2025-2026学年石家庄2中南教学设计

PAGE课题2025-2026学年石家庄2中南教学设计教学内容一、教学内容本节课对应人教版高中数学必修第一册第一章第二节“函数的基本性质”，主要内容涵盖：函数单调性的定义（增函数、减函数）及图像特征；函数奇偶性的定义（奇函数、偶函数）及图像对称性（关于原点对称、y轴对称）；利用单调性求函数在闭区间上的最值。内容基于课本基础概念，注重定义的理解与简单图像分析，符合高一学生认知水平。核心素养目标二、核心素养目标通过函数单调性与奇偶性的学习，培养数学抽象素养，从具体函数图像中抽象出性质定义；发展逻辑推理素养，依据定义严谨判断函数性质；强化直观想象素养，借助几何特征理解函数对称性与变化趋势；提升数学运算素养，运用单调性求解函数最值，体会数形结合思想的应用。重点难点及解决办法重点：函数单调性与奇偶性的定义理解及简单应用（来源：课本核心概念，是后续学习的基础）。难点：函数单调区间的准确判断（来源：定义域与单调区间的关系易混淆）及抽象函数性质的判定（来源：缺乏直观图像支撑）。解决方法：通过阶梯式例题设计，强化定义域优先意识；结合具体函数图像（如一次函数、二次函数）归纳性质特征；采用反例辨析（如分段函数）突破抽象难点；利用数形结合思想，引导学生从图像特征推导性质定义。教学资源多媒体投影仪；交互式电子白板；几何画板软件；人教版高中数学必修第一册课本及配套电子课件；彩色粉笔；函数性质探究任务单；典型函数图像动态演示素材；课堂即时反馈答题器；小组合作学习记录表。教学过程设计###1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对函数性质的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“同学们观察过气温变化图吗？一天中气温从清晨到中午逐渐升高，从下午到夜晚逐渐降低；再看看抛物线形的桥梁，它的两边关于中轴线对称。这些‘升高’‘降低’‘对称’的现象，其实都蕴含着函数的重要性质——单调性与奇偶性。它们与我们的生活有什么关系？又该如何用数学语言描述呢？”

展示气温变化曲线图、抛物线桥梁图片，让学生直观感受函数变化趋势与对称特征。

简短介绍：“函数的单调性刻画了函数值的变化趋势，奇偶性揭示了函数图像的对称规律，它们是研究函数性质的基础，也是解决实际问题的工具。今天我们就来系统学习这两个性质。”

###2.函数单调性与奇偶性基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生掌握函数单调性与奇偶性的基本概念、定义及核心要素。

过程：

（1）讲解单调性定义：“一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果属于I的区间D上，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么f(x)在区间D上是增函数；如果f(x₁)>f(x₂)，那么f(x)在区间D上是减函数。”强调“定义域优先”“区间内任意x₁<x₂”两个核心要素。

（2）用示意图展示增函数（图像从左到右上升）、减函数（图像从左到右下降）的图像特征，举例说明：y=2x在R上是增函数，y=-x在R上是减函数。

（3）讲解奇偶性定义：“如果对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)是偶函数；如果f(-x)=-f(x)，那么f(x)是奇函数。”强调“定义域关于原点对称”是前提条件。

（4）用示意图展示奇函数（关于原点对称，如y=x³）、偶函数（关于y轴对称，如y=x²）的图像特征，举例说明：y=x²是偶函数，y=x³是奇函数。

###3.函数性质案例分析（20分钟）

目标：通过典型案例，深化对函数单调性与奇偶性应用的理解，体会数形结合思想。

过程：

（1）案例1：二次函数f(x)=x²-2x+3的单调性与最值分析。

背景：二次函数是高中基本初等函数，其单调性与最值具有代表性。

分析步骤：①求定义域R；②化简为顶点式f(x)=(x-1)²+2；③根据图像特征，对称轴x=1，开口向上，得单调减区间(-∞,1]，增区间[1,+∞)；④由单调性知，当x=1时，f(x)最小值为2。

引导思考：“若求f(x)在区间[0,3]上的最值，如何结合单调性求解？”（端点值比较）

（2）案例2：判断函数f(x)=x³+1/x的奇偶性。

背景：抽象函数的奇偶性判断能强化定义应用。

分析步骤：①求定义域{x|x≠0}，关于原点对称；②计算f(-x)=(-x)³+1/(-x)=-x³-1/x=-(x³+1/x)=-f(x)；③由定义知f(x)是奇函数。

