高中数学热点题型增分练专题20数列递推公式与通项公式教师版新人教A版选择性必修第二册

专题20数列递推公式与通项公式

热点题型归纳

【题型一】累加法

【典例分析】

已知数列｛〃"｝满足4=。，。20=%一1+2"(〃€*),4”+1=生”+(-1)"(〃£”)，则数列｛/｝

的第2022项为()

A.2101|-2B.2KH2-3

C.2,0,2-2D.2,0"-1

【答案】C

【分析】先求出生，通过条件得到⑸=«2I+2"+(T)Z，再利用累加法即可求解.

【详解】由4=0,="2”-1+2"(〃eN"),可得％=4+2=2

由-2.+(—1)"得=〃2-2+(一1广(〃cN：〃之2),

又4”=“2M+2"，可得%=+2"+(―1)日，

所以。4=%+2?+(—1),。6=。4+23+(-1)，4=。6+2,+(-1)3,'a2022=。2020+2l°"+(-1)°°，

将上式相加得出皿=%+(—I)+(-1)~+L4-(—1)101°+22+23+L+21011

=2+4.(ej_2.

1-2

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

累加法：形如&=&1+£(〃)或为一&7=*〃)，用累加法求劣

【变式训练】

1.在数列｛〃“｝中，4=2,-^-=—+In|1+-则〃”=()

774-1n\nJ

A.例B.2+(7?—l)lnnC.\+n+\nnD.2n+n\nn

【答案】D

【详解】由题意得，也=殳+111巴里，则殳=也+111/一,也=巴以+111上土…,

〃+1nnn〃-1n-\n-\〃-2n-2

竺=幺+1」，

211

由累加法得，—=—+In—+In-+ln-,—=...彳］,

n1n-\n-21n\n-1n-21)

则4t=2+ln〃，所以4H=2〃+〃ln〃，故选：D

1

2.、在数列｛qj中,---------则该数列的通项公式/=

4=底％4/_1

数列｛〃〃｝中最小的项的值为

■Md.4〃~31

【答案】----

4〃一22

11I1

【详解】由题意知，。向一4.当〃22时,

41-1212〃-12〃+1,

an=岛）+Mi-限）++(W—q)+q

1I1111114/2-3

+-+—=------

212〃-32//-1>2\2/1—52〃—3213J22<24〃-2

477—3

当〃=1时，也满足该式，故该数列的通项公式%=——-

4〃一2

cI+工，结合反比例函数的单调性可知当〃

由巴21时，数列｛4｝为单调递增

212/z-l）2

数列，故数列｛q｝中最小的项的值为q=g.故答案为：震|；g

M2

3.已知数列｛〃“｝满足q=-1,an-an_x=（-1）-n（w..2,nGN*）,则〃⑻二

【答案】5050

【分析】【详解】因为4=一1，4一%7=（-1）”,〃2（九.2,〃£"）,

所以400-%9=1°°'，49一。98=-992,...4-4=22,左右分别相加得:

2222222)+(-32+42*.+(-99+1002)

6/IOO=-1+2-3+4...-99+100,=(-1+2

=(-1+2)(1+2)+(-3+4)(3+4)+…+(—99+100)(99+100),

=14-2+3+4+.99+100,

100x(100+1)

=5050.故答案为:5050

2

【题型二】累积法

【典例分析】

2

己知数列｛4｝的前〃项和为=1,S〃=nan£N"），则数列｛qj的通项公式为

2

【答案】%=(

n(n+i)

【详解】

22

由Sn=nan,可得当〃之2时，S,i=(/7-1)at

n-\

2222

则％=S“-S”.]=natl-(n-\)an_},即(n-IX=(w-l)an_I,故—

71-1〃+1

a„a.1n-27»-3.21,2

所以4:工-q-------------L—x—x1=

4-2%_3%6〃+ln143〃(〃+1)

2（、2

当〃=l,q=1满足an=〃（〃+］）.故数列｛atl｝的通项公式为alt=

2

故答案为：an=-~~-

【提分秘籍】

基本规律

)累乘法：形如&=&一"(〃)或含=&),用累加法求劣

【变式训练】

1.已知数列｛〃〃｝满足q=2,(2〃-1)4*=(2〃+1)45£N"),则生=

【答案】18

【解析】

a

an+.2n+\a,%„c352/7-l._

—=------,得。“=4•,一........—=2....=4/?-2,

an27?-1a.a、at..13272-3

则6=18。

2.已知数列满足智=等小"且-I,则”

