平行四边形课件人教版数学八年级下册

21.2平行四边形

平行四边形（第1课时）

观察下列图片，从中能否找到平行四边形的形象？

你知道什么样的图形叫作平行四边形吗？新知

定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．ABCD

平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

判定：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．ABCD

平行四边形的定义可以看作是判定，也可以看作是性质，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形；平行四边形的两组对边分别平行．

性质：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC．新知

平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”．

注意：当表示一个平行四边形时，字母要按照一定的顺序排列，顺时针、逆时针排列均可．ABCD

我们用符号“△”与三个顶点字母表示三角形，对于平行四边形，我们也有类似的表示方法吗？新知ABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD的四组邻边．

对边邻边有公共顶点的边没有公共顶点的边边

_____________________是▱ABCD的两组对边．

平行四边形的基本元素：AB

和

AD，AD

和

CD，CD

和

BC，BC

和

ABAB

和

CD，AD

和

BCABCD

如图，_______________________________________________是▱ABCD的四组邻角．对角邻角有公共边的角没有公共边的角角

______________________是▱ABCD的两组对角．

平行四边形的基本元素：∠B

和∠A，∠A和∠D，∠D

和∠C，∠C

和∠B∠B

和∠D，∠A

和∠C问题

由平行四边形的定义，我们知道平行四边形的两组对边分别平行．除此之外，平行四边形还有什么性质呢？ABCD探究

根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？ABCD

AB＝CD，AD＝BC；

65°115°65°115°

∠B＝∠D，∠A＝∠C．

探究

根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

思考：你能证明这些猜想吗？ABCD

猜想：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD

分析：猜想涉及线段相等、角相等．我们知道，利用三角形全等得出全等三角形的对应边、对应角都相等，是证明线段相等、角相等的一种重要的方法．为此，我们通过添加辅助线，构造两个三角形，通过三角形全等进行证明．ABCD

证明：如图，连接BD．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD．∴∠ABD＋∠CBD＝∠ADB＋∠CDB．

即∠ABC＝∠ADC．

又∵BD＝DB，∴△ABD≌△CDB

（ASA）．∴∠A＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．思考

不添加辅助线，你能否直接运用平行四边形的定义，证明其对角相等？∴AD∥BC，AB∥CD．

证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．

ABCD∴∠B＝∠D．

同理可证明∠A＝∠C．

符号语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝CB，∠A＝∠C，∠B＝∠D．ABCD平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．新知

例1

如图，在▱ABCD中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝40°，∴∠D＝∠B＝40°，∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠A＝∠C＝180°－40°＝140°．ABCD

例1

如图，在▱ABCD中，（1）若∠B＝40°，求其余三个角的度数；（2）若AD＝8，▱ABCD的周长为24，求其余三条边的长度．

解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8，∴BC＝AD＝8，AB＝CD，∵▱ABCD的周长为24，∴BC＋AD＋AB＋CD＝24．∴2AB＝2CD＝24－8×2＝8．∴AB＝CD＝4．ABCD总结

在平行四边形中，可“知一求三”

在平行四边形中，已知一个内角的度数，利用平行四边形的性质，可以求出其余三个内角的大小．

例2

如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．求证AE＝CF．ABCDEF

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB＝90°．∴△AED≌△CFB（AAS）．∴AE＝CF．问题ABCDO

如图，在▱ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O，点O把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？OA＝OC，OB＝OD．O为AC的中点O为BD的中点AC与BD互相平分

猜想：平行四边形的对角线互相平分．

你能证明这个猜想吗？

猜想：平行四边形的对角线互相平分．

已知：如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O．求证：OA＝OC，OB＝OD．ABCDO

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO．

∴△AOB≌△COD（ASA），∴OA＝OC，OB＝OD．新知

符号语言：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD．平行四边形的对角线互相平分．ABCDO

例3

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及▱ABCD的面积．ABCDO

解：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，OA＝OC．∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．

