等腰三角形（3）等边三角形的判定与含30度角的直角三角形的性质定理课件北师大版数学八年级下册

北师大版八年级上册1.2等腰三角形（3）

学习目标1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)课前小测

已知：如图，在△ABC

中，AB=AC,点E在CA的延长线上，EP⊥BC,

垂足为P,EP交AB

于点F

。求证：△AEF

是等腰三角形。操作活动导入操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°等边三角形问题1：拼成的这个三角形的角有什么特点？30°30°三个角相等，都等于60°猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形，你能证明这个结论吗？证明活动一：三个角都相等的三角形是等边三角形30°30°已知：如图，∠A=∠B=∠C.求证：

AB=AC=BC.∵∠A=∠B,∴AC=BC.∵∠B=∠C,∴AB=AC.∴AB=AC=BC.证明：操作活动导入操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？30°30°等边三角形问题2：从拼的结果看，一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？30°30°有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形你能证明这个结论吗？证明活动二：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，∴∠A=60°(三角形内角和定理)．∴∠A=∠B=∠C=60°．∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．求证:△ABC是等边三角形．ACB60°归纳总结：等边三角形的判定条件定理：三个角都相等的三角形是等边三角形定理：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形注意等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形等边对等角、“三线合一”（即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合）的性质等边三角形也适用。操作活动导入操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？等边三角形30°30°问题3：观察拼成的图形，30°角的对边跟三角尺的斜边有什么关系？30°角的对边等于三角形斜边的一半猜想：在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°操作活动导入猜想：在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？30°

A30°BC猜想验证分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题转化“线段相等”问题

证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD，D30°ABC定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．

ABC30°推论：归纳总结例1已知：如图，AABC

是等边三角形，与BC

平行的直线分别交AB

和AC

于

点

D,E

。

求证：△ADE是等边三角形。证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C.∵DE//BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴∠A=∠ADE=∠AED.∴△ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？ACBDE变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.

如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,

求证：△ADE是等边三角形.∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°.∵AD=AE,∴△ADE是等腰三角形

∴△ADE是等边三角形.

又∵∠A=60°.ACBDE例2CBAD

如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高，求CD的长.

求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半。例3已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．求证:BD=DACB30°证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°∴BC=∠B=60°．∴∠BCD=30°，

∴BD=∴BD=即时检测：

1.

(2025·

资阳)如图，在四边形ABCD

中

，∠A=∠B,点E

在线段AB

上，CE//DA.

若使△BCE

成为等边三角形，可增加的一个条件是

2.如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在

距地面3

m

处折断，树尖

B恰好碰到地面.经

测量∠ABC=30°,则这棵树折断前的高度为（

）A.6

m

B.9

m

C.10

m

D.12

m

3.

已知：如图，

BD//AC,∠C=60°,DA平分∠BDC。

求证：△ACD

是等边三角形。

4.

如图，在△

ABC

中，∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△

ABC的高，

且BD=1,

求AD的长。拓展提升：

(教材新增习题变式)如图所示的是一款航模机

翼部分示意图.

已知

AB=AD=50cm,∠A=

60°,∠B=105°,∠C=45°,请计算该机翼(四边形ABCD)

的周长.

(结果保留根号)

解：连接

BD.

∵AB=AD=50

cm,∠A=60°,∴△ABD

是等边三角形.

∴AB=AD=BD=50cm,∠ABD=60°.

∵∠ABC=105°,∴∠CBD=45°.

∵∠C=45°,∴CD=BD=50cm,∠CDB=90°.∴BC=√CD²+BD²=50√2

cm.

∴

该机翼(四边形ABCD)

的周长为50+50+50+50√2=(150+50√2cm.课堂小结：等边三角形的判定及特殊的的直角三角形的性质1.等边三角形的判定:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三个角都相等的三角形是等边三角形．2.特殊的直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．3.数学方法：分类的思想．课后作业：基础必做题

如图，在△ABC中，∠C=90°

.

2.(跨学科融合)(新教材北师8下P18、人教8

上P85)如图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点，立柱

BC,DE

垂直于横梁

AC,AB=7.4m,∠A=30°,则立柱BC=m,DE=

m.

1.如图，在△ABC中∠C=90°(1)若∠A=30°,AB=8,

则BC=

(2)若∠B=60°,BC=3,

则AB=

课后作业：基础必做题

3.(2025兰州期末)如图，在△ABC

中

,∠ACB=90°,CD是

AB边上的高,∠

A=30°

.

求证：AB=4BD.4.(新教材北师8下P48、人

教

8

上P93)

如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点

D,E,F,

使

AD=BE=CF.求证：△DEF

是等边三角形.

C

课后作业：提升选做题

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=

30°,BC=12cm.

动点P从点A出发