【答案】

2

3a.4a.5a,t〃+1,、小

【解析】根据题中条件可以得到一二:，二=亍上=三…，j=—7(^>2),将以上式

q1422a33an_｝n-\

a„3454-1〃(〃+l)+、c、

子累乘可得‘L=丁不•丁…―-=----=——(n>2),当〃=1时上式也成立，

a｝12377-11x22

故一啜

3.已知数列｛4｝满足等=亨，4=3,则数列｛q｝的通项公式是()

A.4=3〃B.an=n+2

C.cin=2/2+1D.a”=3/

【答案】A

【分析】由题意可得数列1tLi为首项为3的常数列，从而可得出答案.

【详解】由题意得巴*=%，即4％=2=L=*=?=3

n+1nn+\n21

所以数列[勺]是以?=3首项为的常数列，则%=3,得4=3〃.故选：A

[n]1n

【题型三】周期数列

【典例分析】

在数列｛4｝中，6=-2,勺+|=1-《，则。2016的值为()

113

A.-2B.—C.—D.一

322

【答案】B

【解析】

a=1——]—=

由4.i=i一丁，得0+2-.所以

"?

.1.1

%+3=1-------=1------L=。”

1-

即数列｛（%｝）以3为周期他周期数列.所以。2016=。3=匚111=§.故选B.

【提分秘籍】

基本规律

周期数列

1.若数列kJ满足a“=aN_,-azj_2,则｛a”｝周期T=6

2.若数列｛a』满足a“+&小=s,贝周期T=2

3.若数列⑸｝满足a“+a“T+an_2=s,则｛a〃｝周期T=3

4.若数列｛an｝满足a“xa“T=s,则｛a〃｝周期T=2

5.若数列｛aj满足a“xa“_]xaw_2=s,则｛aa｝周期T=3

6.a“=ma”「b,m+d=a则k〃｝的周期7=2

【变式训练】

1..已知数列｛%｝的前〃项和为S”，4=1,%=2,〃“+2=。向一可，则5201

【答案】4

【分析】

归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.

【详解】

由题得％=a2~a\=2-1=1,

a4=ciy—a2=1—2=—1,

6/5=—a3=—1—1=—2,

%=%一。4=-2-(-1)=-1,

%=06一%=-1-(-2)=1,

4=%-t/6=1-(-1)=2,

所以数列的周期为6,《+%+・+4=0.

2019=6x336+3,

所以§2019=q+〃2+43=l+2+l=4.

故答案为：4

2.若数列｛。”｝满足4=2,%=3,4=*■（〃23且〃eN*）,则%OI8等于（)

n-2

1ccc2

A.-B.2C.3D.一

23

【答案】C

【分析】

先由题设求得数列｛q｝的前几项，然后得到数列｛q｝的周期，进而求得结果.

【详解】

因为q=2,%=3,。“二一1^(〃之3且〃eN”)，

Cln-2

3

3^5=—=f=^

所以生=1=彳

卬2

32%J3

1

2

3-%2

==-226=一=5=3

—-H=-

34±

2-3

3

所以数列｛4｝是周期为6的周期数列,

q-1，凡>1

3.已知数列｛4｝满足4=&，。，用1八.eN*）,贝1」〃，0，1二（)

A.5/2—1B.5/2c.>/2+1D.2

【答案】A

【分析】

由递推公式求出数列的前几项，即可得数列｛4｝的周期为3,从而可求得生02一

【详解】

卜〃-1，/>1

解：因为4=后，an+l=\1（〃wN'），

所以出=4-1=&-1，

所以数列｛%｝的周期为3.

因为2021=3x673+2,

所以fl2O21~ai~&-1.

故选；A.

【题型四】Sn型

【典例分析】

9

已知数列｛q｝的前〃项和为S”=(-3",则通项公式为.

【答案】«„="3(，?=1)

【分析】由4=5计算4,由当〃22时由4=5”一5小求出〃“，即可得.