∴AC＝＝＝6．∵OA＝OC，∴OA＝AC＝3．∴S▱ABCD＝BC·AC＝8×6＝48．

用S表示面积时，常在它的下脚注上所求面积的图形标记，例如S▱ABCD表示▱ABCD的面积．问题

如图，在▱ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，则△AOB与△AOD的面积的大小关系是什么？E

解：如图，过点A作AE⊥BD于点E．

∵在▱ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，

∴OB＝OD．

∵S△AOB＝AE·OB，S△AOD＝AE·OD，

∴S△AOB＝S△AOD．ABCDO△AOB≌△COD

还有哪些三角形的面积和△AOB与△AOD的面积相等？S△AOB＝S△COD△AOD≌△COBS△AOD＝S△COBS△AOB＝S△AOD＝S△COD＝S△COBABCDO问题归纳

两条对角线把平行四边形分成四个三角形，它们的面积都相等，且相对的两个三角形全等．△ABD≌△CDB思考

图中还有其他面积相等的三角形吗？ABCDOS△ABD＝S△CDB△ACD≌△CABS△ACD＝S△CAB

△CDB

与△ACD是两个同底等高的三角形．＝

△ABD

与▱ABCD的面积的大小关系是什么？△ABD≌△CDB思考

图中还有其他面积相等的三角形吗？S△ABD＝S△CDB△ACD≌△CABS△ACD＝S△CAB＝ABCDOS▱ABCD＝

S△ABD＋S△CDBS△ABD＝S▱ABCD

（1）平行四边形的每一条对角线都可以将平行四边形分为两个全等的三角形．（2）等底等高的平行四边形与三角形面积间的关系：三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．归纳平行四边形对角线互相平分平行四边形的定义及表示方法平行四边形的性质与平行四边形的面积相关的三角形面积问题平行四边形（第2课时）

有两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形．

1．平行四边形的定义是什么？

2．平行四边形的边、角、对角线有哪些性质？

平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；

平行四边形的对角线互相平分.

相等，理由如下：

如图，直线a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点，AB和CD相等吗？为什么？问题

∵AB∥CD，AC∥BD，

∴AB＝CD（平行四边形的性质）．

∴四边形ABDC是平行四边形（平行四边形的定义）．ACBDabcd

夹在两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．

∴根据两条平行线之间的任何两条平行线段都相等，得AB＝CD．

如图，如果直线a∥b，c⊥b，d⊥b，那么AB和CD相等吗？思考

∴c∥d，即AB∥CD．

∵c⊥b，d⊥b，

∵AC∥BD，ACBDabcd

如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．

如图，a∥b，A

是a

上的任意一点，AB⊥b，B

是垂足，线段AB

的长就是a，b

之间的距离．

两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．两条平行线之间的距离处处相等．BAba新知

点与点之间的距离是定义点到直线的距离、两条平行线之间距离的基础，它们本质上都是点与点之间的距离．

两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？思考

任何两条平行线之间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度．G

例1

如图，直线a∥b，点A，E，F在直线a上，点B，C，D在直线b上，BC＝EF．求证S△ABC＝S△DEF．ADabBCEF

证明：如图，作AG⊥b，DH⊥a，垂足分别为点G，H．则S△ABC＝

BC·AG，S△DEF＝

EF·DH．

∵a∥b，AG⊥b，DH⊥a，∴AG＝DH．

又∵BC＝EF，∴S△ABC＝S△DEF．H总结

两条平行线之间的距离处处相等，这一性质有着广泛的应用．平行四边形的高、桥宽、路宽等都是指两条平行线之间的距离．

例2

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．求证∠B=∠C.

分析：由于AD∥BC，可以考虑运用平行线之间的距离，通过三角形全等进行证明.

例2

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．求证∠B=∠C.

