函数的极值与最大（小）值(2)课件-高二下学期数学人教A版选择性

5.3.2函数的极值与

最大(小)值(2)5.3导数在研究函数中的应用——函数的最值

复习回顾左正右负有极大值;左负右正有极小值.①求出函数f(x)的定义域，x∈_______；②求出函数的导数f

(x)=_______；③令f(x)=0，解得x=_______；④列表写出定义域内不同区间内导数f'(x)的符号，及f(x)在定义域内的单调性，先增后减有极大值，先减后增有极小值.求函数极值的步骤：⑤对函数f(x)的极值下结论.x

f(x)f(x)x1(x1,x2)x20－0极大值f(x1)↓极小值f(x2)(a,x1)(x2,b)+↑+↑[a,b]x1或x2复习回顾新知导入但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小.

函数在什么条件下一定有最大、最小值?

它们与函数极值关系如何？极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.

如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大(小)值点，那么f(x0)不小(大)于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值.新知探究在闭区间[a,b]上的连续函数必有最大值与最小值xOyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6f(x)max=f(a),f(x)min=f(x3)探究1：观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xOyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6在开区间(a,b)内的连续函数不一定有最大值与最小值.该函数没有最大值新知探究结论：一般的，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是

一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.xOyax1b

y=f(x)x2x3x4x5x6探究1：观察下列图形,你能找出函数的最值吗？新知探究探究2：观察下面定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象，找出最值并总结规律.发现图中____________是极小值，_____是极大值，在区间上的函数的最大值是_____，最小值是_____.f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)x3xx2Oabx1yy=f(x)结论：极值在函数的极值点或是端点处取到.新知探究思考：最值与极值有什么区别和联系？1.极大(小)值是函数的局部性质，最大（小）值是函数的整体性质；2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的；3.函数的极大值不一定大于极小值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外).4.函数的极大(小)值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最大（小）值可以在端点取到.最值与极值的联系是：最值有时是函数的极值.新知探究思考：如何求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤？2.求函数f(x)在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；1.求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)；3.将y=f(x)的各极值与f(a)，f(b)(端点处)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小值.举例应用

x

f(x)（舍）x(0,2)2(2,3)

f'(x)0f(x)+

–单调递减单调递增xyO423课堂练习

教材P94

x

f(x)f(x)

0+

↑

－↓x

f(x)课堂练习

教材P94解:(2)∵f(x)=x3－27x，其定义域为R，∴

f(x)=3x2－27=3(x－3)(x+3)，

令

f(x)=0，解得

x=－3或x=3.

列表如下：

x

f(x)f(x)－3(－3,3)30－0

↓(－4,－3)(3,4)+↑+↑x

f(x)f(3)=－54课堂练习

教材P94解:(3)∵f(x)=6+12x－x3，其定义域为∴

f(x)=12－3x2=3(4－x2)，

令

f(x)=0，解得

x=2或x=－2

列表如下：

∴当x=2时，f(x)有极大值，为f(2)=22.x

f(x)f(x)

2+0↑(2,3)－↓x

f(x)f(1)=22（舍）课堂练习

教材P94解:(4)∵f(x)=3x－x3，其定义域为R，∴

f(x)=3－3x2=3(1－x2)，

令

f(x)=0，解得

x=－1或x=1.

x

f(x)（舍）补充练习

解:补充练习

注意：闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.举例应用

怎么证明这个结论呢？

解：将不等式转化为设

，那么举例应用

怎么证明这个结论呢？所以，当x=1时，

s(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)s'(x)0s(x)–+单调递减单调递增所以，s(x)≥s(1)=0，

即故当x>0时，.课堂练习

教材P94所以,当x=1时,f(x)取得最小值.x(0,1)1(1,+∞)f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增所以,

f(x)≥f(1)=0,即x－lnx－1≥0解：将不等式lnx≤x－1转化为x－lnx－1≥0故当x>0时,

lnx≤x－1.补充练习

解:补充练习

2.已知函数(2)求函数

在区间上最值.解:(1)求曲线在点处的切线方程;课堂小结求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤：2.求函数f(x