227

【详解】:数列｛《』的前〃项和为S"二§一3",・，・当〃=1时，％=S[=§-=一§,

当〃22时，%=S"-"00"j=-2x3i,而4Y，不适合上式,

77

—(n=1)—(n=1)

所以为=｛3,故答案为：％=3’.

-2・3"T(〃..2)[-2-3n-\n..2)

【提分秘籍】

基本规律

通项义与前〃项和S,的关系:

Si9n—1,

S—ST,〃22.

【变式训练】

1.已知Sn为数歹ij[cin]的前n项和，月.log?(S〃+1)=〃+1,则数歹ij｛an]的通项公式为()

(3,(n=1)

A.an=2nB.&〃="“/

(n>2)

C.an=2n~'D.an=2n+!

【答案】B

【详解】由log2(S〃+l)=〃+l,得的=2"，-1,当77=1时，4=S=3；当〃22时，打7

=Sn—Sn-=2n,所以数列｛a〃｝的通项公式为、、

![2

故选:B.

2.已知数歹的前n项和S“=2〃2+3〃(〃WN-)，则｛q｝的通项公式为

A.an=2w+1B.a”=2〃-1C.〃“=4八+1D.。“=4〃-1

【答案】C

[分析]首先根据S.=21+3〃求出首项《的值，然后利用《,=S「S,i求出〃22时%的表

达式，然后验证卬的值是否适合，最后写出4的式子即可.

【详解】因为S”=2r+3〃,

22

所以，当〃22时，an=S„-Sn_,=2n+3zz-[2(/1-1)+3(n-1)]=4n+1,

当〃=1时，0)=5)=2+3=5,上式也成立，

所以见=4〃+1，故选C.

3.已知S”为数列｛q｝的前〃项和，且邑=2"「1,则数列｛《,｝的通项公式为()

D.a=2n

A.4=2"B.q或:；C•一n

【答案】B工

【分析】当"N2时,由q=S“_S._i求出q=2"；当〃=1时，由4=与求出6；即可求解.

rt+,

【详解】当〃之2时，S“尸2"-1,an=Sn-SB.,=2-1-2"+1=2"；

3,=1

当〃=1时，4=S1=2"-1=3,不符合4=2"，则为=<2",让2.

故选:B.

【题型五】观察猜想归纳型

黑C温形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式，并在横线上和括号中

分别填上第5项的图形和点数・

(1)•

13

案】21

35

【分析】结合图中点的规律即可写出•个通项公式以及横线处所需填的数值.

【详解】（1）设第〃个图形的点数为明,第〃个图形有5个分支，每个分支有〃个点，中间

■

的一个是重复，共计算5次，则为=5〃-4必=21,••：・•・:

•••2•

••

（2）设第〃个图形的点数为q，第，z个图形有3个分支，每个分支有〃个点，中间的一个是

重复，共计算3次，则q=3〃-2,13,::

■••・

••••

（3）设第〃个图形的点数为勺，由图可知，第〃个图形横方向上有（〃+2）个点，竖方向上

有〃个点，则a”=〃（〃+21）=〃2+2〃,C*=35,•••••••.

927

2.（2021•江苏•高二专题练习）数列-1.1,-不亍,…的一个通项公式为—

【分析】根据数列各项所满足的规律可写出结果.

【详解】J=（T）'.去二=（可.总6=（"高3=5.七，

••・一个通项公式为：（-1）”・工.

故答案为：（-1）"且上.

'2n-\

【提分秘籍】

基本规律

先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据凡与项数〃的关系，猜想数列

的通项公式，最后再证明.

一般这类题，选择题很少，因为可以代特殊值求解。

【变式训练】

1.数列3,8,15,24,35,…的一个通项公式％等于()

A.n2+2B.n2-n+3C.n2+2nD.2n2+n

［答案］c

【分析】用排除法对选项逐一分析即可.