证明：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．∵AE，DF的长都是平行线AD，BC之间的距离，∴AE=DF.又AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.平行四边形两条平行线之间的距离平行四边形（第3课时）

平行四边形的对边平行且相等；

平行四边形的对角相等；

平行四边形有哪些性质？

平行四边形的对角线互相平分．类型一、利用平行四边形的性质求角的度数

1．如图，在▱ABCD中，∠B＝120°，DE⊥AB于点

E，DF⊥BC于点

F．求∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．

解：∵四边形

ABCD是平行四边形，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝180°－∠B＝60°．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠ADE＝∠FDC＝90°－60°＝30°．∵∠ADC＝∠B＝120°，∴∠EDF＝120°－30°－30°＝60°．平行四边形性质的作用（1）利用边的性质可以证明对边平行或对边相等；（2）利用角的性质可以证明对角相等或邻角互补；（3）利用对角线的性质可以证明线段相等或线段的倍分关系．归纳类型二、利用平行四边形的性质求线段的长

2．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于点P，Q，再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为____________．2

解析：由作图过程可知，BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC．∵四边形

ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5．∴∠AEB＝∠EBC．∴∠ABE＝∠AEB．∴AE＝AB＝3．∴DE＝AD－AE＝5－3＝2．ACDBE“平行线＋角平分线”的基本模型归纳

如图，若已知

AB∥CD，CE平分∠ACD，则易证△ACE是一个等腰三角形．

这个基本模型在平行线、三角形、平行四边形等有关知识中求边、角运算时，应用非常广泛．类型三、利用平行四边形的性质进行推理论证

3．如图，▱ABCD的对角线

AC，BD相交于点

O，EF过点

O且与

AB，CD分别相交于点

E，F，连接

EC．（1）求证：OE＝OF．

分析：（1）根据平行四边形的性质，可得

OA＝____，OB＝____，AD∥____，AB∥____，因此要证

OE＝OF，只需证明______________________________________全等即可．OCODBCCD△AOE和△COF（或△BOE和△DOF）

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，DC∥AB．∴∠FDO＝∠EBO．在△DFO和△BEO中，∴△DFO≌△BEO（ASA）．∴OE＝OF．

3．如图，▱ABCD的对角线

AC，BD相交于点

O，EF过点

O且与

AB，CD分别相交于点

E，F，连接

EC．（2）若

EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．

分析：（2）要求▱ABCD的周长，需求___________和___________的长，由

EF⊥AC且

EF平分

AC可得，EF是

AC的_________线，再利用其性质可把△BEC的周长10转化为线段_____和_____的和．AB（或CD）BC（或AD）垂直平分ABBC

解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC．∵EF⊥AC，

∴AE＝CE．∵△BEC的周长是10，∴BC＋BE＋CE＝BC＋BE＋AE＝BC＋AB＝10．∴▱ABCD的周长为2(BC＋AB)＝20．平行（四边形）全等（三角形）不分家利用平行四边形的性质可得等角和等边，进而由等角和等边证明相关三角形全等，这是平行四边形中证明等量关系的常用方法和思路．归纳类型四、与平行四边形的面积相关的计算题

4．如图，E是▱ABCD内任意一点，若▱ABCD的面积是6，连接点

E与▱ABCD的四个顶点，求图中阴影部分的面积．

分析：阴影部分的面积就是△ADE和△BCE的面积之和，找到这两个三角形的底和高与▱ABCD的底和高的关系，就能求出阴影部分的面积．ABCDE

解：如图，过点

E作

MN⊥BC于点

N，交

AD于点

M．ABCDEMN

∵四边形

ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，且

BC＝AD，则

NM⊥AD．∵S△ADE＝

AD·EM，S△BCE＝

BC·EN，∴S阴影＝S△ADE＋S△BCE＝

AD·EM＋

BC·EN

＝

BC·(EM＋EN)＝

BC·MN．又∵▱ABCD的面积是6，即

S▱ABCD＝BC·MN＝6，∴S阴影＝

BC·MN＝

×6＝3．

平行四边形的对边平行，因此，一组对边之间的垂线段的长就是这两边之间的距离，这是平行四边形面积计算中确定高的常用方法．同时还可得出一个结论：此题中，无论点E在平行四边形内的什么位置，阴影部分的面积都等于平行四边形面积的一半．归纳类型五、平行四边形中的折叠问题

