高中数学必修一知识点

高中数学必修知识点

目录

高三数学必修1知识点一............................................................1

1.集合的含义与表示................................................................1

2.集合的中元素的三个特性：.......................................................1

3.集合的表示：{…}...............................................................1

4.集合的分类：...................................................................2

5.元素与集合的关系：.............................................................2

6.集合间的基本关系...............................................................2

7.例题讲解：.....................................................................2

I.函数的奇偶性..................................................................7

2.复合函数的有关问题............................................................8

3.函数图像（或方程曲线的对称性）....................................................8

4.函数的周期性...................................................................9

5.方程...........................................................................10

6.映射...........................................................................10

7.函数单调性.....................................................................11

8.反函数.........................................................................11

9.数形结合.......................................................................II

10.恒成立问题..................................................................12

高三数学必修1知识点一

1.集合的含义与表示

集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人

们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这

个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合,

简称为集。

2,集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合

是确定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合口的元素是唯一的，不可

重复的。

⑶元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且

改变位置不影响集合

3.集合的表示：{.・・}

(1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,345}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素---列举出来{a,b,c.....}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合。

{xR|x-32},{x|x-32}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4.集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5,元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a0A

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N_或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6•集合间的基本关系

(1)〃包含〃关系⑴一子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我

们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。

7.例题讲解：

1.已知集合M={x|x=m+,m^Z},N={x|x=,n£Z}己知x|x二,p£

Z},则M,N,P满足关系

2

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：从判断元素的共性与区别入手。

解答一：对于集合M：{x|x=,m£Z};对于集合N：{x|x=,nGZ}

2.对于集合P：{x|x=，p£Z},由于3(nT)集和3p+l都表示被

3除余1的数，而6m+l表示被6除余1的数，所以MN=P,故选B。

分析二：简单列举集合中的元素。

解答二：M={o,,。},N={。，,,,O},P={O,,,O),

这时不要急于判断三个集合间的关系，应分析各集合中不同的元素。

=GN,GN,AMN,又二M,Z.MN,

=P,ANP又eN,：.PN,故P=N,所以选B。

点评：由于思路二只是停留在最初的归纳假设，没有从理论上解

决问题，因此提倡思路一，但思路二易人手。

变式：设集合，，则(B)

A.M=NB.MNC.NMD.

解：

当时，2k+l是奇数，k+2是整数，选B

3.定义集合A_B={x|x£A且xB),若A={1,3,5,7},B={2,3,5},

则A_B的子集个数为

A)1B)2C)3D)4

分析：确定集合A_B子集的个数，首先要确定元素的个数，然后

再利用公式：集合A={al,a2,。，an}有子集2n个来求解。

3

解答：•/A_B={x|x£A且xB},AA_B={1,7},有两个兀素,故

A_B的子集共有22个。选D。

4.变式1：己知非空集合M{1,2,3,4,5},且若aEM,则6?aGM,

那么集合M的个数为

A)5个B)6个C)7个D)8个

5.变式2：已矢口{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必须含有元素a,b.

集合A可能是

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d),{a,b,c,e},{a,b,d,e}

评析本题集合A的个数实为集合{c,d,e}的真子集的个数，所以

共有个.

6.已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0}，且AAB={1},A

UB={?2,1,3},求实数p,q,r的值。

解答：VAnB={l}AieB.\12?4Xl+r=0,r=3.

AB={x|x2?4x+r=0}={l,3},VAUB={?2,1,3},?2B,A?2eA

VAAB={1}AlGA・•・方程x2+px+q=0的两根为-2和1,

•♦♦•・•

7.变式：已知集合A二{x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且AA

B={2},AUB=B,求实数b,c,m的值.