引导思考：“若定义域改为[0,+∞)，还能判断奇偶性吗？”（不满足定义域关于原点对称，非奇非偶）

（3）案例3：分段函数f(x)=|x|的单调性分析。

背景：分段函数的单调性是学生易错点，需强调分段判断。

分析步骤：①将f(x)写成分段形式：f(x)=-x(x<0)，f(x)=x(x≥0)；②画出V形图像；③观察得单调减区间(-∞,0]，增区间[0,+∞)。

引导思考：“分界点x=0处，函数的单调性如何描述？”（既不是增函数也不是减函数，但区间端点可闭可开）

小组讨论主题：“如何利用函数单调性比较两个数的大小？”“奇偶性函数在图像绘制中有哪些技巧？”“分段函数单调性判断的注意事项？”（每组选1个主题，讨论5分钟，记录要点）

###4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养合作学习能力，深化对函数性质应用的理解，提升问题解决能力。

过程：

将学生分成4人小组，每组围绕选定主题讨论：

-主题1（比较大小）：“比较3^0.3与0.3^3的大小，如何利用单调性解决？”

-主题2（图像绘制技巧）：“已知函数是奇函数，如何仅根据[0,+∞)上的图像画出整个函数图像？”

-主题3（分段函数注意事项）：“判断f(x)=x²(x≤1)，f(x)=2-x(x>1)的单调性时，需关注哪些关键点？”

小组内讨论现状（如比较大小需构造函数）、挑战（抽象函数单调性判断难）、解决方案（用定义法、图像法、中间值法）。每组选出1名代表，准备展示讨论成果。

###5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生表达能力，促进思维碰撞，深化对函数性质的理解。

过程：

（1）小组代表依次上台展示（每组3分钟）：

-主题1组：“构造函数f(x)=x³在(0,+∞)增，0.3<1，故0.3³<1³=1；构造g(x)=3^x增，0.3<1，故3^0.3<3^1=3。取中间值1，3^0.3>3^0=1，0.3³<1，所以3^0.3>0.3³。”

-主题2组：“先画[0,+∞)上的图像，再根据奇函数关于原点对称，取(0,+∞)上点(x,y)，对称点为(-x,-y)，连接(-∞,0)上的点即可。”

-主题3组：“需关注分界点x=1处的函数值：f(1)=1²=1，lim(x→1+)f(x)=2-1=1，函数在x=1处连续；单调减区间(-∞,1]，增区间[1,+∞)。”

（2）互动点评：其他学生提问，如“主题1组为何不直接比较指数与底数？”“主题3组如何判断分界点处的单调性？”教师引导补充：比较大小需构造同底或同指数函数；分界点处需看左右两侧单调性是否一致（一致则可合并区间，不一致则分区间）。

（3）教师总结：

-单调性核心：“自变量变化→函数值变化”的对应关系，应用时注意定义域和区间；

-奇偶性核心：“对称性”，判断前务必验证定义域，图像绘制可利用对称简化；

-分段函数需分段判断，关注分界点处的函数值与单调性衔接。

###6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课核心内容，强化知识体系，激发后续学习兴趣。

过程：

（1）知识梳理：

-单调性：增函数（x₁<x₂→f(x₁)<f(x₂)）、减函数（x₁<x₂→f(x₁)>f(x₂)），图像特征，应用（比较大小、求最值）；

-奇偶性：偶函数（f(-x)=f(x)，y轴对称）、奇函数（f(-x)=-f(x)，原点对称），前提条件（定义域关于原点对称），应用（简化计算、图像绘制）。

（2）强调意义：“函数的单调性与奇偶性是研究函数性质的‘钥匙’，后续学习函数零点、不等式、导数等内容时，都需以它们为基础。数形结合思想是理解性质的重要方法，要学会‘看图像想性质，用性质解问题’。”