5．如图，将▱ABCD沿对角线

AC折叠，使点

B落在点

B′处，若∠1＝∠2＝44°，求∠B的度数．

解：∵四边形

ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC．由折叠的性质，得∠BAC＝∠B′AC，∴∠ACD＝∠BAC＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°－∠2－∠ACD＝114°．抓住本质巧解平行四边形折叠问题折叠问题的实质是轴对称，因此，通过图形的折叠可得等角和等边，再结合平行四边形的性质，即可解决边或角的求值问题．归纳题目类型利用平行四边形的性质求角的度数利用平行四边形的性质求线段的长利用平行四边形的性质进行推理论证平行四边形中的折叠问题与平行四边形的面积相关的计算题平行四边形性质的综合应用平行四边形

（第4课时）

如图，在▱ABCD

中，对角线AC

与BD

相交于点O．（1）已知AB＝5，求DC

的长；（2）已知∠DAB＝120°，求∠BCD

的度数；（3）已知AC＝5，BD＝8.6，求CO

和BO

的长．ADBCO

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝5，∴DC＝AB＝5．

解：（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝120°，∴∠BCD＝∠DAB＝120°．

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC

与BD

相交于点O，AC＝5，BD＝8.6，∴CO＝AC＝2.5，BO＝

BD＝4.3．

平行四边形的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分．ADBCO思考

怎样判定一个四边形是平行四边形呢？ABCD四边形ABCD

根据平行四边形的定义进行判定．如果AB∥CD，

AD∥BC▱ABCDBDAC

符号语言：

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

两组对边分别平行的四边形是平行四边形．ABCD归纳

根据定义，可以判定一个四边形是不是平行四边形．除了平行四边形的定义，我们如何寻找其他的判定方法呢？问题性质判定互逆定理等腰三角形

ABC

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

如果一个三角形有两条边相等，那么这两条边所对的角也相等．

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．题设结论

由平行四边形的性质定理，逆向思考，写出它们的逆命题．探究平行四边形的性质逆命题平行四边形的对边相等平行四边形的对角相等平行四边形的对角线互相平分两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形

你能根据平行四边形的定义证明这些猜想吗？

1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

2．两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

3．对角线互相平分的四边形是平行四边形．猜想

由此可以得到判定平行四边形的三种方法：

猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

已知：如图，在四边形

ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．

求证：四边形

ABCD是平行四边形．

分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即必须证明AB∥CD，AD∥BC．ABCD

猜想1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

已知：如图，在四边形

ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．

求证：四边形

ABCD是平行四边形．ABCD

证明：如图，连接BD．

∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB．

∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CDB．

∴AD∥BC，AB∥CD．

∴四边形

ABCD是平行四边形．

猜想2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

已知：如图，在四边形

ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D．

求证：四边形

ABCD是平行四边形．

证明：在四边形

ABCD中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°．∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°．∴AD∥BC，AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．

ABCD

猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．

已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．

证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD．∴∠OAB＝∠OCD．

∴AB∥CD．同理AD∥BC．

∴四边形ABCD是平行四边形．ABCDO新知

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．

符号语言：

∵AB＝CD，AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

两组对边分别相等的四边形是平行四边形．ABCD新知

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．

符号语言：

∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，

∴四边形ABCD是平行四边形．

两组对角分别相等的四边形是平行四边形．ABCD新知

平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理．

符号语言：

∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

对角线互相平分的四边形是平行四边形．ABCDO

例

如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在

AC上，并且AE＝CF．

求证：四边形BFDE是平行四边形．ABCDOEFABCDOEF

证明（方法1）：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO．∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF．∴EO＝FO．∵BO＝DO，∴四边形BFDE

是平行四边形．

你还有其他证明方法吗？ABCDOEF

证明（方法2）：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC．∴∠DAC＝∠BCA．∵AE＝CF，∴△AED≌△CFB．∴ED＝FB．同理BE＝DF．∴四边形BFDE

是平行四边形．

在证明平行四边形时，若条件集中在对角线上，运用与对角线有关的判定定理解决问题相对简便，分析问题条件的特点，选择适当的判定定理，可以帮助我们获得简便的解题方法．归纳平行四边形的判定对角线互相平分的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形平行四边形（第5课时）