【详解】本题为选择题，可用排除法，对选项逐一分析，

对于A答案，展开可得数列为3,6,11……，不符合题意，故A错误，

对于B答案，展开可得数列为3,5,9……，不符合题意，故B错误，

对于D答案，展开可得数列为3,10,21……，不符合题意，故D错误，

对于C答案，展开可得数列为3,8,15,24……，符合题意，故C正确，

故选：C

2.根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列II勺一个通项公式4,=

161116

【答案】5/2-4

【分析】观察图中点数增加规律是依次增加5,可得求解。

【详解】第一图点数是1;第二图点数6=1+5;第三图是11=1+2'5；第四图是16=1+3'5

则第〃个图点数q=l+（n-D?55n-4

故答案为：5〃-4

3.数列0.3,0.33,0.333,0.3333,…的一个通项公式是4=（）

A."（1。"T）B.1（10z,-l）

D-

【答案】C

【分析】根据0.3,0.33,0.333,0.3333,…与9,99,999,9999,…的关系，结合9,

99,999,9999,…的通项公式求解即可.

【详解】数列9,99,999,9999,…的一个通项公式是“=10"-1,则数列0.9,0.99,0.999,

0.9999,…的一个通项公式是%=?x（l（r-1）=1—则数列0.3,0.33,0.333,0.3333,-

的一个通项公式是。“-+）故选:C.

【题型六】二阶等比数列

【典例分析】

已知数列｛q｝满足4=1,%=蜡；（〃之2）,则通项公式4=.

【答案】忌口

«JI

【分析】先取倒数可得’"=的"!0=2+色-,即,+1=31」一+］,由等比数列的定义可得

〃22时，;+1=6・3修，即4=J,再检验〃=1时是否符合即可

【详解】由题，因为4,=亍％上（〃之2）,所以‘二网上坦=2十二-,所以

K-1+344T

—+1=3|—+ll

凡1%J

an-2

当〃=2时，i=不三N=：，所以,+1=5+1=6,所以当〃之2时，—+1=6-31则

2q+35a2an

—=2-3rt-1—1艮[]a=--!-——

7-1

an2-3-1

当〃=1时，4=白=1,符合,所以凡=—，故答案为：J(〃eN”)

【提分秘籍】

基本规律

构造法：根据已知构造等差等比数列求通项.

形容4w=q/+P①工。山〃，夕为常数)，构造等比数列｛〃”+义｝乂=上7。特殊情况下,

q-i

当q为2时，2=p,

%=/%1+4(〃夕工。)，变形为/=湃+/(/%=°，。工1)，也可以变形为

【变式训练】

1.已知数列｛《,｝中，4=14=3%+4(〃cAT且心2),则数列的｝的通项公式为

Wr,

A.an=3-1B.an=3+1C.an=3"-2D.a”=3"

【答案】C

【详解】由/=3a,i+4,可得an+2=3(%+2).

即”+2｝是以4+2=3为首项，以3为公比的等比数列.

4+2=3x3”T=3n.即%=3"-2.故选C.

2.在数列｛a〃｝中，团=2,a〃+/=—2&〃+3,则数列｛4〃｝的通项公式a〃等于()

A.(—2)〃'+1B.2〃一'+1

C.(一2)/「D.(-2)//-1

【答案】A

【详解】a〃+/=-2a〃+3,

即为a〃+,一1=—2(a〃-1),又a,一l=l,

所以数列是首项为1,公比为一2的等比数列，

故1=(―2)〃T,即a〃=(―2)/尸+1.故选:A.

3.已知数列｛凡)中，若4=2,%讨=34+2(〃之1),则该数列的通项公式可=

A.2n+l-2B.3"-1C.2"-3D.4"-2

【答案】B

【详解】分析:由臼=2,a*3a/2,变形为：anH+l=3(an+l),利用等比数列的通项公式即

可得出.

详解：

Ta尸2,新产3a+2,变形为：ae+l=3(an+l),・••数列｛&+1｝是等比数列，公比为3,・・・a+1=3乂3"

：即an=3"-l.故答案为B.

【题型七】分式倒数等差型

【典例分析】

已知数列｛，“｝中，勾=1，。用=£胃(〃£N*),则可归纳猜想｛4｝的通项公式为

2211

A.a=-B.a=—C.a=-D.a=—

nnn〃+lnnnn+l

【答案】B

2a777

【详解】•・・4=1，。1=:丁」，・••受=3，比尸彳，归纳猜想｛a〃｝的通项公式为q=，；，故选

2+。“3477+1

B.

