垂线(同课异构设计)（课件）华东师大版七年级数学上册

华师大版七年级数学上册第4章相交线和平行线

4.1相交线2.垂线导入新课

观察下面图片,你能找出其中相交的直线吗?它们有什么特殊的位置关系吗?高效课堂

取两根木条a、b,将它们钉在一起,固定木条a,转动木条b,记a、b所成的夹角为α.转动木条(如图)的同时观察其夹角的变化.活动一：探究垂直、垂线、垂足的概念高效课堂

如图,当两条直线AB、CD所构成的四个角中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角,此时,直线AB、CD互相垂直,记作“AB⊥CD”,它们的交点O叫做垂足.我们把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.

由AB⊥CD,可得∠AOC＝90°.高效课堂

提问:根据垂直的定义,要想画出垂线,需要作出多少度的角呢?可能用到哪些工具?活动二：探究垂线的画法及基本事实

需要作出90°的角.可能用到三角板,量角器,直尺.(1)用三角板或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条呢?(2)若直线l上有一点A,经过点A,能画几条直线l的垂线呢?(3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条呢?高效课堂

结论:经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线.

总结过程:一靠二过三画.

基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.高效课堂

例1如图,过点P画出射线AB和线段AB的垂线.活动三:灵活运用,典例探究高效课堂

练习:如图,AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一条直线上吗?请说明理由.

答案:A,B,C三点在同一条直线上.

理由:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.高效课堂

对于线段的垂线,有一种特殊且重要的情况.如图,直线CD经过线段AB的中点O,并且垂直于线段AB,则有AO＝BO,AB⊥CD.我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.如图所示的直线CD就是线段AB的垂直平分线.垂直平分线又可称为中垂线.活动四:探究线段的垂直平分线和点到直线的距离高效课堂

如图,过直线外一点向已知直线作垂线时,这一点与垂足之间的线段比较特殊,大家观察此图,分组总结其特殊地方.

在上图所示的方格图中,点A是直线l外一点,AB与直线l垂直,点B为垂足.点A与直线l上各点的距离长短不一,我们可以发现其中最短的是线段AB.线段AB叫做点A到直线l的垂线段.

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.

点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.例如,线段AB的长度就是点A到直线l的距离.高效课堂

问题:如图1,在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短?请将其转化成数学问题并找出最短的渠道.

答案:如图2.高效课堂

例2如图,三角形ABC中,∠C＝90°.活动五:巩固概念,灵活运用(1)分别指出点A到直线BC、点B到直线AC的距离等于哪条线段的长度.(2)三条边AB、AC、BC中哪条边最长?为什么?

解(1)点A到直线BC、点B到直线AC的距离分别等于线段AC、线段BC的长度.(2)根据“垂线段最短”可知线段AB最长.1.（1）（2024惠州模拟改编）如图，若要在河堤两岸搭建一座桥，则搭建方式中最短的是线段

.

PN课堂评价（2）如图，PB⊥m，垂足为B，A为直线m上异于B的点，则PB<PA的理由是

.垂线段最短2.（1）如图，已知△ABC是直角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（）A.线段AB的长B.线段AD的长C.线段CD的长D.线段AC的长C

（2）（2024黔南州一模）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=5cm，PB=4cm，PC=6cm，则点P到直线l的距离是

.4cm3.（人教7下P6，教材新增）如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离.解：如图，即为所作，量距离略.4.【例1】（人教7下P6、北师7下P40）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是

.垂线段最短5.（跨学科融合）（人教7下P9、北师7下P39）如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，怎样测量他的成绩呢？请你画一画，其依据是

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垂线段最短图略（画靠后的脚印后跟到起跳线的垂线段）6.如图，一辆汽车在平直的公路上由M向N行驶，A，B分别是位于公路MN两侧的村庄.设汽车行驶到公路MN上点P的位置时，距离村庄A最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄B最近，请在图中的直线MN上分别画出点P，Q的位置.解：如图.7.如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，问抽水站D应建在何处，才能使铺设的水管最短？在图中画出来.解：如图，D即为所求作.8.人教7下P6改编）如图，BC⊥AB，CB=6cm，AB=8cm，AC=10cm，则A，C两点间的距离是

，点A到BC的距离是

，点C到AB的距离是

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8cm

10cm6cm课堂总结1.垂直的定义是什么?2.经过一点画已知直线的垂线的方法是什么?3.垂线的性质是什么?4.垂线段的性质是什么?作业设计基础性作业