（3）布置作业：

-基础题：课本P34习题1.2第1题（判断给定函数的单调性）、第3题（判断奇偶性）；

-提升题：课本P34习题1.2第5题（利用单调性求函数f(x)=x²-4x+3在[-2,3]上的最值）；

-拓展题：举一个生活中应用函数单调性或奇偶性的实例，并尝试用数学语言描述。教学资源拓展1.拓展资源：函数单调性的严格与非严格定义对比，教材中仅涉及严格单调（增函数要求x₁<x₂时f(x₁)<f(x₂)，减函数要求f(x₁)>f(x₂)），拓展非严格单调定义（增函数允许f(x₁)≤f(x₂)，减函数允许f(x₁)≥f(x₂)），举例说明常数函数f(x)=c既是非严格增函数也是非严格减函数；复合函数单调性判断法则，若u=g(x)在区间D上单调，y=f(u)在u=g(x)的值域上单调，则复合函数f(g(x))的单调性遵循“同增异减”原则，举例分析f(x)=x²与g(x)=x+1在R上的复合单调性；奇偶函数的运算性质，奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数，举例验证f(x)=x³+1/x（奇函数）与g(x)=x²（偶函数）的和、积的奇偶性；函数周期性与奇偶性的关联，若f(x)是奇函数且满足f(x+2a)=-f(x)，则f(x+4a)=f(x)，即周期为4a，举例说明f(x)=sinx（奇函数，周期2π）满足f(x+2π)=f(x)；实际应用案例，经济学中边际成本函数的单调性反映生产效率变化，物理学中简谐运动的位移函数f(t)=Asin(ωt+φ)的奇偶性由初相φ决定（φ=0时为奇函数，φ=π/2时为偶函数），生物学中种群增长曲线的单调性描述种群数量变化趋势。

2.拓展建议：基础巩固建议学生重新梳理课本中单调性、奇偶性的定义，用不同颜色标注关键词（如“定义域内任意x₁<x₂”“f(-x)=f(x)”），完成课本P34习题1.2中易错题（如判断f(x)=0的奇偶性——既是奇函数又是偶函数；分析f(x)=|x-2|的单调区间——减区间(-∞,2]，增区间[2,+∞)）；能力提升建议尝试复合函数单调性判断，如f(x)=log₂(x²-2x+3)的单调性（先求内层函数u=x²-2x+3的单调性：减区间(-∞,1]，增区间[1,+∞)，再结合外层函数y=log₂u的单调性，得f(x)减区间(-∞,1]，增区间[1,+∞)）；研究函数性质综合应用，如已知奇函数f(x)在(0,+∞)单调递增，判断f(x)在(-∞,0)的单调性（取x₁<x₂<0，则-x₁>-x₂>0，f(-x₁)>f(-x₂)，即-f(x₁)>-f(x₂)，故f(x₁)<f(x₂)，所以f(x)在(-∞,0)单调递增）；思维拓展建议探究函数图像对称性，如函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)则图像关于直线x=a对称，举例分析f(x)=(x-1)²的对称轴；收集生活中的函数性质应用实例，如股票价格变化曲线的单调性反映涨跌趋势，建筑物（如天安门城楼）设计中的对称性体现偶函数图像特征；方法总结建议归纳函数性质判断步骤：先求定义域（判断是否关于原点对称），再验证奇偶性或单调性，最后结合图像或定义应用，总结数形结合技巧——通过快速画草图判断单调区间（如先画关键点、对称轴），或根据奇偶性简化图像绘制（如先画[0,+∞)部分，再对称画(-∞,0)部分）。板书设计①核心概念定义

-单调性：增函数（定义域内任意x₁<x₂→f(x₁)<f(x₂)）；减函数（定义域内任意x₁<x₂→f(x₁)>f(x₂)）

-奇偶性：偶函数（定义域关于原点对称且f(-x)=f(x)）；奇函数（定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x)）

②图像特征关键词

-单调性：增函数图像“左低右高”；减函数图像“左高右低”；单调区间（如(-∞,1]增区间）

-奇偶性：偶函数图像“关于y轴对称”；奇函数图像“关于原点对称”；对称轴/对称中心

③应用要点与易错点

-单调性应用：定义域优先；闭区间最值（端点值比较）；分段函数分段判断

-奇偶性判断：先验证定义域对称性；f(-x)变形（如-f(x)）；非奇非偶条件（定义域不对称或f(-x)≠±f(x)）教学评价1.课堂评价：通过分层提问检测概念理解，如"增函数定义中'任意x₁<x₂'的作用是什么""判断奇偶性为何先看定义域"；观察学生画图过程，关注单调区间标注是否规范、对称