【提分秘籍】

基本规律

4=P--L--L=l

“/*+〃，取倒数变形为为P;

【变式训练】

1.已知数列｛q｝满足：6=1,4川=一%(〃cN+),由%、％、为归纳出数列&｝的通项

公式是—

1

【答案】4

2"-1

【分析】由递推公式求出出、％、%，归纳出数列｛〃“｝政通项公式，可利用对4川=号变

形求得数列，+1是等比数列，再求通项公式.

a„

【详解】。口，"JrrkT

由

此归纳出数列｛〃“｝的通项公式?=一■；,以下证明:

2—1

备，得六技+1

由%所以----1-1-2----F1

又4=1,所以,+1=2,所以数列，+1是以2为首项，2为公比的等比数列,

%UJ

所以：+1=2X2"T=2",所以数列上｝的通项公式为=£.

故答案为：。“二J.

Z—1

2.已知在数列中，4=1,。向二丁-，则数列MJ的通项公式为%=_

【答案】

2x3”一

【分析】把已知数列递推式取倒数，然后变为」一+1=3，+1,可得数列1是等比

a“+l)I.

数列，求其通项公式后可得数列｛《,｝的通项公式.

【详解】由题意，4+1=三一，取倒数得一三也=上+2,g|J—+1=3|—+1

3+2q凡〃“Il14

又,+1=2/0,所以，数列4是公比为3的等比数列，故,+1=2x3〃-，

44%

1

所以《二。二t.故答案为:

ZX3-1।2x3”—-

3.若数列｛q｝满足卬=；,4+L号丁，则数列｛q｝的通项公式%=

1

【答案】

3〃一1

【分析】在等式。向两边取倒数，可得出3,然后利用等差数列的通项公

4出

式求出，，］的通项公式，即可求出七.

【详解】••9+］=73/一，等式两边同时取倒数得」一=匕区=,+3,，一匚一上二？.

l+3a”-anan%cin

所以，数列］是以'=2为首项，以3为公差的等差数列，•.・,=2+3(〃-1)=3〃-1.

勺44

因此,巴=击.故答案为:1

372-1

【题型八】高次取对数型

【典例分析】

数列｛4｝中，若g=3,扃■=《,(〃£!<),则数列｛，“｝的通项公式。”=

【答案】32-

【分析】把递推关系两边同时取常用对数得;电。曰=怆勺，从而确定数歹HlgaJ是等比数

列，求出它的通项公式后可得勺.

【详解】因为向T=外,等式两边同时取对•数有glgJ

1g4，则=2,又因为6=3,

n,n2

则数列｛Ig4｝是以lg3为首项，2为公比的等比数列，所以1g凡=lg«1.2-=2-'1g3,4=3",

故答案为：3L.

【提分秘籍】

基本规律

形如=可以通过取对数构造等比数列求通项公式

【变式训练】

1.数列｛4｝中，若%…6=3,则｛〃”｝的通项公式为_______,

【答案】«„=3V，（»€N,）

【分析】两边取对数，化简整理得鬻廿=3,得到数列｛log4”｝是以1为苜项，公比为3

的等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由-="；（〃GN・），两边取对数,可得1%，=31吗可，即鳖乎=3,

又由4=3,则logM=l,所以数列｛log34｝是以噪34=1为首项,公比为3等比数列，

则log,«„=1-3"-'=3"-',所以a“=3尸5eN-）.

故答案为：4=3>’（〃€N・）

2.已知数列｛4｝,4=点（〃之2），则数列｛%｝的通项公式为。“=____.

【答案】efl

【分析】取对数•化简运算可得兽J=』r（〃N2）.利用累乘法求出In凡=〃h】4=〃.即

In，*"1

可求解.

»JLIna„n/八

【详解】因为勺=而（〃之2），所以hi4“=】n/i；=Wnlna“T，即昔=不?（〃之2），所

Ina-,2InA,3Ina„n_Ino,Ina.Inci23n

以---,-----------------------=----,Wr以-X——-X---X-----=—X—X---X----,

In%1Ina22Inan_xn-\InqIna2in«d_,12n-\

所以警■二〃。?、？），又〃1=e,

所以加a.=〃lnq=〃，所以q=e"（〃?2）,%=e也符合，所以a,=e".故答案为：e"

3.设正项数列｛/｝满足/-l,a„=2a；t_｛（n>2）f则数列｛%｝的通项公式是____.

