第4课时完全平方公式的应用

第一章整式的乘除3乘法公式第4课时完全平方公式的应用想一想，怎样计算1022，1972更简单呢？解：（1）1022＝（100＋2）2＝1002＋2×100×2＋22＝10

000＋400＋4＝10

404.（2）1972＝（200－3）2＝2002－2×200×3＋32＝40

000－1

200＋9＝38

809.

1

用完全平方公式简化数的运算完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a－b）2＝a2－2ab＋b2.常用变形公式：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab，4ab＝（a

＋b）2－（a－b）2.【例1】利用乘法公式计算1982，下列方法正确的是（D）.A.1982＝2002－200×2＋22B.1982＝2002－22C.1982＝2002＋2×200×2＋22D.1982＝2002－2×200×2＋22D

与3952＋2×395×5＋52相等的是（C）.A.

（395－5）2B.

（395＋5）（395－5）C.

（395＋5）2D.

（395＋10）2C

2

乘法公式的综合运用利用整体思想，仔细辨认并灵活运用平方差公式和完全平方公式解决问题.【例2】下列各式中，可以用乘法公式计算的是（B）.A.

（a＋2b）（2a＋b）B.

（a－2b）（－a＋2b）C.

（a－2b）（b＋2a）D.

（a＋2b）（2a－b）计算：（a＋2b＋1）（a＋2b－1）＝

⁠.Ba2＋4ab＋4b2－1

1.

在下列多项式乘法中，可以用完全平方公式计算的是（B）.A.

（－2a－3b）（－2a＋3b）B.

（－3a＋4b）（4b－3a）C.

（a＋1）（a－1）D.

（a2－b）（a＋b2）B2.

（2025·光明区期中）下列运算正确的是（D）.A.

2a·3a＝6aB.

（a－2）2＝a2－4C.

（－ab）2＝－ab2D.

（a＋1）（a－1）＝a2－1

A.4B.2C.0D.6DB4.

（2025·宝安区期末）如图，4个长为a，宽为b的小长方形围成了一个大

正方形，若a＋b＝16，ab＝48，则a－b＝

⁠.解析：由题图可知，（a－b）2＝（a＋b）2－4ab，因为a＋b＝16，ab＝48，所以（a－b）2＝162－4×48＝64，所以a－b＝8.85.

计算：（1）1012；解：1012＝（100＋1）2＝10

000＋2×100×1＋1＝10

200＋1＝10

201.5.

计算：（2）9982；解：9982＝（1

000－2）2＝1

000

000－2×1

000×2＋4＝996

000＋4＝996

004.5.

计算：（3）222－2×44＋4；解：222－2×44＋4＝222－2×22×2＋22＝（22－2）2＝400.5.

计算：（4）1

0112－1

010×1

012.解：1

0112－1

010×1

012＝1

0112－（1

011－1）×（1

011＋1）＝1

0112－（1

0112－1）＝1

0112－1

0112＋1＝1.6.

计算：（1）（7ab＋2）2；解：（7ab＋2）2＝49a2b2＋2·7ab·2＋4＝49a2b2＋28ab＋4.6.

计算：（2）m（m＋2n）－（m＋1）2＋2m；解：m（m＋2n）－（m＋1）2＋2m＝m2＋2mn－m2－2m－1＋2m＝2mn－1.6.

计算：（3）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2；解：（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2＝6a2－7ab－b2.6.

计算：（4）（x＋2y－3z）（2y＋3z＋x）.解：（x＋2y－3z）（2y＋3z＋x）＝[（x＋2y）－3z][（x＋2y）＋3z]＝（x＋2y）2－（3z）2＝x2＋4xy＋4y2－9z2.

7.

五一劳动节即将来临，有关部门计划在某广场规划出一块长为（5a＋b）

米，宽为（2a＋b）米的长方形地块.在其内部选取一块边长为（a＋b）米

的正方形地块用作劳动节活动宣传展区，并在左边修建一条宽为2a米的长方

形步行街，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.（1）用含a，b的代数式表示绿化的面积是多少平方米（结果要化简）.解：由题意得，绿化的面积为（5a＋b）（2a＋b）－（a＋b）2－2a[（5a＋b）－（a＋b）]＝10a2＋5ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2－2a×4a＝10a2＋5ab＋2ab＋b2－a2－2ab－b2－8a2＝a2＋5ab，所以绿化的面积是（a2＋5ab）平方米.7.

五一劳动节即将来临，有关部门计划在某广场规划出一块长为（5a＋b）

米，宽为（2a＋b）米的长方形地块.在其内部选取一块边长为（a＋b）米

的正方形地块用作劳动节活动宣传展区，并在左边修建一条宽为2a米的长方

形步行街，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示.（2）若a＝2，b＝5，请求出绿化面积.解：若a＝2，b＝5，则a2＋5ab＝22＋5×2×5＝4＋50＝54（平方米），所以绿化面积是54平方米.参考答案【新课引入】解：（1）1022＝（100＋2）2＝1002＋2×100×2＋22＝10

000＋400＋4＝10

404.（2）1972＝（200－3）2＝2002－2×200×3＋32＝40

000－1

200＋9＝38

809.【新课导学】【例1】

D对点训练1

C【例2】

B对点训练2

a2＋4ab＋4b2－1【随堂小测】1.

B

2.D

3.B4.8

解析：由题图可知，（a－b）2＝（a＋b）2－4ab，因为a＋b＝16，ab＝48，所以（a－b）2＝162－4×48＝64，所以a－b＝8.5.

解：

（1）1012＝（100＋1）2＝10

000＋2×100×1＋1＝10

200＋1＝10

201.（2）9982＝（1

000－2）2＝1

000

000－2×1

000×2＋4＝996

000＋4＝996

004.（3）222－2×44＋4＝222－2×22×2＋22＝（22－2）2＝400.（4）1

0112－1

010×1

012＝1

0112－（1

011－1）×（1

011＋1）＝1

0112－（1

0112－1）＝1

0112－1

0112＋1＝1.6.

解：（1）（7ab＋2）2＝49a2b2＋2·7ab·2＋4＝49a2b2＋28ab＋4.（2）m（m＋2n）－（m＋1）2＋2m＝m2＋2mn－m2－2m－1＋2m＝2mn－1.（3）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2＝6a2－7ab－b2.（4）（x＋2y－3z）（2y＋3z＋x）＝[（x＋2y）－3z][（x＋2y）＋3z]＝（x＋2y）2－（3z）2＝x2＋4xy＋4y2－9z2.7.

解：

（1）由题意得，绿化的面积为（5a＋b）（2a＋b）－（a＋b）2－2a[（5a＋b）－（a＋b）