我们上节课所学的判定平行四边形的方法：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

对角线互相平分的四边形是平行四边形．

根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？问题

分析：根据平行四边形的性质，可知“如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等”．它的逆命题是“如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形”．

猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

你能证明这个猜想吗？思考

已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD

分析：条件中已有AB＝CD，只需证明AD＝BC，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定．“”表示平行且相等．||||

证明：连接AC．

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．

又∵AB＝CD，AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．

∴四边形ABCD是平行四边形．

∴BC＝AD．

已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD

你还有其他证明方法吗？

已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD

分析：条件中已有AB∥CD，只需证明AD∥BC，利用平行四边形的定义进行判定．

证明：连接AC．

∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA．

又∵AB＝CD，AC＝CA，

∴△ABC≌△CDA（SAS）．∴四边形ABCD是平行四边形．

∴AD∥BC．

∴∠ACB＝∠CAD，

已知：如图，在四边形ABCD中，ABCD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCD新知

通过证明，我们又得到平行四边形的一个判定定理：

符号语言：

∵AB∥CD，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形．

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．ABCD思考

一组对边平行，另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，四边形ABCD是等腰梯形．

一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形．ABCD思考

一组对边相等，一组对角相等的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请举例说明．

如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D，四边形ABCD不是平行四边形．

一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形．ABCD问题

现在你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？边角对角线两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

例1

如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．求证：DEBF．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD.又∵EB＝AB，DF＝CD，∴EBDF，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DEBF．

例2

如图，在四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，AE＝CF，

BF＝DE，求证：四边形ABCD是平行四边形．ABCDEF

分析：方法1：通过证明AB∥CD，AD∥BC

证得结论；方法2：通过证明AB＝CD，AD＝CB

证得结论；方法3：通过证明∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD证得结论；方法4：通过证明AB＝CD，AB∥CD

证得结论；方法5：连接另一条对角线AC，交BD

于点O，通过证明AO＝OC，BO＝OD

证得结论．ABCDEF

请选择你认为简便的方法进行证明．OABCDEF

证明：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF．∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°．又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF．∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF．∴AB∥CD．∴四边形ABCD是平行四边形．归纳巧选平行四边形的证明思路已知条件证明思路一组对边相等①另一组对边也相等②相等的边也平行一组对边平行①另一组对边也平行②平行的边也相等一组对角相等另一组对角也相等对角线相交对角线互相平分平行四边形的判定选择适当的方法判定平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形（第6课时）

铁匠师傅要把一块周长为30cm的等边三角形铁皮，裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮，你能帮助他想出办法吗？说说你的想法．你能求出每块小三角形铁皮的周长是多少吗？ABC

每块小三角形铁皮的周长是15cm．

∴DE＝DF＝EF＝5

cm．

则AD＝DB＝BF＝FC＝CE＝AE＝5cm．

取AB，AC，BC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．

∴△ADE≌△DBF≌△EFC，且都是等边三角形．ABCDEF

∴△ADE≌△DBF≌△EFC≌△DEF．

如果是任意一块三角形铁皮，如何把它裁成四块形状大小完全相同的小三角形铁皮呢？每块小三角形铁皮和原三角形铁皮的周长有什么关系？ABCFDE

取AB，AC，BC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF．

ABCDE新知

如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．

三角形的中位线满足的条件：①是一条线段；②连接三角形两边中点．思考

一个三角形有几条中位线？

一个三角形有三条中位线．

如图，在△ABC中，若点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，则DE，DF，EF是△ABC的中位线．FDEABC思考

三角形的中位线和中线一样吗？

中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段，中位线是连接三角形两边中点的线段．

如图，在△ABC中，若点D，E分别是AB，AC的中点，则CD，BE是△ABC的中线，DE是△ABC的中位线．DEABCABCDE

观察下图，你能发现△ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？度量一下，DE与BC之间有什么数量关系？

猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．问题59°59°36

DE∥BC，DE＝BC．

你能证明这个猜想吗？问题

已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．

求证：DE∥BC，且DE＝BC．ABCDE

分析：我们既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半．ABCDE

如同，将DE延长一倍（得到点F）后，可以将证明DE＝BC，且DE=BC转化为证明DFBC，而这只要证明以B，C，F，D为顶点的四边形是平行四边形，进而只要证明四边形ADCF是平行四边形．F

由于DE=EF，E是AC的中点，所以四边形ADCF是平行四边形可以利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明.