【答案】%=2产、

【分析】将等式两边同时取对数后，转化为。讯=5凡+，的形式，再利用构造法求通项公式.

【详解】原式两边同时取对数，得1鸣4=1+21鸣（（，d2）,

UPlog,an+\=2（log,tzzr_1+1）.设〃=log2q+1,则々=2Z?“_］（〃N2）,

又e=1+Iog2%=1，

所以｛〃,｝是以2为公比，1为首项的等比数列，

所以d=1x2i=2i,所以1叫4+1=2"7,所以4=2『，

故答案为：

【题型九】二阶等差等比函数型

【典例分析】

在数列｛q｝中，4=1，。川=64+3”“，则数列｛4｝的通项公式为4=.

【答案】3"T（2””一3）

【分析】方法1：设—十匕3"*=6（4+h3"），解出k=l,可构造出数列包+3"｝为等比数

列，确定该数列的首项和公比，求出数列,“+3”｝的通项公式，可求出勺；

方法2：在等式，*=64+3向两边同时除以3向得黯=2•拿+1.利用待定系数法得出

爵+1=2俘+1），可知数列俘+11为等比数列，求出该数列的通项公式，可求出见.

【详解】方法1：令“+八3向=6（4+h3”），

即J=64+k-3。与%=6%+3"+,比较得％=1,

又4+2?=4,所以｛4+3"｝是以4为首项，6为公比的等比数列，

所以凡+3"=4x6"T,即勺=4x6"-'-3"=3""（2e一3）；

方法2：由％=6%+尸，两边同时除以3向得第=2*+1,

JJ

设黯+&=2修+4化简得符=2.争+3与符=2号+1比较得攵=1.

.•.招+1=2俘+1］,故数列［务+1］是以M+l=］为首项，2为公比的等比数列，

所以?+1=白2一即4=尸（2"+「3）,故答案为尸（2向一3）.

【提分秘籍】

基本规律

形如ae=s“+f（n），可以构造等比数列求通项。通过配凑构造等比，如果配凑不容易观

察，可以待定系数来构造

形如“z=iq+f（n）,可以构造等比数列求通项。通近配凑构造等比，如果配凑不容易观

察，可■以待定系数来构造

【变式训练】

1.已知4=1,〃“-24T=2",则｛《J的通项公式为

【答案】勺=2”7（2〃-1）

【分析】首先求得生的值，然后整理递推关系式，结合等差数列的通项公式即可确定其通

项公式.

【详解】由递推关系式可得：出-2%=2?,即%=24+4=6,

且由4一2l=2"可得会争=1，

故数列•［/j是以争=,为首项，以1为公差的等差数列,

则枭='+(〃_2)xl=〃一；2n-,(2/?-1),

故数列的通项公式为：4=2"T（2〃-1）.

故答案为a“=2"T（2〃-l）.

2.已知数列｛qj中，6=1,a向=3/+3",求数列｛%｝的通项公式

【答案】巴=〃•尸

【分析】由已知条件可得爵-争=g,从而可得数列仔｝是等差数列，求出其通项公式后

化简即可得到.

【详解】•・・a向=3勺+3”，.•.招—黑=1.,•数列［MJ是等差数列，公差为！，又令=9

n｝

.,.^=-+(^-1)x1=-,：.an=n-3-,

3”333

故答案为：。=〃守，

3.在正项数列｛q｝中，4=2,。川=2q+3x5",则数列｛%｝的通项公式为.

【答案】，“=5"-3X2"T

【分析】推导出数列5"｝是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列｛a”｝的

通项公式.

【详解】因为。向=2%+3x5",设外u+h5”“=2(q+h5"),可得/,=2%-3人5”•

所以，-3k=3,可得攵=一1,所以，5”句=2(%一5")，

且4-5=-3,故数列｛凡-5”｝是以-3为首项，以2为公比的等比数列，

所以，%_5"=_3X2”T,故对任意的〃€NJ%=5”-3x21.

