第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用课件-高二下学期数学人教A版选择性

6.1第二课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用题型一数字排列组数问题【学透用活】[典例1]有0,1,2,3,4五个数字，则：(1)可以排成多少个三位数？(2)可以排出多少个三位数字的电话号码？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？[解]

(1)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种排法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100个．(2)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125个．(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类：一类是末位数字是0，则有4×3＝12种排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．因而有12＋18＝30种排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．[方法技巧]解决组数问题的方法(1)对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)优先的方法分类或分步完成．如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．(2)解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．[提醒]

数字“0”不能排在两位数或两位以上的数的最高位．【对点练清】1．在本例条件下，可以排成多少个无重复数字的四位奇数？解：完成“排成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步．第1步定个位，只能从1,3中任取一个，有2种方法；第2步定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个，有3种方法；第3步、第4步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36个．2．在本例条件下，可以排成多少个能被3整除的四位数？解：一个四位数能被3整除，必须各位上数字之和能被3整除，故排成四位数的四个数字只能是0,1,2,3或0,2,3,4两类．所以满足题设的四位数共有2×3×3×2×1＝36个．题型二选(抽)取与分配问题【学透用活】[典例2]在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？[解]

法一．分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法．第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法．第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法．第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有2×1＝2种选法．故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18种．法二．分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有3×4＝12种选法．第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛，有2×3＝6种选法．故不同的选法共有12＋6＝18种．[方法技巧]解决抽取(分配)问题的方法(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的，就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．【对点练清】1．有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，现从中选出2人分别参加篮球赛和足球赛，则不同的选派方案有

(

)A．28种

B．30种C．27种

D．29种解析：有9名运动员，其中5人会打篮球，6人会踢足球，则有2人既会踢足球又会打篮球，有3人只会打篮球，有4人只会踢足球，所以选派的方案有四类：选派两种球都会的运动员有2种方案；选派两种球都会的运动员中一名踢足球，只会打篮球的运动员打篮球，有2×3＝6种方案；选派两种球都会的运动员中一名打篮球，只会踢足球的运动员踢足球，有2×4＝8种方案；选派只会打篮球和踢足球的运动员分别打篮球和踢足球，有3×4＝12种方案．综上可知，共有2＋6＋8＋12＝28种方案，故选A.答案：A

2．高二年级的三个班学生去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有

(

)A．16种

B．18种C．37种

D．48种解析：根据题意，若不考虑限制条件，每个班都有4种选择，共有4×4×4＝64种情况，其中甲工厂没有班去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班都有3种选择，共有3×3×3＝27种方案，则符合条件的有64－27＝37种．答案：C题型三涂色问题【学透用活】[典例3]用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？[解]

涂A区域有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理，将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24种不同方案．ABCD[方法技巧]

求解涂色问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析．(2)以颜色为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析．(3)根据不同要求，涂色问题可以采用分类法，也可以采用分步法，有时分类中又有分步，或者一个步骤中又有分类，这时要处理好“类中有步”“步中有类”的关系，为避免出错，在解题时一定要按照类别分开列式．【对点练清】1．在本例中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？解：若恰好用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得，恰好用3种不同颜色涂四个区域共有3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18种不同的涂色方案．2．在本例中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？解：若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B，D区域必同色．先从3种不同颜色中任取2种颜色，共有3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共有2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得，恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6种不同的涂色方案．【课堂思维激活】一、综合性——强调融会贯通1．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．已知顾客甲只用现金结账，顾客乙只用现金或银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，顾客丁用哪种结账方式都可以．若甲、乙、丙、丁购物后依次结账，则他们结账方式的组合共有________种．解析：当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，共有3×4＝12种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有2×4＝8种方法．综上，共有12＋8＝20种方法．答案：20二、应用性——强调学以致用2.如图，圆形花坛分为四部分，现在这四部分种植花卉，要求每部分种植1种，且相邻部分不能种植同一种花卉，现有5种不同的花卉供选择，则不同的种植方案共有________种．(用数字作答)解析：根据题意，当1,3相同时，分为2,4相同或不同两类，有5×4×(1＋3)＝80种；当1,3不相同时，分为2,4相同或不同两类，有5×4×3×(1＋2)＝180种．所以不同的种植方案共有80＋180＝260种．答案：2603．中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲、乙、丙三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、兔、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢．如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有

(

)A．50种 B．60种 C．70种

D．90种解析：根据题意，分两种情况讨论：如果同学甲选牛，那么同学乙只能选兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，所以选法有3×10＝30种；如果同学甲选马，那么同学乙只能选牛、兔、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10种中任意选，所以选法有4×10＝40种．综上，不同的选法共有30＋40＝70种．故选C.答案：C三、创新性——强调创新意识和创新思维4．定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共