用一次函数解决问题（第1课时）建立一次函数模型解决实际问题课件苏科版八年级数学上册

5.4用一次函数解决问题

第1课时

建立一次函数模型解决实际问题12利用实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的表达式.通过用一次函数表述数量变化及其关系的过程，体会模型思想．问题情境当一个纸杯的高度是9.5cm，每叠放1个纸杯，纸杯的总高度增加0.5cm．请你列出纸杯总高度(y)和纸杯个数(x)之间的函数表达式.函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数．9.5cm0.5cm问题情境

为了方便运输和销售，生产企业常把相同的纸杯叠放成一摞进行包装.当一摞纸杯的个数分别是5，10，15，20，25时，每摞纸杯的总高度分别是多少？当x＝5时，y＝9.5＋0.5×(5－1)＝11.5cm；当x＝10时，y＝9.5＋0.5×(10－1)＝14cm；当x＝15时，y＝9.5＋0.5×(15－1)＝16.5cm；当x＝20时，y＝9.5＋0.5×(20－1)＝19cm；当x＝25时，y＝9.5＋0.5×(25－1)＝21.5cm．

建立一次函数的模型，可以帮助我们解决一类实际问题．函数表达式为y＝9.5＋0.5(x－1)，其中自变量x取正整数．典例分析例1某工厂生产纸杯，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/批，每天生产的产品以1200元/批全部售出．(1)说明每天的利润y元是生产数量x批的函数，并写出函数表达式；(2)如果某天生产了50批产品，那么这天的利润是多少元？思考：你能从情境中获得哪些信息？这些信息中，有哪些数量的信息？这些数量之间有什么关系？你能运用什么方法描述这些数量之间的关系？利润＝销售额－（固定成本＋原料及加工成本）随着生产数量的变化而变化典例分析例1某工厂生产纸杯，已知该工厂正常运转的固定成本为12000元/天，该种产品的原料及加工成本为900元/批，每天生产的产品以1200元/批全部售出．(1)说明每天的利润y元是生产数量x批的函数，并写出函数表达式；(2)如果某天生产了50批产品，那么这天的利润是多少元？解：(1)根据题意，利润y元随生产产品的数量x件的变化而变化，当产品数量确定时，利润随之确定，y是x的函数，其函数表达式为

y＝1200x－(900x＋12000)．即y＝300x－12000．(2)当x＝50时，y＝300×50－12000＝3000(元)．

答：这天的利润是3000元．追问：要使得该工厂某天的利润超过9000元，这天至少需要生产多少批产品？

解：300x－12000＞9000，

解得

x＞70．∴要使该工厂某天的利润超过9000元，每天至少需要生产71批产品.建立一次函数表达式的常用方法（1）根据基本的量之间的关系列函数表达式，例如规律、公式等.（2）若题目中已明确给出两变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数表达式.（3）若题目中已明确给出两变量变化关系的图象或表格，则可先分辨出其函数类型，然后用待定系数法求出函数表达式.讨论交流（1）设定实际问题中的两个变量；（2）建立一次函数表达式；（3）确定自变量的

取值范围，

保证变量具有实际意义；（4）解答一次函数问题；（5）写出答案．运用一次函数的知识解决实际问题的一般步骤是什么？变式1.公式L=L0十KP表示当重力为P时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度,L0(cm)代表弹簧的初始长度,K(cm)表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度.下面给出的四个公式中表明这是一个短而硬的弹簧的是（

）A.L=10+0.5PB.L=10+5PC.L=80+0.5PD.L=80+5PA变式2.（

）B新知巩固1.通过进水管给蓄水池匀速注水，注水时间为1h时，蓄水池中水量达到400m3；注水时间为2.5h时，蓄水池中水量达到850m3．(1)说明蓄水池的水量Qm³是注水时间th的函数，并写出函数表达式．(2)注水前，蓄水池里有水吗？如果有，有多少立方米？(3)当注水时间为多少时，蓄水池中水量可达到1000m3？新知巩固2.书店管理员将一批每本厚度为2.4cm的书整理堆放在高度为50cm的柜子上.考虑安全因素，最上面一本书的上表面距地面的高度不能高于1.4m．(1)说明最上面那本书上表面距地面的高度ycm是书的数量x本的函数，并写出函数表达式及自变量的取值范围；(2)每摞最多可以摆放多少本书？解：(1)根据题意，最上面那本书上表面距地面的高度y(cm)随书的数量x(本)的变化而变化，当书的本数确定时，最上面那本书上表面距地面的高度随之确定，y是x的函数．函数表达式为

y＝0.5＋0.024x．由题意，得0.5＋0.024x≤1.4，解得x≤37.5，所以0＜x≤37，x为整数．(2)每摞最多可以摆放37本书．中考链接

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（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元．甲、乙两种文具各购买了多少个？

能力提升1.甲快递公司关于普通小件物品的收费标准如下表：1千克及以内超过1千克的部分8元2元/千克（不足1千克按1千克计）设物品的质量为x千克，甲快递公司的快递费为y元．若y＝14，则x的取值范围是

3＜x≤4

.3＜x≤4

能力提升

(1)请直接写出y1，y2与x之间的函数表达式；

(2)若小红家共有5人一起去旅游，请通过计算说明小红家选择哪家旅行社比较合算；解：(2)

A旅行社：当x＝5时，45x＋45＝270；B旅行社：当x＝5时，60x＝300．∵

270＜300，∴应选择A旅行社比较合算．能力提升(3)请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社所需费用较低．解：(3)当45x＋45＜60x，即x＞3时，选择A旅行社所需费用较低；当45x＋45＝60x，即x＝3时，选择A，B两家旅行社所需费用一样；当45x＋45＞60x，即0＜x＜3时，选择B旅行社所需费用较低．课堂小结建立一次函数模型解决实际问题实际问题抽象一次函数模型数学结果利用表达式求解实际结果解释、检验反馈或图像感谢聆听！选做：随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表：A超市B超市优惠方案所有商品按8折出售购物金额每满100元返30元（1）当购物金额为80元时，选择

超市更省钱；当购物金额为130元时，选择

超市更省钱（填“A”或“B”）.AB

（2）当购物金额为x（0＜x＜200）元时，请分别写出两家超市的实付金额y（元）与购物金额x（元）之间的函数表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.

4.为迎接“十一”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.已知甲、乙两种运动鞋的进价分别为100元/双、80元/双，售价分别为240元/双、160元/双.(1)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润＝售价－进价)不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？

（2）在（1）的进货方案下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变，那么该专卖店要获得最大利润应选择哪种进货方案？解：设总利润为W元.由题意得，W＝（240－100－a）x＋（160－80）（200－x）

＝（60－a）x＋16000（95≤x≤105）①当50＜a＜60时，60－a＞0，此时W随x的增大而增大，∴

当x＝105时，W有最大值，200－x＝95，∴

此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双.②

当a＝60时，60－a＝0，W＝16000∴（1）中所有方案获得的最大利润都为16000元，分别为购进甲种运动鞋95双，乙种运动鞋105双；甲种96双，乙种104双；甲种97双，乙种103双；甲种98双，乙种102双；甲种99双，乙种101双；甲种100双，乙种100双；甲种101双，乙种99双；甲种102双，乙种98双；甲种103双，乙种97双；甲种104双，乙种96双；甲种105双，乙种95双.③当60＜a