故答案为:a"=5"-3x2"L

【题型十】因式分解型

【典例分析】

设数列｛6｝是首项为1的正项数列，且(〃+1)或「，4+%q=0,则它的通项公式4=

【答案】-

n

【分析】由条件有[5+1)4川-㈣](«川+%)=。，由数列｛4｝为正项数列，即得

(〃+1)4用-〃q=0,然后利用累乘法可求出数列的通项公式.

【详解】由(〃+1)-*+*%=o,则[(〃+1)4m](%+%)=o

乂数列｛q｝为正项数列，即4>。，4=1

所以(向)……，即„

a„a„.%//-In-2flj故答案为:1

所以为=……—•«!=——x--x

%八%〃〃T

【提分秘籍】

基本规律

涉及到二阶数列含有二次型一次型时，可以观察是否能因式分解达到构造的目的

【变式训练】

1.设｛%｝是首项为1的正项数列且〃%|+(〃+1)。；一(2〃+1)%，向=0(〃£1<),且,#氏,

求数列｛〃”｝的通项公式

【答案】q=〃

【分析】由已知条件化简可得9=一、(〃之2),再由递推累乘法可得为，最后检验4=1是

an-\〃T

否符合即可.

【详解】依题意4=1,〃。3+(〃+1)4；-(2〃+1)/。“+]=0(〃wN”)，所以

(4+1,

又因为〃尸。〃，所以户0,所以加》-(〃+l)4=0,—二号，+=£(〃之2),

Cln〃°〃-1〃一।

g、i〃-/%为小〃nn-\32

所以为一-------------------a\--------------------］=〃，

an-\an-2%U\n-\n-221

经检验，4=1也符合上式.所以为二〃(〃WN)综上所述，«„=//.故答案为：4,=〃.

2.设｛q｝是首项为1的正项数列，且(〃+2)%2TM2+21《=05€武)，求通项公式4

［答案］就不

【分析】由条件可得5+2)%-〃/=°'化简得管"号'再由递推即可得到所求通项.

*2

【详解】由(〃+2)/+；-natl+2a“+£=0(〃wN"),得［(n+2)«„+1-nan］(an^+«„)=0,

n

•・・%>°,・・・〃向+。”>°，・•・(〃+2)4,1-〃%=0，/.=——

%〃十z

afl,aa.123n-2n-12

a„=«.•—2—.....4.......—n=lx—x—x—x-x-------x------=----------(n>2),

qa26%345nn+1〃(〃+l)

2

又4=1满足上式，%~一-.

〃(〃+1)

2

故答案为:

/?(/?+1)

【题型十一】复合数列型

【典例分析】

已知数列｛q｝中，且。ME+I=2%一数列仙｝满足d=7匕，则低｝的通项公式

是"=_____.

【答案】，一与

【分析］根据已知，利用作差法求易判断｛2｝为等差数列，写出通项公式即可.

【详解】*：anan_l+l=2an_l,

.h-b1=^______JV—=—「-一%=1

“勺一1，*一1

4,17

又4亍则心力=、

/7

・••数列｛"｝是首项为-;，公差为1的等差数列，

・・也=-»〃-1=〃-学故答案为：〃-墨

【提分秘籍】

基本规律

复合型构造法有两种方法:

1.形如4川=q〃〃+p（q工0,1,〃国为常数），构造等比数列｛怎+4｝,%=――。特殊情况

。一1

下，

当q为2时,2=p,

—%■+幺（四H0,pwl）

2.形如q=次*+4（因/°）变形为〃"〃"〃"，新数列累加法即可

【变式训练】

1.已知数列｛4｝满足％=1,4“=B^（〃WN*）,若力,=/咫2（十+1），则数列也｝的通项

〃n

公式是.

【答案】bn=n

【分析】利用数列的递推关系式和等差数列的定义，得到数列｛｛〃,｝是以4=1为首项，1为

公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，得到答案.

【详解】由题意，数列｛4｝满足qT,q+1=二+工（〃丘N*）,

又由2=/隰（'+1）,则＞+1=/%（」一+1）,

%4出

—+1

可得=1常数），

—+1

%

又由々=〃吆2（,+1）=1。822=1,

4

故数列｛d｝是以4=1为首项，1