第2课时勾股定理的逆定理的应用

第2课时勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理的应用1.小明想做一个直角三角形的木架,下列四组数分别作木架的边,则能够刚好做成的一组是(D)A.3cm,4cm,7cm B.6cm,8cm,12cmC.7cm,12cm,15cm D.8cm,15cm,17cmD2.某时刻渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图所示,经测得OA=4海里,OB=3海里,AB=5海里,渔船A位于灯塔O北偏东24°方向,则渔船B位于灯塔O南偏东

66

°方向.

66

3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五丈,中斜十二丈,大斜十三丈,欲知为田几何?”这道题讲的是:有一块三角形沙田,三条边长分别为5丈、12丈、13丈,问这块沙田面积有多大?(题中的“丈”是我国市制长度单位,1丈=10尺)则该沙田的面积为

30

平方丈.

30

勾股定理及其逆定理的综合应用5.如图,已知BD为△ABC的中线,AB=10,AD=6,BD=8,则△ABC的周长是

32

.

32

6.如图,AD=8cm,CD=6cm,∠ADC=90°,AB=26cm,BC=24cm,则该图形的面积为

96

cm2.

96

解:在△ABD中,∠A=90°,AB=4,AD=4,∴∠ADB=45°.根据勾股定理,得BD2=AB2+AD2=32.

∴BC2=40,CD2=8,∴BC2=CD2+BD2.根据勾股定理的逆定理,得△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,AD是边BC上的高,点E是AD上任一点,则EC2-EB2的值是(C)A.4 B.14C.28 D.条件不足,无法计算C

(1)求证:△ABM是直角三角形.

∴∠AMB=90°,△ABM是直角三角形.(2)求证:∠B+∠C=45°.(2)设BM的中点为N,连接AN,

∵∠AMB=90°,△ABM是直角三角形,AM=1,∴△AMN为等腰直角三角形,∴∠ANM=45°,∴∠ANM=∠B+∠BAN=45°.

∴△ABN≌△CAM(SSS),∴∠C=∠BAN,∴∠B+∠C=45°.11.《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.如表中的每一组数都是勾股数.3,4,57,24,2511,60,6115,112,11319,180,1814,3,58,15,1712,35,3716,63,6520,21,295,12,139,12,1513,84,8517,144,14521,28,356,8,1010,24,2614,48,5018,80,8222,120,122解:(1)由表中勾股数的规律可知,令a=10,b,c=26,则由勾股数定义可知a2+b2=c2,即102+b2=262,∴b2=262-102=(26+10)(26-10)=36×16,解得b=24或b=-24(舍去).故答案为24.(1)请补全表中的勾股数.(2)根据表中数据的规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明.(2)由题意可设,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n>0,m,n互质且一奇一偶);非本原勾股数:a=k(m2-n2),b=k(2mn),c=k(m2+n2)(k为正整数),证明:对于本原勾股数,计算a2+b2:(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2,非本原勾股数为k倍的本原勾股数,故a2+b2=k2[(m2-n2)2+(2mn)2]=k2(m2+n2)2=c2.同理,a=2kmn,b=k(m2-n2),c=k(m2+n2)成立.(3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1m.如果每个三角形最短边都种21株花