解：VAAB={2}AieB.・・22+m?2+6=0,m=-5

AB={x|x2-5x+6=0}={2,3}VAUB=BA

4

又VAAB={2}.'A=⑵Ab=-(2+2)=4,c=2X2=4

.*.b=-4,c=4,m=-5

8.已知集合A={x|(_1)(x+1)(x+2)0},集合B满足：AU

B={x|x-2),且AG3={x|l

分析：先化简集合A,然后由AUB和ACB分别确定数轴上哪些

元素属于B,哪些元素不属于B。

解答：A={x|-21}o由AGB={x|l-2}可知[-1,1]B,而(-8,—2)

riB二巾。

9.若集合乂={-2,-1,1},集合N={O,1},则MUN等于()

A.{-2,-1,0,1}B.{-2,-1,1}C.{-2,-1,0}D.{1}

【答案解析】

A

解：依据并集的概念和集合元素的互异性得：MUN={-2,-1,

0,1)

故选：A.

10.已知空间中不过同一点的三条直线m,n,1,则“m,n,1在

同一平面”是“m,n,1两两相交”的()

A.充分不必要条件B.必要不充

分条件

C.充分必要条件D.既不充分也

不必要条件

5

【答案解析】

B

【分析】根据空间直线和平面的位置关系，利用充分条件和必要

条件的定义进行判断即可.

解：①若m,n,1在同一平面内，则”n,1可能平行，可能相

交，即m,n,1两两相交不一定正确，即充分性不成立，

②若m,n,1两两相交，且不过同一点，则m,n,1一定在同一

平面内，即必要性成立，

.*.m,n,1在同一平面内是m,n,1两两相交的必要不充分条件，

故选：B.

11.设集合{力7+1},则集合M与集合p的

关系是（）

A.M=PB.PeM

C.MD.P

【答案解析】

D

分析：确定出集合中的元素，然后根据集合的关系判断.

解答.P=„=3+1}=3了*=0＞制〃={叩=7+1}=*

所以PSM.

故选：D.

6

12.（对选题）已知集合=/（或，若对于

V（i1MtM五3人）七"，使得w网2=°成立则称集合M是“互垂

点集”.给出下列四个集合

9=/+1};亚2={&ay=衍};跖={（工出了=/};%={（%。1y=dn^l}

.其中是“互垂点集”集合的为（）

A.%B.%

C.4D.此

【答案解析】

BD

分析：根据题意即对于任意点不），在M中存在另一个点尸，

使得方,结合函数图象进行判断.

高三数学必修1知识点二

1.函数的奇偶性

7

(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求

参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)士f(-x)=O或

(f(X)HO)；

(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇

偶性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在

对称的单调区间内有相反的单调性；

2.复合函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知

的定义域为［a,b］,其复合函数f［g(x)］的定义域由不等式

a<g(x)<b解出即可;若已知他(x)］的定义域为［a,b］,求

f(x)的定义域，相当于x团⑶b］时，求g(x)的值域(即f(x)的

定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由〃同增异减〃判定；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称

中心(对称轴)的对称点仍在图像上；

8

(2)证明图像Cl与C2的对称性，即证明C1上任意点关于

对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；

(3)曲线Cl：f(x,y)=O,关于y=x+a(y=.x+a)的对称曲线C2的方

程为f(y・a,x+a)=O(或f(-y+a,-x+a)=O);

⑷曲线Cl:f(x,y)=O关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：

f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函数y=f(x)对X0R时,f(a+x)=f(a・x)恒成立,则y=f(x)

图像关于直线x=a对称；

⑹函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称；

4,函数的周期性

(l)y=f(x)对xER时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)

(aO)恒成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)

是周期为2Ia|的周期函数；

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)

是周期为41a|的周期函数；

⑷若y=f(x)关于点(a,O),(b,O)对称,则f(x)是周期为2的周

期函数；

9

(5)y=f(x)的图象关于直线x二a,x=b(awb)对称，则函数y=f(x)

是周期为2的周期函数；

⑹y=f(x)对xER时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)是周期

为2的周期函数；

5,方程

⑴方程k=f(x)有解k0D(D为f(x)的值域);

(2)aN