题型突破构造直角三角形的综合运用

第二十章勾股定理题型突破构造直角三角形的综合运用题型

30°，45°，120°，135°等特殊角的处理例1如图1，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AB＝8.求BC的长．图1答图1解：如答图1，过点A作AD⊥BC于点D.∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∵∠B＝30°，AB＝8，∵∠BAC＝105°，∴∠CAD＝105°－60°＝45°.∴△ACD是等腰直角三角形．解：∵∠ACB＝120°，∠B＝30°，∴∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴AC＝BC.如答图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D.图2答图2在Rt△ACD中，∠A＝30°，∴AC＝2CD.设CD＝x，则AC＝2x.解得x＝1（负值已舍）．∴AC＝2x＝2.（解法不唯一，也可过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D）题型

分类讨论例2在△ABC中，AB＝20，AC＝15，边BC上的高为12，求△ABC的周长．解：过点A作AD⊥BC于点D，则AD为边BC上的高，AD＝12.分两种情况：①高AD在△ABC内，如答图3所示．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋DC2.答图3在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2.∴BC＝BD＋DC＝16＋9＝25.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋25＝60.②高AD在△ABC外，如答图4所示．在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC2＝AD2＋DC2.答图4在Rt△ADB中，由勾股定理，得AB2＝AD2＋BD2.∴BC＝BD－DC＝16－9＝7.∴△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝20＋15＋7＝42.综上，△ABC的周长为60或42.训练

2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为__________________．题型

中点问题例3如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD，M为BC的中点，且AM⊥DM，AM＝4，DM＝3.求AB＋CD的值．图3解：如答图5，延长DM交AB的延长线于点E.答图5∵AB∥CD，∴∠CDM＝∠E，∠C＝∠EBM.∵M为BC的中点，∴CM＝BM.∴△CDM≌△BEM（AAS）.∴EM＝DM＝3，CD＝BE.∵AM⊥DM，∴∠AME＝90°，即△AME为直角三角形．∴AB＋BE＝5.∴AB＋CD＝5.训练

3.如图4，在△ABC中，AD为边BC上的中线，AB＝3，AC＝5，AD＝2，求证：AD⊥AB.图4答图6证明：如答图6，延长AD至点E，使得DE＝DA，连接CE.∵AD为边BC上的中线，∴BD＝CD.又∠ADB＝∠EDC，AD＝ED，∴△ABD≌△ECD（SAS）.∴EC＝AB＝3，∠BAD＝∠E.又AE＝2AD＝4，AC＝5，∴AC2＝AE2＋CE2.∴△ACE是直角三角形，∠E＝90°.∴∠BAD＝∠E＝90°.∴AB⊥AD.题型

旋转模型例4如图5，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上．试判断线段AD，AE，AC之间满足的数量关系，并说明理由．图5答图7解：AD2＋AE2＝2AC2.理由如下：如答图7，连接BE.∵△ACB与△DCE都是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠DEC＝∠CAB＝45°，AC2＋BC2＝AB2

.∴2AC2＝AB2.∵∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE.∴△ADC≌△BEC（SAS）.∴AD＝BE，∠D＝∠BEC＝45°.∴∠BEA＝∠BEC＋∠DEC＝90°.在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴AE2＋AD2＝AB2＝2AC2.训练

4.如图6，△ACD，△ABE都是等边三角形．若BC＝8，AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长．图6解：∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∴AE＝AB，AC＝AD＝CD＝6，∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°.∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD.∴△EA