证明：如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF．ABCDEF

∵AE＝CE，DE＝EF，

∴四边形ADCF是平行四边形．

∴CF

DA．又∵D是AB的中点，∴CFBD.||||

又∵DE＝DF，

∴DE∥BC，且DE＝BC．

∴四边形DBCF是平行四边形.∴DF

BC．||||||||新知

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．ABCDE

符号语言：

∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，且DE＝BC．提醒

三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以证两直线平行；二是数量关系，可以证线段的倍分关系．

（1）已知△ABC的面积是S，顺次连接各边中点D，E，F所得的四个三角形的面积各是多少？练习

解：（1）∵由三角形的中位线定理，得EF＝

AB＝AD，DF＝AC＝AE．又∵DE＝ED，∴△ADE≌△FED（SSS）．同理

△FED≌△DBF，△FED≌△EFC．

∴S△ADE＝S△FED＝S△DBF＝S△EFC＝S．FDEABC

（2）如果△ABC三边的长分别为a，b，c，那么顺次连接各边中点D，E，F所得的四个三角形周长分别是多少？练习

解：（2）∵根据三角形的中位线定理，得

DE＝

a，EF＝

c，DF＝b，∴△DEF的周长＝a＋b＋c＝(a＋b＋c)．由（1）知△FED≌△ADE≌△DBF≌△EFC，

∴△ADE，△DBF，△EFC的周长也是

(a＋b＋c)．FDEABC归纳

一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形．每个小三角形的周长都是原三角形周长的，每个小三角形的面积都是原三角形面积的．

例1

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E分别是边AB，AC

的中点，DE＝4，AC＝10，求AB

的长．

解：∵D，E分别是边AB，AC

的中点，∴DE

是△ABC

的中位线．又∵DE＝4，∴BC＝8．在Rt△ABC

中，AC＝10，BC＝8，

∴AB＝

＝＝6．ABCDE三角形的中位线定理的两个结论及四个应用

（1）两个结论：

①中位线与第三边的位置关系——互相平行；

②中位线与第三边的数量关系——中位线等于第三边的一半．（2）四个应用：

①求线段的长度； ②证明线段相等或平行；

③求角的度数； ④证明线段的倍分关系．归纳

例2

如图，为估计池塘两岸边A，B

两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB

的中点M，N，测得MN＝32m，求A，B

两点间的距离．

解：∵M，N

分别是边OA，OB

的中点，

∴

MN

是△AOB

的中位线，

∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．归纳距离、高不可测，中位线来帮忙三角形中位线的有关知识，常用来解决以测量距离为背景的题目．解题时先把实际问题转化为数学问题，再分两步走：一定，依照三角形中位线的定义，确定哪条线段是三角形的中位线；二算，根据三角形的中位线定理中的“三角形的中位线等于第三边的一半”进行计算．

例3

求证：顺次连接四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形.

已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点.

求证：四边形EFGH是平行四边形.

分析

题目中给出了四边形各边中点，可以连接四边形的一条对角线，利用三角形中位线定理证明要证的四边形一组对边平行且相等，从而证明它是平行四边形.

证明：连接AC.∵AH=HD，CG=GD，∴HG∥AC，且HG=AC.

同理EF∥AC，且EF=AC.∴HGEF.∴四边形EFGH是平行四边形.三角形的中位线三角形中位线的应用三角形的中位线三角形的中位线定理平行四边形

（第7课时）

1．平行四边形的性质：

（1）平行四边形的两组对边分别平行；边角对角线

（2）平行四边形的对边相等；

（3）平行四边形的对角相等；

（4）平行四边形的对角线互相平分．

2．平行四边形的判定：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义）；

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；边角对角线

平行四边形知识的运用包括三方面：一是直接运用平行四边形的性质求角的度数或线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；