是等比数列∴a112=a5a17=36∴a11=±6

又a11=a5·q6=12q6＞0∴a11=6B学

习

新

知

布

丰典

例

引

路丘成桐例8、三个数成等比数列，它们的积等于8，它们的和